数学文卷·2018届广东省惠州市高三第二次调研考试（2017 14页

惠州市2018届高三第二次调研考试 文科数学　2017.10‎ 全卷满分150分，时间120分钟．‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2．已知复数的共轭复数为，若（为虚数单位），则（　　）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎3．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） ‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎4．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的 离心率为 ( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎5．若，，，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎6．已知，且，则 （　　）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎7．某商场为了了解毛衣的月销售量（件）与月平均气温（℃）之间的关系，随机统计 了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：‎ 月平均气温x（℃）‎ ‎17‎ ‎13‎ ‎8‎ ‎2‎ 月销售量y（件）‎ ‎24‎ ‎33‎ ‎40‎ ‎55‎ 由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温 约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）件．‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎8．如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，‎ 且直角边长都等于1，则该几何体的外接球的体积为（　　）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎9．已知等边三角形△的边长为，其重心为，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎10．设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，‎ 则的值为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎11．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到 的图象，若，且，则的最大值为（ ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎12．已知函数，若函数的图象上关于原点对称的点有对，‎ 则实数的取值范围是（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．已知函数，，则 ．‎ ‎14．已知实数、满足，则的最小值是 ．‎ ‎15．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又 朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我 们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，‎ 则八卦所代表的数表示如下：‎ 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 ‎000‎ ‎0‎ 震 ‎001‎ ‎1‎ 坎 ‎010‎ ‎2‎ 兑 ‎011‎ ‎3‎ 依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是 ．‎ ‎16．数列的前项和为，若，则数列的前项和为 ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，‎ 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 中，是边的中点，,,.‎ ‎（1）求边的长；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对名小学六年级学生进行了问卷 调查，并得到如下列联表．平均每天喝以上为“常喝”，体重超过为“肥胖”．‎ 常喝 不常喝 合计 肥胖 ‎2‎ 不肥胖 ‎18‎ 合计 ‎30‎ 已知在全部人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）是否有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？请说明你的理由；‎ ‎（3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的 学生中随机抽取2人参加一个电视节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．‎ 参考数据：‎ ‎0．100‎ ‎0．050‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎0．005‎ ‎0．001‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎7．879‎ ‎10．828‎ ‎, 其中为样本容量．‎ ‎19．（本小题满分12分） ‎ 如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，‎ ‎，平面平面，平面，点为的中点．‎ ‎ （1）求证：∥平面；‎ ‎ （2）若，求三棱锥的体积．‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎ （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；‎ ‎ （2）求函数的单调区间．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点、两点，‎ 设，.‎ ‎ （1）求证：为定值；‎ ‎ （2）是否存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，‎ 求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（本小题满分10分）[选修4―4：坐标系与参数方程] ‎ 已知曲线（为参数）和定点，、是此曲线的左、‎ 右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线的极坐标方程；‎ ‎（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，‎ 求的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）[选修4―5：不等式选讲] ‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，‎ 求实数的取值范围. ‎ 惠州市2018届高三第二次调研考试 数学（文科）参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C B A D A A B C D B D ‎1．【解析】由题意,故选C.‎ ‎2．【解析】，则，故选C.‎ ‎3．【解析】由等差数列可知，得，所以，故选B .‎ ‎4．【解析】双曲线的渐近线，得，又，得到 所以，，故选A .‎ ‎5．【解析】依题意，，，而由得，故选D .‎ ‎6．【解析】由，得，且，‎ 所以，，又，故选A .‎ ‎7．【解析】计算得，回归直线过点，且，代入得，则回归方程为 ‎，则时，故选A .‎ A B C D ‎8．【解析】还原几何体为一个三棱锥，放入棱长为1的正方体中，如图所示，‎ 外接球的半径为，则，故选B .‎ ‎9．【解析】如图建立平面直角坐标系，则，，，‎ G C O y x B A 得重心,则向量，，‎ 所以，故选C .‎ ‎（也可以，由向量数量积的定义计算得出）‎ y x O F2‎ F1‎ P M ‎10．【解析】如图，设线段的中点在轴上，点是的中点，‎ 所以，可得轴，，‎ ‎，，故选D .‎ ‎11．【解析】由题意可得，，所以，又，所以 ‎，由，得，因为 O y x ‎，所以，故选B .‎ ‎12．【解析】依题意，函数图象上存在关于原点对称的点，可作函数 关于原点对称的函数 的图象，使得它与直线的交点个数为2即可，‎ 当直线与的图象相切时，设切点为，‎ 又的导数为，则，解得，可得切线的 斜率为1，结合图象可知时函数与直线有两个交点，即原函 数图象上有两个点关于原点对称，故选D .‎ 二、填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13． 14. 15. 16. ‎ ‎13【解析】由已知得，即，所以 ‎， 也可得出.‎ ‎14【解析】画出可行域平移直线可知在点取得最小值，代入目标函数得.‎ ‎15【解析】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的，‎ 转化为十进制数的计算为.‎ ‎16【解析】当时，得，当时，得 ‎，则数列为等比数列，公比为，，得，由错位相减法 求和得.‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17.解：（1）设，则，由余弦定理，‎ ‎ 在△中，有 ……………………2分 在△中，有 ……………………4分 且，即，得 ……………………6分 ‎∴ ……………………7分 ‎（2） 由（1）可知，，，得 ……………………9分 A B C D ‎ ∴ ……………………12分 ‎18．解：（1）设全部30人中的肥胖学生共名，则，‎ ‎∴ 常喝碳酸饮料且肥胖的学生有6名． ……………………2分 列联表如下：‎ 常喝 不常喝 合计 肥胖 ‎6‎ ‎2‎ ‎8‎ 不肥胖 ‎4‎ ‎18‎ ‎22‎ 合计 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎ ……………………4分 ‎ ‎（2）∵， ……………………6分 又 ……………………7分 ‎∴有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关． ……………………8分 ‎（3）设常喝碳酸饮料且肥胖的4名男生为，2名女生为，则从中随机抽取2名的情形 有；；；；共15种， …………………10分 其中一名男生一名女生的情形共有8种， ……………………11分 ‎ ‎∴正好抽到一名男生和一名女生的概率为． ……………………12分 ‎19.（1）证明：∵△是等腰直角三角形，‎ ‎，点为的中点，∴． ‎ ‎ ∵ 平面平面，‎ 平面平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面． …………4分 ‎ ∵ 平面,∴ ∥． …………5分 ‎ ∵ 平面,平面,‎ ‎ ∴ ∥平面． …………6分 ‎（2）法1：由（1）知∥平面, ‎ ‎ ∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离． …………7分 ‎∵ ，△是等边三角形,点为的中点 ‎ ∴ …………8分 ‎∴ …………10分 ‎ …………12分 法2：由（1）知∥平面, ‎ ‎ ∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离． …………7分 ‎ 过作，垂足为点，‎ ‎ ∵ 平面,平面, ∴ ．‎ ‎ ∵ 平面,平面,，‎ ‎ ∴ 平面． …………9分 ‎ ∵ ，△是等边三角形，‎ ‎ ∴ ，，． …………10分 ‎ ∴ ．‎ ‎∴ 三棱锥的体积为． …………12分 ‎20. 解: (1)由可知，函数定义域为，‎ ‎ 且，依题意，‎ ‎ 解得 ……………………………………… 4分 ‎ （2）依题意， ‎ ‎ 令，得 ‎ ‎ ① 当时，，由，得；由，得 ‎ 则函数的单调递减区间为，单调递增区间为 ……… 6分 ‎ ② 当，即时，由，得或 ‎ 由，得 ‎ 则函数的单调递增区间为，‎ 函数的单调递减区间为 ………………… 8分 ‎ ③ 当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为 ‎ ……………………………………… 10分 ‎ ‎ ④ 当，即时，由，得或，由，得 ‎ 则函数的单调递增区间为，‎ 函数的单调递增区间为 ………………… 12分 ‎21、解：（Ⅰ）（解法1）当直线AB垂直于x轴时，,‎ 因此(定值) ……………………2分 当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为 由得 ‎ 因此有为定值 …………………… 4分 ‎（解法2）设直线AB的方程为 由得 ‎ 因此有为定值 ……………………（4分）‎ ‎(Ⅱ)设存在直线：满足条件，则 AC的中点，‎ ‎ 因此以AC为直径的圆的半径 E点到直线的距离 ……………………7分 所以所截弦长为 ‎ ……………………10分 当即时，弦长为定值2，这时直线方程为 …………………… 12分 ‎ ‎22.‎ 解：（1）曲线C：可化为，‎ 其轨迹为椭圆，焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）． ……………………2分 经过A（0，）和F2（1，0）的直线方程为，即 ‎∴ 直线的极坐标方程为：. ……………………5分 ‎（2）由（1）知，直线AF2的斜率为，‎ 因为⊥AF2，所以的斜率为，倾斜角为30°，‎ 所以的参数方程为（t为参数），‎ 代入椭圆C的方程中，得． ……………………8分 因为M，N在点F1的两侧，‎ 所以|MF1|﹣|NF1|=|t1+t2|=． ……………………10分 ‎23.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）当时，， ……………………3分 ‎ 由得不等式的解集为. ……………………5分 ‎（2）由二次函数，该函数在取得最小值2，‎ 因为，在处取得最大值，………8分 所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，‎ 只需，即. ……………10分