高中数学 1_3_3 函数的最值与导数同步练习 新人教A版选修2-2 8页

选修2-2 ‎1.3.3‎ 函数的最值与导数 一、选择题 ‎1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)(　　)‎ A．等于0　　　　　　　 B．大于0‎ C．小于0 D．以上都有可能 ‎[答案]　A ‎[解析]　∵M＝m，∴y＝f(x)是常数函数 ‎∴f′(x)＝0，故应选A.‎ ‎2．设f(x)＝x4＋x3＋x2在[－1,1]上的最小值为(　　)‎ A．0　　　　 B．－2　 　　‎ C．－1　 　　 D. ‎[答案]　A ‎[解析]　y′＝x3＋x2＋x＝x(x2＋x＋1)‎ 令y′＝0，解得x＝0.‎ ‎∴f(－1)＝，f(0)＝0，f(1)＝ ‎∴f(x)在[－1,1]上最小值为0.故应选A.‎ ‎3．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为(　　)‎ A. B．2 ‎ C．－1 D．－4‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)‎ 令y′＝0解得x＝或x＝－1‎ 当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；‎ 当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2.‎ 所以函数的最小值为－1，故应选C.‎ ‎4．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为(　　)‎ A．最大值为13，最小值为 B．最大值为1，最小值为4‎ C．最大值为13，最小值为1‎ D．最大值为－1，最小值为－7‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵y＝x2－x＋1，∴y′＝2x－1，‎ 令y′＝0，∴x＝，f(－3)＝13，f＝，f(0)＝1.‎ ‎5．函数y＝＋在(0,1)上的最大值为(　　)‎ A. B．1 ‎ C．0 D．不存在 ‎[答案]　A ‎[解析]　y′＝－＝· 由y′＝0得x＝，在上y′>0，在上 y′<0.∴x＝时y极大＝，‎ 又x∈(0,1)，∴ymax＝.‎ ‎6．函数f(x)＝x4－4x (|x|<1)(　　)‎ A．有最大值，无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，有最小值 D．既无最大值，也无最小值 ‎[答案]　D ‎[解析]　f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．‎ 令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)‎ ‎∴该方程无解，‎ 故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.‎ ‎7．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是(　　)‎ A．5，－15 B．5,4‎ C．－4，－15 D．5，－16‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　y′＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，‎ 令y′＝0，得x＝2或x＝－1(舍)．‎ ‎∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，‎ ‎∴ymax＝5，ymin＝－15，故选A.‎ ‎8．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D.或－ ‎[答案]　C ‎[解析]　y′＝－2x－2，令y′＝0得x＝－1.‎ 当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．‎ 当－10得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－20得x>，由y′<0得x<.‎ 此函数在上为减函数，在上为增函数，∴最小值在x＝时取得，ymin＝.‎ ‎12．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值________，最小值为________．‎ ‎[答案]　不存在；－28 ‎[解析]　f′(x)＝－36＋6x＋12x2，‎ 令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝；当x>时，函数为增函数，当－2≤x≤时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(－2)＝57，f＝－28，所以最小值为－28.‎ ‎13．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．‎ ‎[答案]　－1‎ ‎[解析]　f′(x)＝＝ 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍去)‎ 当x>时，f′(x)<0；当00；‎ 当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．‎ ‎∴f(x)max＝f(1)＝＝，解得a＝－1.‎ ‎14．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.‎ ‎[答案]　32‎ ‎[解析]　f′(x)＝3x2－12‎ 由f′(x)>0得x>2或x<－2，‎ 由f′(x)<0得－20；‎ 当－1－时，f′(x)>0，‎ 所以f(x)在上的最小值为 f＝ln2＋.‎ 又f－f＝ln＋－ln－＝ln＋＝<0，‎ 所以f(x)在区间上的最大值为 f＝ln＋.‎ ‎17．(2010·安徽理，17)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋‎2a，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间及极值；‎ ‎(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.‎ ‎[分析]　本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．‎ 解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．‎ ‎[解析]　(1)解：由f(x)＝ex－2x＋‎2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.‎ 令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，ln2)‎ ln2‎ ‎(ln2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 单调递减 ‎2(1－ln2＋a)‎ 单调递增 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，‎ f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋‎2a＝2(1－ln2＋a)．‎ ‎(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋‎2a，x∈R.‎ 由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.‎ 于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．‎ 于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．‎ 而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.‎ 即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.‎ ‎18．已知函数f(x)＝，x∈[0,1]．‎ ‎(1)求f(x)的单调区间和值域；‎ ‎(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－‎3a2x－‎2a，x∈[0,1]．若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)对函数f(x)求导，得 f′(x)＝＝－ 令f′(x)＝0解得x＝或x＝.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎(0，)‎ ‎(，1)‎ ‎1‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎－  ‎－4‎  ‎－3‎ 所以，当x∈(0，)时，f(x)是减函数；‎ 当x∈时，f(x)是增函数．‎ 当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3]．‎ ‎(2)g′(x)＝3(x2－a2)．‎ 因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0.‎ 因此当x∈(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1)，g(0)]．‎ 又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即x∈[0,1]时有g(x)∈[1－2a－3a2，－2a]．‎ 任给x1∈[0,1]，f(x1)∈[－4，－3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立，‎ 则[1－2a－3a2，－2a]⊇[－4，－3]．‎ 即 解①式得a≥1或a≤－；解②式得a≤.‎ 又a≥1，故a的取值范围为1≤a≤.‎