数学理卷·2018届福建省福州外国语学校年高二上学期期末模拟考试（2017-01） 7页

‎ ‎ 高二年级数学试题（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.椭圆的左、右顶点分别是，左、右焦点分别是，，若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.有下列四个命题：‎ ‎①“若，则互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若，则有实根”的逆否命题；‎ ‎④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题.‎ 其中真命题为（ ）‎ A．①② B．②③ C.①③ D．③④‎ ‎5.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）‎ A． B． C.4 D．8‎ ‎6.设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.设条件：，条件：，其中为正常数，若是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.点在椭圆上，则点到直线的距离的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若的中点为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知抛物线的方程为，一条长度为的线段的两个端点、在抛物线上运动，，则线段的中点到轴距离的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.双曲线的左、右顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）‎ A．2 B．3 C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.命题“存在，使得”的否定是 ．‎ ‎14.与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆方程为 ．‎ ‎15.已知点是双曲线的左焦点，定点的坐标为，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ．‎ ‎16.命题关于的不等式，对一切恒成立；命题函数在上是增函数，若或为真，且为假，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知数列满足，.‎ ‎（1）令，求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）求满足的最小正整数.‎ ‎18.如图，在中，边上的中线长为2，且，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求边的长.‎ ‎19.如图，在四面体中，已知，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值.‎ ‎20.已知一条曲线在轴右边，上任一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）一直线与曲线交于两点，且，证：的垂直平分线恒过定点.‎ ‎21.如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形的面积为8.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆有两个不同的交点，与矩形有两个不同的交点，求的最大值及取得最大值时的值.‎ 福建省福州外国语学校2016-2017学年第一学期期末模拟 高二年级数学试题（理科）答案 一、选择题 ‎1-5:CDBCC 6-10:AACBC 11、12：CB 二、填空题 ‎13.， 14. 15.9 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1），‎ ‎，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即，∴数列是以2为首项以2为公比的等比数列.‎ ‎（2）由（1）得，∴，‎ 由，得，（舍去），解得.‎ ‎（2）在中，由正弦定理，得，即，‎ 解得，故，从而在中，由余弦定理，‎ 得；‎ ‎∴.‎ ‎19.（1）证明：∵，，，∴，∴，‎ 取中点，连接，，则，，‎ 又∵，平面，平面，∴平面，∴.‎ ‎（2）解：过作于点，则平面，‎ 又∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，‎ 过做于点，连接.‎ ‎∵平面，∴，又，‎ ‎∴平面，∴，‎ ‎∴为二面角的平面角，‎ 连接，∵，∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，∵，∴，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：（1）由条件，的距离等于到直线的距离，‎ ‎∴曲线是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为①‎ ‎（2）设直线为②‎ 则中垂线斜率为，‎ 联立①②：即，‎ 中点横坐标，横坐标，，‎ ‎∴方程为即，‎ ‎∴的垂直平分线恒过定点.‎ ‎21.解：（1）……①‎ 矩形面积为8，即……②‎ 由①②得，，∴椭圆的标准方程为.…………4分 ‎（2），‎ 设，，则，，…………5分 由得，‎ ‎，‎ 当过点时，，当过点时，.……………………7分 ‎①当时，有，，，‎ ‎，其中，‎ 由此知当，即，时，取得最大值.……9分 ‎②由对称性，可知若，则当时，取得最大值.……10分 ‎③当时，，，‎ 由此知，当时，取得最大值.………………11分 综上可知，当和0时，取得最大值.…………12分