数学卷·2017届上海市松江区高三上学期期末质量监控（2016 7页

松江区2016学年度第一学期高三期末考试 数 学 试 卷 ‎ （满分150分，完卷时间120分钟） 2017.1‎ 一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．‎ ‎1．设集合，，则 ▲ ． ‎ ‎2．已知，是虚数单位，若，则 ▲ ．‎ ‎3．已知函数的图像经过点，则 ▲ ．‎ ‎4．不等式的解集为 ▲ ．‎ ‎5．已知向量, ,则函数的最小正周期为 ▲ ．‎ ‎6．里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外 国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 ▲ ．‎ ‎7．按下图所示的程序框图运算：若输入，则输出的值是 ▲ ．‎ ‎8．设，若，则 ▲ ．‎ ‎9．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 ▲ ． ‎ ‎10．设是曲线上的点，，则的最大值= ▲ ．‎ ‎11．已知函数，若在其定义域内有3个零点，则实数 ▲ ．‎ ‎12．已知数列满足，，若，且是递增数列、是递减数列，则 ▲ ．‎ 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. ‎ ‎13．已知，则“”是“”的 ‎ 充分非必要条件 必要非充分条件 ‎ ‎ 充要条件 既非充分也非必要条件 ‎14．如图，在棱长为1的正方体中，点在截面上，则线段的最小值等于 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎15．若矩阵满足：且，则这样的互不相等的矩阵共有 ‎ 2个 6个 8个 10个 ‎16. 解不等式时，可构造函数，由在是减函数，及，可得．用类似的方法可求得不等式的解集为 ‎ ‎ ‎ 三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图，在正四棱锥中，，是棱的中点． ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与所成角的余弦值．‎ ‎18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数为实数．‎ ‎（1）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）若对任意的 ，都有，求的取值范围. ‎ ‎19．（本题满分14分）‎ 上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔” ．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H．在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角，过O点与OA成的地面上选B点，使仰角（点A、B、O都在同一水平面上），此时测得，A与B之间距离为米．试求：‎ ‎（1）塔高（即线段PH的长，精确到0.1米）；‎ ‎（2）塔身的倾斜度（即PO与PH的夹角，精确到）.‎ ‎20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分 ‎4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于、两点． ‎ ‎ （1）求双曲线的方程；‎ ‎ （2）若过原点，为双曲线上异于、的一点，且直线、的斜率、均存在，‎ 求证：为定值； ‎ ‎（3）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 如果一个数列从第项起，每一项与它前一项的差都大于，则称这个数列为“H型数列” ．‎ ‎（1）若数列为“H型数列”，且，，，求实数的取值范围；‎ ‎（2）是否存在首项为的等差数列为“H型数列”，且其前项和满足 ‎？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“H型数列”，，‎ ‎，当数列不是“H型数列”时，试判断数列是否为“H型数列”，并说明理由．‎ ‎ 松江区2016学年度第一学期高三期末考试 ‎ 数学试卷（参考答案）2017.1‎ 一．填空题（本大题共54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分 ‎1． 2． 3． 4． 5． 6．‎ ‎7． 143 8．11 9． 10．10 11 ． 12．‎ 二、选择题 （每小题5分，共20分）‎ ‎13． B 14．C 15. D 16．A ‎ 三．解答题（共76分）‎ ‎17． 解: （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且 ‎∴都是等边三角形 ………………2分 ‎∵是棱的中点， ‎ ‎∴，又 ‎ ‎ ∴平面 ………………5分 又平面 ∴ ………………6分 ‎（2）连接AC，交BD于点O，连OE． ‎ 四边形ABCD为正方形，∴O是AC的中点………………8分 又是的中点 ‎∴OE为△ACP的中位线，∴‎ ‎∴∠BOE即为BE与PA所成的角 ……………………10分 在Rt△BOE中，， ……12分 ‎∴ ……………………14分 ‎18．解：（1）函数的定义域为R，且 ……………2分 ‎ ‎①若是偶函数，则对任意的都有 ，‎ 即 即 ∴ ……………3分 ‎②若是奇函数，则对任意的都有 ，‎ 即 即 ∴ ……………4分 ‎∴当时，为偶函数，当时，为奇函数， ‎ 当时，既非偶函数也非奇函数 ……………6分 ‎（2）由 可得 即 ……………8分 ‎∵当 时， 单调递减，其最大值为1 ∴ ……………10分 同理，由 可得 即 ‎ ‎∵当 时， 单调递减，且无限趋近于0，∴……………13分 ‎∴ ………………………14分 ‎19. 解：(1)设塔高由题意知，,‎ 所以均为等腰直角三角形 ‎∴ ……………2分 在中， ， ， ‎ ‎∴……………6分 ‎(2)在中， ，‎ ‎ ， ，‎ 由 ，‎ 得……………10分 ‎∴ ……………13分 ‎ ‎ 所以塔高米，塔的倾斜度为。 ……………14分 ‎20. 解：（1）由题意得 ……………2分 解得 ……………3分 ‎∴双曲线的方程为 ……………4分 ‎ （2）证明：设点坐标为，则由对称性知点坐标为…………5分 设，则 ……………7分 ‎ 得 ……………8分 所以 ……………10分 ‎（3）当直线的斜率存在时，设直线方程为， ‎ 与双曲线方程联立消得，‎ ‎∴ 得 且 ……………12分 设、‎ ‎∵‎ ‎ ‎ ‎ ……………………14分 ‎ 假设存在实数，使得，‎ ‎ 故得对任意的恒成立，‎ ‎ ∴，解得 ‎ ∴当时，. ‎ ‎ 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立 ‎ 综上，存在，使得. …………………………………16分 ‎23． 解：（1）由题意得， ………………1分 ‎ ， 即 ，………………3分 ‎ 解不等式得 ； …………………4分 ‎（2）假设存在等差数列符合要求，设公差为，则，‎ ‎ 由 ，得 ， …………………5分 ‎ 由题意得：对均成立， ‎ ‎ 即：对均成立， …………………7分 ‎ 因为，且，所以，与矛盾，‎ ‎ 因此，这样的等差数列不存在． …………………10分 ‎（3）设数列的公比为，则，因的每一项均为正整数，‎ 且，所以，且，‎ ‎ 因，‎ ‎ 即：在中，“”为最小项，‎ ‎ 同理，在中，“”为最小项， …………………11分 由为“H型数列”，可知只需， 即 ，‎ 又因为不是“数列”， 且“”为最小项，所以， 即 ，‎ 由数列的每一项均为正整数，可得 ，‎ ‎ 所以或， …………………12分 当时，，‎ ‎ 则，‎ ‎ 令，则，‎ 令，‎ 则，‎ 所以为递增数列，‎ 即 ，‎ 即 ，‎ 因为，所以，对任意的都有，‎ 即数列为“H型数列”； …………………16分 当时，，‎ 则，显然，为递减数列，，‎ 故数列不是“H型数列”； ‎ ‎ 综上：当时，数列为“H型数列”，‎ ‎ 当时，数列不是“H型数列” ．…………………18分