2019届二轮复习第一章集合与常用逻辑用语1 38页

- 1 - - 2 - 知识梳理 双击自测 1 . 集合的含义与表示 (1) 集合的含义 : 我们把研究对象统称为 　　　　 , 把一些元素组成的总体叫做 　　　　 .  (1) 集合元素的三个特征 : 　　　　 、 　　　　 、 　　　　 .   (2) 元素与集合的关系是 　　　 或 　　　　 关系 , 用符号 _______ 或 　　　 表示 .   (3) 集合的表示法 : 　　　　 、 　　　　 、图示法 .   (4) 常用数集的符号 : 自然数集 　　 ; 正整数集 　　 ( 或 　　　　 ); 整数集 　　 ; 有理数集 　　 ; 实数集 　　 .   元素 集合 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 ∈ ∉ 列举法 描述法 N N * N + Z Q R - 3 - 知识梳理 双击自测 2 . 集合间的基本关系 (1) 子集 : 对任意的 x ∈ A , 都有 x ∈ B , 则 　　　　 ( 或 　　　　　 ) .   性质 : ① A ⊆ A ; ② ⌀⊆ A ; ③ 若 A ⊆ B , 且 B ⊆ C , 则 　　　　　 ;   ④ 若有限集 A 中有 n 个元素 , 则 A 的子集个数为 　　　 个 .  (2) 真子集 : 若集合 　　　　 , 但存在元素 　　　　 , 且 　　　　 , 则 A ⫋ B ( 或 B ⫌ A );   (3) 集合相等 : 若 　　　　 , 且 　　　　 , 则 A=B ;   (4) 空集 : 　　　　　　　　　　 叫做空集 , 记作 : 　　　 .   规定 : 空集是 　　　　　　　　　　 .   A ⊆ B B ⊇ A A ⊆ C 2 n A ⊆ B x ∈ B x ∉ A A ⊆ B B ⊆ A 不含任何元素的集合 ⌀ 任何集合的子集 - 4 - 知识梳理 双击自测 3 . 集合的基本运算 { x|x ∈ A , 或 x ∈ B } { x|x ∈ A , 且 x ∈ B } { x|x ∈ U , 且 x ∉ A } A A ⊇ ⊇ ⊆ A ⌀ ⊆ ⊆ B ⊆ A ⌀ U ∩ ∪ - 5 - 知识梳理 双击自测 1 .(2018 浙江 “ 七彩阳光 ” 联盟高三期初联考 ) 已知全集 U={1,3,5,7,9,11},A={1,3},B={9,11}, 则 ( ∁ U A) ∩ B= ( 　　 ) A. ⌀ B.{1,3} C.{9,11} D.{5,7,9,11} 答案 解析 解析 关闭 由题意知 ,∁ U A= {5,7,9,11},(∁ U A )∩ B= {9,11}, 故选 C . 答案 解析 关闭 C - 6 - 知识梳理 双击自测 2 . 设集合 A= { x|x= 3 k , k ∈ N }, B= { x|x= 6 z , z ∈ N }, 则集合 A , B 的关系是 ( 　　 ) A. A ⫋ B B. A ⫌ B C. A=B D. A ∩ B= ⌀ 答案 解析 解析 关闭 当 k= 2 n ( n ∈ N ) 时 , x= 6 n ( n ∈ N ); 当 k= 2 n+ 1( n ∈ N ) 时 , x= 6 n+ 3( n ∈ N ) . 所以 A= { x|x= 6 n , 或 x= 6 n+ 3, n ∈ N }, 故 A ⫌ B. 答案 解析 关闭 B - 7 - 知识梳理 双击自测 3 . (2017 北京高考 ) 若集合 A= { x|- 2 3}, 则 A ∩ B= ( 　　 ) A.{ x|- 2 0, 所以集合 B 中的元素个数为 3 . 答案 解析 关闭 D 【例 1 】 (1) 若集合 A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x,y ∈ A}, 则集合 B 中的元素个数为 ( 　　 ) A.9 B.6 C.4 D.3 - 12 - 考点一 考点二 考点三 考点四 (2) 设非空集合 S= { x|m ≤ x ≤ n }, 满足 : 当 x ∈ S 时 , 有 x 2 ∈ S , 给出如下 A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 13 - 考点一 考点二 考点三 考点四 (3) 已知集合 A={1,-2,x 2 -1},B={1,0,x 2 -3x}, 且 A=B, 则 x= 　　　 .  答案 答案 关闭 - 14 - 考点一 考点二 考点三 考点四 方法总结 1 . 研究集合问题时 , 首先要明确构成集合的元素是什么 , 即弄清该集合是数集、点集 , 还是其他集合 , 然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么 , 从而准确把握集合的意义 . 常见的集合的意义如下表 . 2 . 利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时 , 集合中元素的互异性常常容易忽略 , 求解问题时要特别注意 . 分类讨论的思想方法常用于解决集合问题 . - 15 - 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练 (1) 设集合 A= {1,2,3}, B= {4,5}, M= { x|x=a+b , a ∈ A , b ∈ B }, 则 M 中的元素个数为 ( 　　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 解析 解析 关闭 因为集合 M 中的元素 x=a+b , a ∈ A , b ∈ B , 所以当 b= 4 时 , a= 1,2,3, 此时 x= 5,6,7 . 当 b= 5 时 , a= 1,2,3, 此时 x= 6,7,8 . 所以根据集合元素的互异性可知 , x= 5,6,7,8 . 即 M= {5,6,7,8}, 共有 4 个元素 . 答案 解析 关闭 B - 16 - 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2017 课标 Ⅱ 高考 ) 设集合 A= {1,2,4}, B= { x|x 2 - 4 x+m= 0} . 若 A ∩ B= {1}, 则 B= ( 　　 ) A . {1, - 3} B . {1,0} C . {1,3} D . {1,5} 答案 解析 解析 关闭 由 A ∩ B= {1}, 可知 1 ∈ B , 所以 m= 3, 即 B= {1,3}, 故选 C . 答案 解析 关闭 C - 17 - 考点一 考点二 考点三 考点四 (3) 若集合 A= { x ∈ R |ax 2 - 3 x+ 2 = 0} 中只有一个元素 , 则 a= ( 　　 ) 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 18 - 考点一 考点二 考点三 考点四 集合的基本关系 ( 考点难度 ★ ) 【例 2 】 (1) 设全集 U= R , 集合 A= { x|x ( x- 2) < 0}, B= { x|x 0, ∴ C ( A ) = 2 . 由 |x 2 +bx+ 2 |= 2, 得 x 2 +bx= 0 ① , 或 x 2 +bx+ 4 = 0 ② , 又由条件 A*B= 2 可知 C ( B ) = 4, ∴ b 2 - 16 > 0, 且方程 ① , ② 的根不重合 , 解得 b<- 4 或 b> 4 . 故选 D . 答案 解析 关闭 D - 34 - 考点一 考点二 考点三 考点四 (2) 若三个非零且互不相等的实数 a , b , c 满足 , 则称 a , b , c 是调和的 ; 若满足 a+c= 2 b , 则称 a , b , c 是等差的 , 若集合 P 中元素 a , b , c 既是调和的 , 又是等差的 , 则称集合 P 为 “ 好集 ”, 若集合 M= { x||x| ≤ 2 014, x ∈ Z }, 集合 P= { a , b , c } ⊆ M , 则 ① “ 好集 ” P 中的元素最大值为 　　　　　 ;   ② “ 好集 ” P 的个数为 　　　　　 .   答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 35 - 思想方法 —— 数形结合思想在集合中的应用 数形结合思想是数学中的一种重要思想方法 , 运用数形结合思想是解决集合问题的一种常用策略 . 在遇到集合与其他知识交汇 , 特别是函数、立体几何、解析几何等问题时 , 可以借助其对应几何图形 “ 以形助数 ”, 从而达到简化问题的目的 . - 36 - 【典例】 已知集合 A= {( x , y ) |x 2 +y 2 = 1}, B= {( x , y ) ||x|+|y|= λ }, 若 A ∩ B ≠ ⌀ , 则实数 λ 的取值范围是 　　　　　 .   解析 : 集合 A 表示圆 x 2 +y 2 = 1 上点的集合 , 集合 B 表示菱形 |x|+|y|= λ 上点的集合 , 由 λ =|x|+|y| ≥ 0 知 λ 表示直线在 y 轴正半轴上的截距 , 如图 , 若 A ∩ B ≠ ⌀ , 则 1 ≤ λ ≤ . 答题指导 本题的关键在于把点集 A ∩ B ≠ ⌀ 这个条件转化为圆与正方形有交点问题 . - 37 - 对点训练 已知集合 M= {( x , y ) |x 2 +y 2 ≤ 1}, 若实数 λ , μ 满足 : 对任意的 ( x , y ) ∈ M , 都有 ( λ x , μ y ) ∈ M , 则称 ( λ , μ ) 是集合 M 的 “ 和谐实数对 ”, 则以下集合中 , 存在集合 M 的 “ 和谐实数对 ” 的是 ( 　　 ) A.{( λ , μ ) | λ + μ = 4} B.{( λ , μ ) | λ 2 + μ 2 = 4} C.{( λ , μ ) | λ 2 - 4 μ = 4} D.{( λ , μ ) | λ 2 - μ 2 = 4} 答案 解析 解析 关闭 分析题意可知 , 所有满足题意的有序实数对 ( λ , μ ) 所构成的集合为 {( λ , μ ) |- 1≤ λ ≤1, - 1≤ μ ≤1}, 将其看作点的集合 , 为中心在原点 , 以 ( - 1,1),( - 1, - 1),(1, - 1),(1,1) 为顶点的正方形及其内部 ,A,B,D 选项分别表示直线 , 圆 , 双曲线 , 与该正方形及其内部无公共点 , 选项 C 为抛物线 , 有公共点 (0, - 1), 故选 C . 答案 解析 关闭 C - 38 - 高分策略 1 . 与集合中的元素有关的问题 , 应先确定集合的元素是什么 , 再看这些元素满足什么限制条件 , 然后根据限制条件求参数的值或确定集合元素的个数 , 要注意检验集合是否满足元素的互异性 . 2 . 根据集合间的关系求参数的关键 , 是将集合关系转化为元素之间的关系 , 进而转化为参数满足的关系 , 常借助数轴、 Venn 图求解 , 要注意对参数以及子集是否为空集进行分类讨论 . 3 . 集合的并、交、补集的运算 , 可以借助数轴和 Venn 图求解 . 利用数轴解决集合运算问题时 , 要特别注意对端点的取舍 .