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- 2021-06-23 发布
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一、选择题
1.[2015·重庆高考]在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=( )
A.-1 B.0
C.1 D.6
答案 B
解析 设数列{an}的公差为d,由a4=a2+2d,a2=4,a4=2,得2=4+2d,d=-1,∴a6=a4+2d=0.故选B.
2.[2016·山西四校联考]等比数列{an}的前n项和为Sn,若公比q>1,a3+a5=20,a2a6=64,则S5=( )
A.31 B.36
C.42 D.48
答案 A
解析 由等比数列的性质,得a3a5=a2a6=64,于是由且公比q>1,得a3=4,a5=16,所以解得所以S5==31,故选A.
3.[2016·唐山统考]设Sn是等比数列{an}的前n项和,若=3,则=( )
A.2 B.
C. D.1或2
答案 B
解析 设S2=k,S4=3k,由数列{an}为等比数列,得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列,∴S2=k,S4-S2=2k,S6-S4=4k,∴S6
=7k,S4=3k,∴==,故选B.
4.[2015·浙江高考]已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则( )
A.a1d>0,dS4 >0 B.a1d<0,dS4<0
C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0
答案 B
解析 由a=a3a8,得(a1+2d)(a1+7d)=(a1+3d)2,整理得d(5d+3a1)=0,又d≠0,∴a1=-d,则a1d=-d2<0,又∵S4=4a1+6d=-d,∴dS4=-d2<0,故选B.
5.正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,若存在am,an,使得am·an=16a,m,n∈N*,则+的最小值为( )
A.2 B.16
C. D.
答案 C
解析 设数列{an}的公比为q,a3=a2+2a1⇒q2=q+2⇒q=-1(舍)或q=2,∴an=a1·2n-1,am·an=16a⇒a·2m+n-2=16a⇒m+n=6,∵m,n∈N*,∴(m,n)可取的数值组合为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),计算可得,当m=2,n=4时,+取最小值.
6.[2016·吉林长春质量监测]设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=a2=1,{nSn+(n+2)an}为等差数列,则an=( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设bn=nSn+(n+2)an,则b1=4,b2=8,{bn
}为等差数列,所以bn=4n,即nSn+(n+2)an=4n,Sn+an=4.
当n≥2时,Sn-Sn-1+an-an-1=0,所以an=an-1,即2·=,又因为=1,所以是首项为1,公比为的等比数列,所以=n-1(n∈N*),an=(n∈N*),故选A.
二、填空题
7.[2015·广东高考]在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=________.
答案 10
解析 利用等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5,从而a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,故a5=5,所以a2+a8=2a5=10.
8.[2016·辽宁质检]设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=2Sn+3,则S4=________.
答案 66
解析 依题an=2Sn-1+3(n≥2),与原式作差得,an+1-an=2an,n≥2,即an+1=3an,n≥2,可见,数列{an}从第二项起是公比为3的等比数列,a2=5,所以S4=1+=66.
9.[2016·云南统考]在数列{an}中,an>0,a1=,如果an+1是1与的等比中项,那么a1++++…+的值是________.
答案
解析 由题意可得,a=⇒(2an+1+anan+1+1)(2an+1-anan+1-1)=0,又an>0,∴2an+1-anan+1-1=0,又2-an≠0,∴an
+1=⇒an+1-1=,又可知an≠1,∴=-1,∴是以为首项,-1为公差的等差数列,∴=-(n-1)=-n-1⇒an=⇒==-,∴a1++++…+=1-+-+-+-+…+-=.
三、解答题
10.[2016·蚌埠质检]已知数列{an}是等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,且a3=3,S3=9.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2,且{bn}为递增数列,若cn=,求证:c1+c2+c3+…+cn<1.
解 (1)设该等比数列的公比为q,则根据题意有3·=9,从而2q2-q-1=0,
解得q=1或q=-.
当q=1时,an=3;
当q=-时,an=3·n-3.
(2)证明:若an=3,则bn=0,与题意不符,
故an=3n-3,
此时a2n+3=3·2n,∴bn=2n,符合题意.
∴cn===-,
从而c1+c2+c3+…+cn=1-<1.
11.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3,b4,b5.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列是等比数列.
解 (1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.
依题意,得a-d+a+a+d=15,
解得a=5.
所以{bn}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.
依题意,有(7-d)(18+d)=100,
解得d=2或d=-13(舍去).
故{bn}的第3项为5,公比为2,
由b3=b1·22,即5=b1·22,
解得b1=.
所以{bn}是以为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为bn=·2n-1=5·2n-3.
(2)证明:数列{bn}的前n项和Sn==5·2n-2-,即Sn+=5·2n-2.
所以S1+=,==2.
因此是以为首项,2为公比的等比数列.
12.[2016·西安质检]等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,前n项和为Sn;数列{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=6,b2+S3=8.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)求++…+.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d,d>0,{bn}的公比为q,
则an=1+(n-1)d,bn=qn-1.
依题意有
解得或(舍去)
故an=n,bn=2n-1.
(2)由(1)知Sn=1+2+…+n=n(n+1),
==2,
∴++…+
=2
=2=.