数学理卷·2018届河南省许昌市三校（+许昌高中、长葛一高、襄城高中）高二下学期第一次联考（2017-02） 8页

许昌市三校联考高二下期第一次考试 数学（理科）‎ 考试时间：120分钟 分值：150分 本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.‎ 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求）‎ ‎1. 命题“对任意，都有”的否定为（ ）‎ A．存在，使得. B．对任意，都有.‎ C．存在，使得. D．不存在，使得.‎ ‎2. 椭圆的离心率为，则的值为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎3. 如图，在长方体中,，‎ 则与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 已知命题是单调增函数；命题，‎ ‎，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6. 设的内角A,B,C的对边分别为.若，且 ‎，则＝（ ）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎7. 已知数列满足，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8. 若实数满足条件，则的最大值为（ ）‎ A．9 B．‎11 ‎ C．12 D．16‎ ‎9. 在中，若，则的形状一定是 ‎（ ）‎ A．等边三角形 B．不含的等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 ‎10.已知斜率为3的直线与双曲线交于A,B两点，若点 是AB的中点，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎11.已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，‎ 则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．不存在 ‎12.如图，是双曲线的左、右两个焦 点，若直线与双曲线C交于P,Q两点，且四边形为矩 形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知点，则向量与的夹角为 .‎ ‎14.若关于的不等式的解集为，则实数 .‎ ‎15.在等比数列中，且数列的前n项和，‎ 则等比数列的项数n＝ .‎ ‎16.椭圆的左焦点为, 直线与椭圆相交于点A,B，当的周长 最大时，的面积是 .‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（10分）的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为，.‎ ‎（1）求;‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎18.（12分）已知函数在上 单调递减，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎19.（12分）在公比为正数的等比数列中，，数列的前 n项和.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ ‎20.（12分）如图，分别是椭圆的左、右焦点， A是椭 圆C的顶点，B是直线与椭圆C的另一个交点，.‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）已知面积为，求的值.‎ ‎21.（12分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，‎ ‎.‎ ‎（1）求证：平面DCF；‎ ‎（2）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为.‎ ‎22.（12分）已知椭圆的上下两个焦点分别为,过点 与 轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点，的面积为，椭圆C的离心率 为.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知O为坐标原点，直线与轴交于点P，与椭圆 C交于A,B两个不同的点，若存在实数，使得,求m的取值范围.‎ 许昌市三校联考高二下期第一次考试 数学（理）试题答案 ‎1－6 ACDDBC 7-12 BBDAAC ‎13、 14. 2 15. 5 16. 3‎ ‎17.（1）∵ ∴‎ 由 得bc=156‎ ‎∴ 5分 ‎（2）由，可得 由余弦定理得：或（舍去）‎ ‎∴a的值为5 10分 ‎18、由 当时，取最小值0.‎ 若P为真命题，则 3分 若为真命题，则 6分 由题意知，中有且只有一个为真命题，‎ 若真假，则； 8分 若 假真，则 10分 综上，实数的取值范围为 12分 ‎19.（1）设数列的公比为 由，可得或（舍去），则 ‎∴ ∵‎ ‎∴当时， 当时，也符合上式 ‎∴‎ 综上， ， 6分 （2） 由（1）知 ‎∴…………………………………①‎ ‎……………②‎ ‎①-②得：‎ ‎∴…………………………………………………………（12分）‎ ‎20.解：（1）由题意可知，为等边三角形，，‎ 所以. 4分 ‎（2）解法1：‎ 直线AB的方程可为.‎ 将其代入椭圆方程，得.‎ 所以.‎ 由＝‎ ‎，解得. 12分 解法2：设.‎ 因为，所以.‎ 由椭圆定义可知，.‎ 再由余弦定理 可得，.‎ 由知，.‎ ‎21.（1）证明：过E作EG⊥CF于G，连接DG，则四边形BCGE为矩形.‎ 又ABCD为矩形 所以AD平行且等于EG ∴四边形ADGE为平行四边形.‎ ‎∴AE∥DG ‎∵AE平面DCF，DG平面DCF，∴AE∥平面DCF. 4分 （2） 分别以直线BE、BC、BA所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，依题意可得：B（0，0，0），C（0，，0），E（3，0，0），F（4，，0）设AB＝，则A（0，0，）.‎ 可求得平面CEF的法向量.‎ 平面AEF的法向量 8分 由 得：.‎ ‎ ∴当AB＝时，二面角A—EF—C的大小为60 12分 ‎22.（I）根据已知设椭圆C的焦距为‎2c，当y＝c时，，‎ 由题意，……………………（3分）‎ 由已知得 ‎……………………………………………………（5分）‎ ‎（II）若m=0，则P（0，0），由椭圆的对称性得0.‎ ‎∴m＝0时，存在实数λ使得成立.……………………………………（7分）‎ 若m≠0，由，得，因为A，B，P共线，‎ 所以1+λ＝4，解得λ＝3.‎ 设A（），B（），由得 ‎，‎ 由已知得＞0，即k2－m2+4＞0‎ 且，.………………………………………………………（9分）‎ 由得－x1=3x2，即∴，‎ ‎∴，即.……………………………（10分）‎ 当时，不成立，∴，‎ ‎∵∴，即，‎ ‎∴，解得或 综上所述，m的取值范围为.…………………（12分）‎