高中数学选修2-2课时提升作业(二) 1_1_3 9页

温馨提示：‎ ‎ 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。‎ 课时提升作业(二)‎ 导数的几何意义 一、选择题(每小题3分，共18分)‎ ‎1.(2014·衡水高二检测)若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0，则(　　)‎ A.f′(x0)>0 B.f′(x0)=0‎ C.f′(x0)<0 D.f′(x0)不存在 ‎【解题指南】曲线在点x=x0处的导数，即为切线的斜率.‎ ‎【解析】选C.切线的方程为2x+y+1=0，即y=-2x-1，斜率为-2，故曲线在x=x0处的导数为-2，即f′(x0)=-2<0.‎ ‎2.设曲线y=x2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为(　　)‎ A.(3，9) B.(-3，9)‎ C. D.‎ ‎【解题指南】设出点P的坐标，求出导函数，利用曲线在切点处的导数值是切线的斜率列出方程求出点P.‎ ‎【解析】选C.设P(x，y)，根据定义，可求得其导数y′=2x，令2x=3，得x=，所以P，故选C.‎ ‎3.曲线y=4x-x3在点(-1，-3)处的切线方程是(　　)‎ A.y=7x+4 B.y=7x+2‎ C.y=x-4 D.y=x-2‎ ‎【解析】选D.=1+3Δx-(Δx)2，所以切线斜率k=1，切线方程为y=x-2，故选D.‎ ‎4.(2014·银川高二检测)若曲线f(x)=x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为(　　)‎ A.4x-y-4=0 B.x+4y-5=0‎ C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0‎ ‎【解析】选A.根据定义可求导数f′(x)=2x，则2x=4，x=2；切点(2，4)，切线斜率k=4，所以l的方程为4x-y-4=0，故选A.‎ ‎【误区警示】此题易把切线的斜率和垂线的斜率混淆而造成错误.‎ ‎5.曲线y=x3在点(1，1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为 ‎(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选C.根据定义可求得y′=3x2，y′|x=1=3，切线方程为3x-y-2=0，与x轴的交点坐标为，与x=2的交点坐标为(2，4)，围成三角形面积为××4=.‎ ‎6.(2014·广州高二检测)在函数y=x3-9x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是(　　)‎ A.0 B‎.1 ‎ C.2 D.3‎ ‎【解析】选A.根据导数定义求得，y′=3x2-9，‎ 令0≤y′<1得3≤x2<，‎ 显然满足该不等式的整数x不存在，‎ 因此在函数y=x3-9x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0.故选A.‎ 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎7.(2014·无锡高二检测)已知曲线y=-1上两点A，B，当Δx=1时，割线AB的斜率为________.‎ ‎【解题指南】本题考查直线斜率的求法，根据割线的斜率k=求解.‎ ‎【解析】Δy=-‎ ‎=-=‎ ‎=.‎ 所以=‎ ‎=-，‎ 即k==-.‎ 所以当Δx=1时，‎ k=-=-.‎ 答案：-‎ ‎8.抛物线y=f(x)=2x2-x在(1，1)点处的切线斜率为________.‎ ‎【解析】因为=3+2Δx，令Δx趋于0，则3+2Δx趋于3.所以切线的斜率k=3.‎ 答案：3‎ ‎9.已知曲线y=f(x)=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标为________.‎ ‎【解析】当Δx→0时，‎ ‎=2Δx+4x0→4x0，由4x0=-4，得x0=-1，‎ 所以点M的坐标是(-1，3).‎ 答案：(-1，3)‎ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎10.(2014·安顺高二检测)已知抛物线y=f(x)=x2+3与直线y=2x+2相交，求它们交点处的切线方程.‎ ‎【解析】由方程组得x2-2x+1=0，‎ 解得x=1，y=4，所以交点坐标为(1，4)，‎ 又=Δx+2.‎ 当Δx趋于0时Δx+2趋于2.所以在点(1，4)处的切线斜率k=2.‎ 所以切线方程为y-4=2(x-1)，即y=2x+2.‎ ‎【变式训练】已知曲线y=f(x)=x+上一点A，用斜率定义求：(1)点A处切线的斜率.(2)点A处的切线方程.‎ ‎【解题指南】求曲线在A处切线的斜率kA，即求.‎ ‎【解析】(1)Δy=f(2+Δx)-f(2)‎ ‎=2+Δx+-‎ ‎=+Δx，‎ ‎=‎ ‎==.‎ ‎(2)切线方程为y-=(x-2)，‎ 即3x-4y+4=0.‎ ‎11.(2014·贵阳高二检测)证明：过曲线xy=1上的任何一点P(x0，y0)(x0‎ ‎>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数.‎ ‎【解题指南】先求函数y=的导数，表示出过P(x0，y0)的切线方程，再求切线的截距，从而表示出面积.‎ ‎【证明】由xy=1，得y=，‎ 根据导数定义可得，y′=-，‎ 所以k=-，‎ 过点P(x0，y0)的切线方程为y-y0=-(x-x0)，‎ 令x=0得y=，令y=0得x=2x0，‎ 所以过P(x0，y0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=××2x0=2是一个常数.‎ 一、选择题(每小题4分，共16分)‎ ‎1.(2014·天津高二检测)已知函数y=f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)‎ A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)kA，即f′(xB)>f′(xA).‎ ‎2.(2014·荆州高二检测)已知曲线f(x)=lnx在点(x0，f(x0))处的切线经过点(0，-1)，则x0的值为(　　)‎ A. B‎.1 ‎ C.e D.10‎ ‎【解析】选B.依题意得，题中的切线方程是y-lnx0=(x-x0)；又该切线经过点(0，-1)，于是有-1-lnx0=(-x0)，由此得lnx0=0，x0=1，选B.‎ ‎3.(2014·天津高二检测)设f(x)为可导函数，且满足=-1，则过曲线y=f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)‎ A.2 B.‎-1 ‎ C.1 D. -2‎ ‎【解析】选D.=‎ ‎=f′=-1⇒f′=-2.‎ ‎4.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　　)‎ A. B.[-1，0]‎ C.[0，1] D.‎ ‎【解题指南】根据倾斜角的取值范围可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围.‎ ‎【解析】选D.设点P的横坐标为x0，因为y=x2+2x+3，‎ 由定义可求其导数y′=2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα(α为点P处切线的倾斜角)，‎ 又因为α∈，所以1≤2x0+2，‎ 所以x0∈.故选D.‎ 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5.曲线f(x)=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1，则P点的坐标为 ‎________.‎ ‎【解析】因为f(x)=x3+x-2，设xP=x0，‎ 所以Δy=3·Δx+3x0·(Δx)2+(Δx)3+Δx，‎ 所以=3+1+3x0(Δx)+(Δx)2，‎ 所以f′(x0)=3+1，又k=4，‎ 所以3+1=4，=1.所以x0=±1，‎ 故P(1，0)或(-1，-4).‎ 答案：(1，0)或(-1，-4)‎ ‎【变式训练】已知f(x)=x3，则曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率为________.‎ ‎【解析】设P(2，8)，Q(2+Δx，(2+Δx)3)，则割线PQ的斜率为kPQ==12+6Δx+(Δx)2，‎ 当Δx→0时，kPQ→12，‎ 所以曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率为12.‎ 答案：12‎ ‎6.(2014·泰安高二检测)设函数f(x)在x=1处的切线斜率为1，则=________.‎ ‎【解析】因为f(x)在x=1处切线斜率为1，‎ 所以f′(1)=1，‎ ‎=‎ ‎=f′(1)=.‎ 答案：‎ 三、解答题(每小题12分，共24分)‎ ‎7.已知抛物线y=ax2+bx+c过点(1，1)，且在(2，-1)处的切线的斜率为1，‎ 求抛物线解析式.‎ ‎【解析】因为y=ax2+bx+c分别过(1，1)点和(2，-1)点，所以a+b+c=1　①，‎4a+2b+c=-1　②，‎ 又f′==2ax+b，故由导数的几何意义得：y′|x=2=‎4a+b=1　③，‎ 由①②③可得，a=3，b=-11，c=9.故抛物线解析式为y=3x2-11x+9.‎ ‎8.已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=2x相交于A，B两点，O是坐标原点，试在抛物线的曲线AOB上求一点P，使△ABP的面积最大.‎ ‎【解题指南】求出与直线x+2y-4=0平行的切线，对应切点即为所求点P.‎ ‎【解析】由y2=2x及直线x+2y-4=0的位置关系可知，点P应位于直线x+2y-4=0的下方.‎ 故令y=-，‎ 所以y′==-，‎ 设切点为(x0，y0)，过切点(x0，y0)的切线与直线x+2y-4=0平行，‎ 所以y′=-=-.所以x0=2，‎ 所以切点坐标为(2，-2)，‎ 此时该点为抛物线上与线段AB的距离最大的点，‎ 故点P(2，-2)即为所求.‎ 所以在抛物线的曲线AOB上存在点P(2，-2)，使△ABP的面积最大.‎ ‎【拓展延伸】利用切线巧解面积的最值问题 ‎　　此类题目若将面积表示出后，求面积的最大值，则运算化简过程比较繁杂.由于△ABP的底边AB长度不变，故点P到AB距离的最大值可利用抛物线的切线与直线AB的距离来确定.利用切点的惟一性，再利用导数知识解题，解题过程非常简便.‎ 关闭Word文档返回原板块