2019年山西省八校高三上学期第一次联考理科数学(解析版) (1) 15页

2019 年山西省八校高三上学期第一次联考 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知集合 2 1{ | 1 0}, ,2 R x A x x B y y x               ，则 A B  （ ） A．[1, ) B．(1, ) C．( , 1]  D．( , 1)  1．答案：B 解析： 2{ | 1 0} { | 1 1} ( , 1) (1, )A x x x x x          或 ， 1 , { | 0} (0, )2 x B y y x y y                R ，则 (1, )A B   ． 2．已知1 i i ( , )1 2i Rb a a b    ，则 2a b  （ ） A． 4 B．4 C． 5 D．5 2．答案：D 解析： 2 1 11 i i 1 i (1 2i)( i) 2 (1 2 )i, 1 2 31 2i a ab a b a a a a b b                        ， 2 5a b   ． 3．如图所示的折线图表示某一商场一年中各月的收入、支出情况，则下列说法中错误的是（ ） A．全年收入 1 至 2 月份增速最快 B．全年中 2 月份支出最高 C．四个季度中第二季度的月平均支出最低 D．利润最低的月份是 5 月份（利润＝收入－支出） 3．答案：D 解析：从折线图看出 1 至 2 月份收入数据的连线斜向上，且最陡，故 A 正确； 从折线图可以看出支出的最高点是 2 月份，故 B 正确； 由折线图可看出第二季度的总支出最低，故第二季度的月平均支出最低，故 C 正确； 5 月份的利润为30 10 20  （万元），8 月份的利润为50 40 10  （万元）， 20 10 ，故 D 错误． 4．若 2cos 6 3       ，则 5cos 23       （ ） A． 7 9 B． 7 9 C． 1 9 D． 1 9 4．答案：C 解析： 25 4 1cos 2 cos 2 2 cos 2 2cos 1 2 13 6 6 6 9 9                                              ． 5．已知实数 ,x y 满足约束条件 1 2 2 y x y x y m      ≤ ≤ ≥ ，若 2z x y  的最小值为 3 ，则实数 m  （ ） A．0 B． 2 C．1 D．5 5．答案：A 解析：作出 1 2 2 y x y    ≤ ≤ 表示的平面区域如图所示，作直线 2 3x y   ，与可行域的边界交于点 ( 1,1)A  ， 则直线 x y m  必过点 ( 1,1)A  ，所以 0m  ． x y 1y  2 2x y  x y m  2 3x y   A 6．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵” ．已知某“堑堵”的三视图如图所示， 在该“堑堵”的表面积为（ ） A．1 394 B．1 322 C．1 800 D．1 650 6．答案：C 解析：将正视图中的直角三角形记为 ABC△ ，如图， 90ACB   ，过点C 作CD AB ，垂足为 D ， 则 16, 25 16 9BD AD    ，由 ACD CBD△ ∽△ ，得 AD CD CD BD ，即 2 9 16 144CD AD BD     ， 12CD  ，由勾股定理可得 15, 20AC BC  ，所以 1 25 12 1502ABCS    △ ，所以三棱柱的表面积 为 2 150 25 (15 20 25) 1800      ． A C B D 7．函数 2( ) 2 xf x x  的图象大致为（ ） 7．答案：C 解析：由题意知，当 0x  时， ( ) 2 ln 2xf x a x   ，当 0x  时， 2 1, 2 0, ( ) ln 2 0x x f x    ， 说明函数 ( )f x 的图象在 y 轴右侧开始时是单调递增的，故排除选项 A，B，D，选 C． 8．某工厂安排 6 人负责周一至周六的中午午休值班工作，每天 1 人，每人值班 1 天，若甲、乙两人需安 排在相邻两天值班，且都不排在周三，则不同的安排方式有（ ） A．192 种 B．144 种 C．96 种 D．72 种 8．答案：B 解析：甲、乙两人可以排在周一周二两天，也可以排在周五周五两天，也可以排在周五周六两天，所以甲、 乙两人的安排方式有 2 23 6A  （种），其他 4 个人要在剩下的 4 天全排列，所以所有人的安排方式有 4 46 6 24 144A    （种）． 9．已知 1 2,F F 分别是双曲线 2 2 2 1( 0)yx bb   的左、右焦点，点 P 为双曲线右支上一点，满足  2 2 0OP OF F P      （O 为坐标原点），且 1 2 2 5cos 5PF F  ，则该双曲线的离心率为（ ） A． 3 B．2 C．3 D． 5 9．答案：D 解析：由 2 2 0OP OF F P      可得 2OP OF ，又因为OP 是 1 2PF F△ 的中线，所以 1 2PF F△ 是直角三 角形， 1 2 90F PF   ，所以 1 1 2 1 2 2cos 5 PFPF F F F   ，不妨设 1 1 22, 5PF F F  ，则 2 1PF  ， 所以双曲线的离心率 1 2 1 2 2 52 F Fc ce a a PF PF    ． P F2F1 O 10．已知函数 2( ) 3 3 sin cos 3cos4 4 4 x x xf x m   在[0, 2 ] 上的最小值为 3 2 ，点 A 为函数 ( )f x 在 y 轴右侧的第一个最高点，点 B 为函数 ( )f x 在 y 轴右侧的第二个对称中心，O 为坐标原点，则 tan BAO  （ ） A． 2 11 2 9    B． 11 2 9    C． 9 2 D． 1  10．答案：A 解析： 1 cos3 3 3 32( ) sin 3 3 sin cos 1 3sin2 2 2 2 2 2 2 6 2 x x x x xf x m m m                      ， 当 0 2x ≤ ≤ 时， 7 6 2 6 6 x  ≤ ≤ ，所以当 2x  时，函数 ( )f x 取得最小值 3(2 ) 2f m    ， 所以 ( ) 3sin 2 6 xf x      ，令 2 6 2 x    ，得 2 3x  ， 2 , 23A      ，令 22 6 x    ，得 11 3x  ， 所以 11 ,03B      ，取点 2 ,03D      ，则 AD OB ， 2tan , tan9OAC BAC     ， 所以 2 2 tan tan 119tan tan( ) 21 tan tan 2 91 9 OAC BACBAO OAC BAC OAC BAC                      4 3 2 1 1 2 3 π 2 π 3π 2 2π 5π 2 3π 7π 2 A C BO 11．如图 1，在直角梯形 ABCD 中， // , , 2 , ,AD BC BC CD AD BC BC CD M   是 AD 的中点， N 是 AM 的中点，把 ABM△ 沿直线 BM 翻折，连接 ,BN CM ，如图 2，设 AMD   ，当异面直线CM 与 BN 所成的角是60 时，cos  （ ） A B C DMN N M B C D A 图1 图2 A． 6 13  B． 102 2 C． 61 3 D． 10 22  11．答案：B 解析：在图 2 中，延长 DM 到 E ，使 ME MD ，连接 ,BE NE ，则 //BE MC ，则 60EBN   或120 ， 设 2BC  ，则 1, 2, 2 2, 5MN ME BE BN    ，当 60EBN   时， 在 EBN△ 中， 2 2 2 2 cos60 8 5 2 2 2 5 cos60 13 2 10EN BE BN BE BN              ， 在 EMN△ 中， 2 2 2 2 cos( ) 5 4cosEN ME MN ME MN           ， 所以13 2 10 5 4cos   ，解得 10cos 2 2   ． N M D A E 当 120EBN   时，同理可得 10cos 2 12    ， 故舍去． 12．已知函数 ( ) ( 2) ( 0)xf x kx e x x    ，若 ( ) 0f x  的解集为 ( , )s t ，且( , )s t 中恰有两个整数，则实 数 k 的取值范围为（ ） A． 2 1 11, 2e e      B． 4 3 1 1 1 2,2 3e e      C． 2 1, 1e      D． 3 2 1 2 1, 13e e      12．答案：D 解析：令 ( ) ( 2) 0xf x kx e x    ，得 2 x xkx e  ，设 ( ) ( 0)x xg x xe  ，则 1( ) ( 0)x xg x xe    ，则 当 (0,1)x 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增；当 (1, )x  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减．当 x   时， ( ) 0g x  ，作出 ( )g x 及函数 2y kx  的大致图象如图所示． ( ) 0f x  的解集为( , )s t ，且( , )s t 中恰有 两个整数解，由图可知，这两个整数解为 1 和 2，从而有 2 3 22 2 33 2 k e k e      ≥ ，解得 3 2 1 2 1 13 ke e  ≤ ． 0.5 0.5 1 1.5 2 1 2 3O 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上． 13．已知向量 (8, ), ( ,1)a x b x   ，若   // 2a b a b     ，则 x  ． 13．答案： 2 2 解析：    (8 , 1), 2 (16 , 2 1), // 2a b x x a b x x a b a b                 ， (8 )(2 1) (16 )( 1) 0x x x x       ，即 23 24 0x   ，解得 2 2x   ． 解法二：定理：若   1 1 2 2//x a y b x a y b     ，则 1 2 2 1 0x y x y  或 //a b  ．     2// 2 , // , 8, 2 2a b a b a b x x            ． 14．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则 此点取自阴影部分的概率是 ． 14．答案： 3 3 4   解析：设半圆的半径为 2，则长方形的宽为 2，长为 4，长方形的面积为 2 4 8  ，在阴影中作如图所示的 辅助线，则易知 21 2 1 2 82 2 2 2 sin 2 32 3 2 3 3S               阴影 ．所以此点取自阴影部分的概率 是 8 2 3 33 8 3 4     ． 15．已知 A 是抛物线 2 4y x  上的动点，点 A 在 y 轴上的射影是点C ，B 是圆 2 2: ( 3) ( 2) 1D x y    上的动点，则 AB AC 的最小值是 ． 15．答案： 2 5 2 解析： 1 1 1 2 2 5 2≥ ≥AC AB AC AD AF AD DF          ， 当且仅当 , , ,A F B D 四点共线时等号成立． 16．某三个港口 , ,A B C 的位置如图所示，其中 B 在 A 南偏西30 方向，相距80 n mile ， ,A C 两地相距 3 2 1 1 2 2 4 B C F D O A 150 n mile ，现有两艘船分别从 ,A B 港口同时出发，其中货船从 A 港口直线驶往C 港口，速度为 25 节， 海警船从 B 港口出发往正东方向行驶，速度为(20 15 3) 节，2 小时后，货船在 D 处发生故障，停止航 行并发出求救信号，海警船即时收到求救信号并立刻向货船所在位置航行，当时海警船所处位置 E 距C 港 口100 3 n mile ，记海警船向货物航行的方向为北偏西 ，则sin  ． 注： n mile 即海里，1 节 1 n mile/h ． A B C 北 D E 30  16．答案： 3 3 4 10  解析：由条件知 50 n mile, (40 30 3) n mileAD BE   ，连接 AE ，过点 A 作 AH BE 于点 H ， 则 80 cos30 40 3 (n mile), 80 sin 30 40(n mile), 30 3 (n mile)AH BD EH BE BH           2 2 50 3(n mile)AE AH EH   ，又 150 n mile, 100 3 n mileAC CE  ，所以 90CAE  ， 又 50 n mileAD  ，所以可知 30AED   ， 30EAH AED EAH         ， 而 3 4sin , cos5 5EAH EAH    ， 所以 3 3 4 1 3 3 4sin sin cos30 cos sin 30 5 2 5 2 10EAH EAH            三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． A B C 北 D E 30  H 80 40 30 3 100 3 50 3 150 17．（本小题满分 12 分） 已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且满足 1 2a  ， 12 2 4( 2, )n na n a n n     N≥ ，数列{ }nb 的通项 n n Sb n ． 证明：（1）数列{ }nb 是等差数列；（2） 2 2 2 1 2 1 1 1 1 nb b b    ． 17．（1） 12 2 4( 2, )n na n a n n     N≥ ，不妨设  1( ) 2 ( ( 1) )n na kn b a k n b      ， 整理得： 12 2n na kn a k b    ，所以 2, 2 4k k b   ，解得 0b  ， 12 2[ 2( 1)] ( 2, )n na n a n n n       N≥ ，………………………………………………1 分 当 1n  时， 12 2 0na n a    ，………………………………………………………………2 分 2 0na n   ，即 2 ( )na n n  N ，…………………………………………………………3 分 1 (2 2 ) ( 1)2nS n n n n     ．……………………………………………………………………4 分 1n n Sb nn    ，……………………………………………………………………………………5 分 1 ( 2) ( 1) 1n nb b n n       为常数，所以数列{ }nb 是等差数列．………………………………6 分 （2）由（1）知 2 2 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1nb n n n n n      ，…………………………………………9 分 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 12 2 3 1 1nb b b n n n                                 ．……………………12 分 18．（本小题满分 12 分） 如图，已知底面为正三角形的直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA AB ， D 为 AB 的中点， E 为 1CC 的中 点． （1）证明：平面 1CDC  平面 1C AB ； （2）求二面角 1A BC E  的余弦值． 18．解析：（1） ABC△ 为等边三角形， D 是 AB 的中点， AB CD  ．……………………1 分 A B C D E A1 B1 C1 1CC  平面 ABC ， AB  平面 ABC ， 1CC AB  ．…………………………………………2 分 1CC CD C  ， AB  平面 1CDC ．…………………………………………………………4 分 AB  平面 1C AB ，∴平面 1CDC  平面 1C AB ．…………………………………………………5 分 （2）取 BC 的中点O ，连接 AO ，则 AO BC ，又 1CC  平面 ABC ，所以 1CC AO ， 且 1BC CC C ， AO  平面 1 1BCC B ．………………………………………………………………7 分 以O 为原点，OA 所在直线为 x 轴、OB 所在直线为 y 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz ，易知平 面 1 1BCC B 的一个法向量为 (1,0,0)m   ．…………………………………………………………………8 分 设 2AB  ，则 1 1( 3,0,0), (0,1,0), , (0, 1,2)A B AA AB C   ， 1( 3, 1,0), (0, 2,2)BA BC       ．……………………………………………………………………9 分 设平面 1ABC 的法向量为 ( , , )n x y z ，则 1 3 0 2 2 0 n BA x y n BC y z               ， 取 1x  ，则 3y z  ， (1, 3, 3)n  为平面 1ABC 的一个法向量，…………………………11 分 1 7cos , 71 1 3 3 m nm n m n             ， 易知二面角 1A BC E  为锐二面角，二面角 1A BC E  的余弦值为 7 7 ．……………………12 分 A B C D E A1 B1 C1 O x y z 19．（本小题满分 12 分） “2018 弘扬中华优秀传统文化经验交流大会”于 2018 年 11 月 26 日在深圳举行，会议同期举行了“深圳 市中华优秀传统文化公益讲堂”启动仪式．从 2019 年 1 月起到 12 月，深圳市文化和健康发展促进会将连 续举办 52 场中华优秀传统文化公益讲堂，邀请多位名家名师现场开讲．某学校文学社为相应这次活动， 举办了中华古诗词背诵比赛，统计的成绩（单位：分）的数据如频率分布直方图所示，已知成绩在[80,90) 内的有 50 人． （1）求 a 的值及参加比赛的总人数． （2）分别从[80,90), [90,100] 分数段中选取 1 人和 2 人组成“优胜”队，与另一学校的“必胜”队的三 人进行友谊赛，两队的选手每人均比赛 1 局，共比赛 3 局，胜 1 局得 1 分，输 1 局得 0 分，没有平局．已 知“优胜”队中成绩在[80,90) 内的选手获胜的概率为 2 5 ，在[90,100]内的 2 名选手获胜的概率分别为 2 3,3 7 ，记“优胜”队得分为随机变量 X ，求 X 的分布列，并用统计学的知识说明哪个队的实力较强． 19．解析：（1）由题意可得 (0.01 0.02 0.03) 10 1a     ，解得 0.04a  …………………………1 分 因为成绩在[80,90) 内的有 50 人，且成绩在[80,90) 内的频率为0.02 10 0.2  ，……………………2 分 所以参加比赛的总人数为 50 2500.2  ．……………………………………………………………………4 分 （2）X 的所有可能取值为 3，2，1，0， 2 2 3 4 2 2 4 1 2 3 2 3 3 8( 3) , ( 2)3 5 7 35 3 5 7 3 5 7 3 5 7 21P X P X                ， 2 3 4 1 3 3 1 2 4 41 1 3 4 4( 1) , ( 0)3 5 7 3 5 7 3 5 7 105 3 5 7 35P X P X                ． ∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 4 35 41 105 8 21 4 35 4 41 8 4 157( ) 0 1 2 335 105 21 35 105E X          ．……………………………………………………9 分 设“必胜”队的得分为随机变量Y ， 1583, 3 , ( ) (3 ) 3 ( ) 105X Y Y X E Y E X E X           ．………………………………11 分 ( ) ( )E Y E X  ，∴“必胜”队的实力较强．…………………………………………………………12 分 20．（本小题满分 12 分） 如图，已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b    的离心率为 1 2 ，左、右焦点分别为 1 2,F F ，椭圆的一条弦 AB 过 其右焦点 2F ， AB 的中点为 M ，直线OM 与椭圆交于点 ,C D ， 1ABF△ 的周长为 8． （1）求椭圆 E 的方程； （2）若直线 AB 的斜率 k 存在且 0k  ，求四边形 ABCD 的面积 S 的取值范围． O A B C D F1 F2 M x y 20．解析：（1）由 1 2 ce a  得 2a c ，………………………………………………………………1 分 由题意及椭圆的定义知 1ABF△ 的周长为 1 1 1 2 1 2 4 8AB AF BF BF BF AF AF a        ， 得 2, 1a c   ，…………………………………………………………………………………………3 分 2 2 2 3b a c    ，…………………………………………………………………………………………4 分 ∴椭圆 E 的方程为 2 2 14 3 x y  ．…………………………………………………………………………5 分 （2）由题意可知直线 AB 的方程为 ( 1), 0y k x k   ，将其代入 2 2 14 3 x y  ，消去 y 得： 2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k     ， 2144( 1) 0,k    设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 则 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12,4 3 4 3 k kx x x xk k     ．……………………………………………………………………6 分 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 12 ( 1) 12( 1)1 ( ) 4 (1 ) (4 3) 4 3 k kAB k x x x x k k k             ，…………………………7 分 2 2 2 4 3,4 3 4 3 k kM k k      ，∴直线OM 的斜率 3 4OMk k  ， ∴直线OM 的方程为 3 4y xk  ．……………………………………………………………………8 分 由 2 2 14 3 3 4 x y y xk       ，得 2 2 4 4 3 4 4 3 kx k ky k        或 2 2 4 4 3 4 4 3 kx k ky k        ， 不妨设 2 2 2 2 4 3 4 3, , , 4 3 4 3 4 3 4 3 k kC D k k k k               ，……………………………………9 分 ∴点 ,C D 到直线 AB 的距离之和为 2 ( 1) ( 1) 1 C C D D C D k x y k x yd d k            2 22 2 ( 1) ( 1) ( ) ( ) 4 32 11 1 C C D D C D C Dk x y k x y k x x y y k kk k              ．……………………10 分   2 2 2 2 2 2 2 1 1 12( 1) 4 3 1 1 12 12 12 ( 0)2 2 4 3 1 4 3 4 4(4 3)C D k k kS AB d d kk k k k                ………………………………………………………………………………………………………………11 分 S 的取值范围为(6, 4 3) ．…………………………………………………………………………12 分 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ln , ( ) ,f x x g x ax a a   R ． （1）若直线 ( )y g x 是曲线 ( )y f x 的一条切线，求 a 的值； （2）若 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 是曲线 ( ) ( ) ( )y h x f x g x   上的两个不同的点，证明： 1 2 1 2 1 22 x x y yh x x        ． 21．解析：（1）设直线 ( )y g x 与曲线 ( )y f x 切于点( ,ln )t t ， 1( ) ( 0)f x xx    ，∴切线斜率 1k t ． 切线方程为 1ln ( )y t x tt   ，即 1 ln 1y x tt   ，……………………………………………………1 分 1 , ln 1a t at     ，消去t 得， ln 1 0a a   ．设 ( ) ln 1a a a    ，则 1( ) 1a a   ， 所以当0 1a  时， ( ) 0, ( )a a   单调递减；当 1a  时， ( ) 0, ( )a a   单调递增． min( ) (1) 1 ln1 1 0a       ，…………………………………………………………………………2 分 1a  ．……………………………………………………………………………………………………3 分 （2） 1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ln , ( ) ( ) ln ln ( )h x f x g x x ax a y y h x h x x x a x x             ， 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ln ln ( ) ln lny y x x a x x x x ax x x x x x          ．………………………………………………5 分 又 1 2 1 2 1 2( ) , 2 x xh x a h ax x x           ，………………………………………………………6 分 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 ln ln 2( )2 1 1ln ln2 1 x xx x y y x x x x x xh xx x x x x x x x x x x x x x x                                       ……………………………………………………………………………………………………………………8 分 不妨设 1 2 1 2 0 , xx x p x   ，则 1p  ， 1 2 1 1 2 2 2 1 2( 1)ln ln11 x x x p px x p x         ．……………………………………………………………………9 分 令 2( 1)( ) ln ( 1)1 pu p p pp    ，则 2( 1)( ) 0(1 ) pu p p p     ，……………………………………10 分 ( )u p 在 (1, ) 上单调递减， ( ) (1) 0u p u   ．…………………………………………………11 分 又 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 0 , 0 02 x x y yx x x x h x x              ，即 1 2 1 2 1 22 x x y yh x x        ．…………12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 1 2 2 x t y t     （t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 2 22 cos 4 0a a      ． （1）若直线l 过圆C 的圆心，求实数 a 的值； （2）若圆C 过定点 11,02D     ，且与直线l 交于 ,A B 两点，点 (1,0)P ，求 AP BP 的值． 22．解析：（1）将直线l 的参数方程中的参数t 消去，得其普通方程为 1y x  ，………………1 分 将 2 2 2 , cosx y x     代入圆C 的极坐标方程，得圆C 的直角坐标方程为 2 2( ) 4x a y   ……3 分 圆心坐标为( ,0)a ，依题意得0 1a  ，解得 1a  ．……………………………………………………5 分 （1）因为点 (1,0)P 在直线 1y x  上， 所以直线l 的标准参数方程为 21 2 2 2 x t y t      （t 为参数），………………………………………………6 分 将上式代入圆C 的直角坐标方程，得 2 22(1 ) 2 3 0t a t a a       ，………………………………7 分 2 2 22(1 ) 4( 2 3) 2 4 14 0a a a a a           ，得 2 2 1 1 2 2a     ． 把 11,02D     代入 2 2( ) 4x a y   ，得 211 42 a     ，解得 7 2a  或 15 2a  （舍去）．………………8 分 设 ,A B 对应的参数分别为 1 2,t t  ，则 2 1 2 92 3 4t t a a      ，……………………………………………9 分 所以 1 2 9 4AP BP t t    ．…………………………………………………………………………10 分 23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 设函数 ( ) 2 , ( ) 1f x x g x x   ． （1）解不等式 ( ) 4 ( )f x g x ； （2）若 ( ) 2 ( ) 1 0f x g x ax    恒成立，求实数 a 的取值范围． 23．解析：（1）不等式 ( ) 4 ( )f x g x ，即 2 1x x  ，………………………………………………1 分 则 2 24( 1)x x  ，…………………………………………………………………………………………2 分 所以(3 2)( 2) 0x x   ，解得 2 23 x  ．………………………………………………………………4 分 故所求不等式的解集为 2 , 23      ．……………………………………………………………………………5 分 （2） ( ) 2 ( ) 1 2 2 1 1f x g x ax x x ax        ，依题意得 2 2 1 1 0x x ax     恒成立，…6 分 ①当 0x≤ 时， 2 2 2 1 0x x ax      恒成立，即( 14) 1a x  恒成立， 可得 4 0a  ≥ ，此时 4a ≥ ； …………………………7 分 ②当0 1x  时， 2 2 2 1x x ax    恒成立，即 1a x 恒成立，可得 1a ≤ ；………………………8 分 ③当 1x≥ 时， 2 2 2 1x x ax    恒成立，即 34a x  恒成立，可得 1a  ．………………………9 分 综上，实数 a 的取值范围是[ 4,1) ．……………………………………………………………………10 分