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- 2021-06-23 发布
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峨山一中2017-2018学年下学期6月月考
高二年级数学试卷（理科）
（考试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1．已知集合A={x|≤0}，B={x|00)的顶点，点M在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，则点P与抛物线的焦点F之间的距离是
A．2p B．p C．2p D．p
7．某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间分的考生人数近似为（ ）
（已知若，则， ， ）
A. 1140 B. 1075 C. 2280 D. 2150
8．已知向量，，若与共线，则等于（ ）
A． B． C. D．
9．设，是不同的直线，，，是不同的平面，有以下四个命题
①；②；③；④.其中正确的命题是（ ）
A．①④ B．①③ C.②③ D．②④
10．篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成，2018年的篮球赛中，休斯敦火箭队采取了“八人轮换”的阵容，即每场比赛只有8名队员有机会出场，这8名队员中包含两名中锋，两名控球后卫，若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋，至少包含一名控球后卫，则休斯顿火箭队的主教练一共有（ ）种出场阵容的选择.
A. 16 B. 28 C. 84 D. 96
11． 已知双曲线的一个焦点坐标为,且双曲线的两条渐近线互相垂直,则该双曲线的方程为( )
A． B．
C. D．或
12．已知是函数的一个极值点，四位同学分别给出下列结论，则一定不成立的结论是
A．a=0 B． a=c C．c≠0 D．b=0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知向量a=(1，y)，b=(−2，4)，若a⊥b，则|2a+b|= ．
14．已知(a，n)的展开式中第3项与第4项的二项式系数最大，且含的项的系数为40，则的值为 ．
15.已知等差数列{}的前n项和为，满足=，且>0，则最大时n的值是 ．
16．．在区间内任取一个实数，则使函数在上为减函数的概率是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知等比数列{}的公比q>1，=1，且2，，3成等差数列．
(1)求数列{}的通项公式；
(2)记=2n，求数列{}的前n项和．
18．(本小题满分12分)
某竞赛的题库系统有60%的自然科学类题目，40%的文化生活类题目(假设题库中的题目总数非常大)，参赛者需从题库中抽取3个题目作答，有两种抽取方法：方法一是直接从题库中随机抽取3个题目；方法二是先在题库中按照题目类型用分层抽样的方法抽取10个题目作为样本，再从这10个题目中任意抽取3个题目．
(1)两种方法抽取的3个题目中，恰好有1个自然科学类题目和2个文化生活类题目的概率是否相同?若相同，说明理由；若不同，分别计算出两种抽取方法对应的概率．
(2)已知某参赛者抽取的3个题目恰好有1个自然科学类题目和2个文化生活类题目，且该参赛者答对自然科学类题目的概率为，答对文化生活类题目的概率为．设该参赛者答对的题目数为X，求X的分布列和数学期望．
19．(本小题满分12分)
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90º，AD=2BC，PA⊥平面ABCD．
(1)设E为线段PA的中点，求证：BE∥平面PCD；
(2)若PA=AD=DC，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
20.(本小题满分12分)、
已知，，分别是的内角，，所对的边，且 ，.
（1）求角的大小；
（2）若，求边的长
21. (本小题满分12分) 已知函数（）
（1）若曲线在点处的切线经过点，求的值；
（2）若在内存在极值，求的取值范围；
（3）当时，恒成立，求的取值范围.
22. (本小题满分12分)
已知椭圆的左、右焦点分别为,点也为抛物线的焦点.
(1)若为椭圆上两点,且线段的中点为,求直线的斜率；
(2)若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,设线段的长分别为,证明是定值.
峨山一中2017-2018学年下学期6月高二年级数学月考
参考答案
一， 选择题：
ACBDC BCABB AD
二， 填空题：
13, 5; 14, 2; 15, 9; 16,.
三， 解答题：
17．【解析】(1)由2，，3成等差数列可得2=2+3，即2=2q+3，
又q>1，=1，故2=2+3q，即2−3q−2=0，得q=2，（3分）
因此数列{}的通项公式为=．（4分）
(2)=2n×=n×，（5分）
=1×2+2×22+3×23+…+n× ①，
2=1×22+2×23+3×24+…+n× ②． （7分）
①−②得−=2+22+23+…+−n×，
−=−n×，
=(n−1)×+2．（10分）
18．【解析】(1)两种抽取方法得到的概率不同．
方法一：由于题库中题目总数非常大，可以认为每抽取1个题目，抽到自然科学类题目的概率均为，抽到文化生活类题目的概率均为，所以抽取的3个题目中恰好有1个自然科学类题目和2个文化生活类题目的概率为× ()=．（5分）
方法二：按照题目类型用分层抽样抽取的10个题目中有6个自然科学类题目和4个文化生活类题目，从这10个题目中抽取3个题目，恰好有1个自然科学类题目和2个文化生活类题目的概率为=．（5分）
(2)由题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3．
P(X=0)==，
P(X=1)= ++=，
P(X=2)= ++=，P(X=3)= =．（10分）
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=．（12分）
19.【解析】(1)设线段AD的中点为F，连接EF，BF．
在△PAD中，因为EF为△PAD的中位线，所以EF∥PD．
又EF平面PCD，PD平面PCD，所以EF∥平面PCD．
在底面直角梯形ABCD中，FD∥BC，且FD=BC，
故四边形DFBC为平行四边形，FB∥CD．（3分）
又FB平面PCD，CD平面PCD，所以FB∥平面PCD．
又EF平面EFB，FB平面EFB，且EF∩FB=F，所以平面EFB∥平面PCD．
又BE平面EFB，所以BE∥平面PCD．（5分）
(2)以A为坐标原点，的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
设PA=2，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，B(2,1,0)，
=(0,0,2)，=(2,1,0)，=(0,2, −2)，=(2,0,0)．（7分）
设n=(x,y,z)是平面PAB的法向量，则
，即，
令x=1，得y=−2，z=0，则n=(1, −2,0)是平面PAB的一个法向量，（9分）
同理，m=(0, −1, −1)是平面PCD的一个法向量．
所以cos=，
所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为．（12分）
20.解：（1）因为，
所以，
所以，
所以，又为三角形内角，
所以.
（2）因为，所以，
所以
.
由正弦定理得，
所以
21.解：.
（1），.
因为在处的切线过，
所以.
（2）在内有解且在内有正有负.
令.
由，得在内单调递减，
所以.
（3）因为时恒成立，
所以.
令，
则.
令，
由，
得在内单调递减，又，
所以时，
即，单调递增，
时，
即，单调递减.
所以在内单调递增，
在内单调递减，
所以.
所以.
22. 解:因为抛物线的焦点为,所以,故.
所以椭圆.
(1)设,则
两式相减得，
又的中点为,所以.
所以.
显然,点在椭圆内部,所以直线的斜率为.
(2)椭圆右焦点.
当直线的斜率不存在或者为时, .
当直线的斜率存在且不为时,设直线的方程为，
设,联立方程得
消去并化简得，
因为，
所以，.
所以
同理可得.
所以为定值.
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