高中数学 2_3_2第1课时课时同步练习 新人教A版选修2-1 5页

第2章 ‎2.3.2‎ 第1课时 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．双曲线－＝1的(　　)‎ A．实轴长为2，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝ B．实轴长为2，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝ C．实轴长为2，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±2x，离心率e＝ D．实轴长为2，虚轴长为8，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝ 答案：　A ‎2．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝(　　)‎ A．－12　　　　　　　　　　　 B．－2‎ C．0 D．4‎ 解析：　因为渐近线方程为y＝x，∴b＝，‎ ‎∴双曲线方程为x2－y2＝2，‎ 所以点P的坐标为(，±1)，‎ 又易知F1(－2,0)，F2(2,0)，不妨取P(，1)．‎ ‎∴·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝0.‎ 答案：　C ‎3．双曲线的渐近线为y＝±x，则双曲线的离心率是(　　)‎ A. B．2‎ C.或 D.或 解析：　若双曲线焦点在x轴上，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴e＝＝＝＝.‎ 若双曲线的焦点在y轴上，‎ ‎∴＝，＝.‎ ‎∴e＝＝＝＝.‎ 答案：　C ‎4．已知双曲线－＝1的实轴的一个端点为A1，虚轴的一个端点为B1，且|A1B1|＝5，则双曲线的方程是(　　)‎ A.－＝1 B.－＝－1‎ C.－＝1 D.－＝－1‎ 解析：　由题意知a＝4.又∵|A1B1|＝5，‎ ‎∴c＝5，∴b＝＝＝3.‎ ‎∴双曲线方程为－＝1.‎ 答案：　C 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为________．‎ 解析：　椭圆4x2＋y2＝64，即＋＝1，‎ 焦点为(0，±4)，离心率为，‎ 所以双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，‎ 所以a＝6，b＝＝2，‎ 所以双曲线方程为－＝1.‎ 答案：　－＝1‎ ‎6．若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________．‎ 解析：　双曲线的渐近线方程为y＝±x ‎∴b＝1.‎ 答案：　1‎ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎7．求适合下列条件的双曲线的标准方程：‎ ‎(1)虚轴长为12，离心率为；‎ ‎(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；‎ ‎(3)过点M(2，－2)与－y2＝1有公共渐近线．‎ 解析：　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．‎ 由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，‎ ‎∴b＝6，c＝10，a＝8，‎ ‎∴标准方程为－＝1或－＝1.‎ ‎(2)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3，∴b＝.‎ ‎∴所求双曲线方程为－＝1.‎ 当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，∴b＝2.‎ 所求双曲线方程为－＝1.‎ 综上，双曲线方程为－＝1或－＝1.‎ ‎(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线的方程为－y2＝λ，‎ 将点(2，－2)代入得λ＝－(－2)2＝－2，‎ ‎∴双曲线的标准方程为－＝1.‎ ‎8．双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为‎2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线离心率e的取值范围．‎ 解析：　由题意知直线l的方程为＋＝1，‎ 即bx＋ay－ab＝0.则＋≥c，‎ 整理得5ab≥‎2c2.‎ 又∵c2＝a2＋b2，∴5ab≥‎2a2＋2b2.‎ ‎∴≤≤2.‎ e＝＝ ‎∴≤e≤.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9．(10分)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(2，0)作双曲线的一条渐近线的垂线，与该渐近线交于点P，且O·F＝－6，求双曲线的方程．‎ 解析：　方法一：设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，‎ 则过F且与其垂直的直线方程为y＝－(x－2)．‎ 由可得点P的坐标为.‎ ‎∴＝，‎ ·＝(2，0)·＝－6.‎ 解得a2＝2，∴b2＝c2－a2＝(2)2－2＝6，‎ ‎∴双曲线方程为－＝1.‎ 方法二：设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，‎ ‎∵点P在双曲线的渐近线上，故设其坐标为 ‎∴F＝，O＝(2，0)．‎ 由O·F＝－6得2(x－2)＝－6，即x＝.‎ 又由O·F＝0，得x(x－2)＋2＝0，‎ 代入x＝，得2＝3.‎ 而a2＋b2＝(2)2＝8，‎ ‎∴a2＝2，b2＝6.‎ ‎∴双曲线方程为－＝1.‎