2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二下学期3月月考试题 数学（文） Word版 13页

‎2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二下学期3月月考试题 数学（文） ‎ 命题人：吕建设 审题人：彭源 请注意：本试卷总分100分，时量120分钟；附加题23,24为479班学生必做题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题的四个选项中只有一个是符合题目要求）‎ ‎1．已知集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎2．函数的定义域为 A． B． C． D．‎ ‎3．已知，且，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D．‎ ‎4．函数的值域为 A． B． C． D．‎ ‎5．同时满足下列三个条件的函数为 ‎①在上是增函数；②为上的奇函数；③最小正周期为．‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设，则 A． B． C． D．‎ ‎7．不等式组所围成的平面区域的面积为 A． B． C． D．‎ ‎8．已知三个实数满足，则实数的大小关系为 A． B． C． D．‎ ‎9.函数的图象可能是 A. B. C. D. ‎ ‎10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为 A. B. C. D. ‎ ‎11.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为 A. B. C. D. ‎ 12． 设函数是定义在上的偶函数，且，当时， ，若在区间内关于的方程有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 非选择题部分 二、 填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分. 将答案填写在题中横线上)‎ ‎13．已知向量， ， ，若，则实数的值为 ‎ ‎14.的值是 ‎ ‎15．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦 图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直 角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率 为 ‎ ‎16.已知.对任意的时，不等式恒成立，则 ‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题8分)‎ 已知集合， ， ，全集为实数集．‎ ‎（）求和．‎ ‎（）若，求实数的范围．‎ ‎18.(本小题8分)‎ 下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分）.已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75.‎ ‎（）求的值；（直接写出结果，不必写过程）‎ ‎（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率.‎ ‎19．(本小题8分)‎ 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎ ‎ ‎20.(本小题9分)‎ 已知数列满足：，.‎ ‎（1）求及通项；‎ ‎（2）设是数列的前项和，则数列，，，…中哪一项最小？并求出这个最小值.‎ ‎21．(本小题9分)‎ 已知圆以坐标原点为圆心且过点，为平面上关于原点对称的两点，已知的坐标为，过作直线交圆于两点.‎ （1） 求圆的方程;‎ （2） 求面积的取值范围. ‎ ‎22.(本小题10分)‎ 已知函数.‎ ‎（1）解不等式； ‎ ‎（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若函数，其中为奇函数， 为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2018年衡阳市八中高二下学期3月份 数学（文科）试题 命题人：吕建设 审题人：彭源 请注意：本试卷总分100分，时量120分钟；附加题23,24为479班学生必做题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题的四个选项中只有一个是符合题目要求）‎ ‎1．已知集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎2．函数的定义域为 A． B． C． D．‎ ‎3．已知，且，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D．‎ ‎4．函数的值域为 A． B． C． D．‎ ‎5．同时满足下列三个条件的函数为 ‎①在上是增函数；②为上的奇函数；③最小正周期为．‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设，则 A． B． C． D．‎ ‎7．不等式组所围成的平面区域的面积为 A． B． C． D．‎ ‎8．已知三个实数满足，则实数的大小关系为 A． B． C． D．‎ ‎9.函数的图象可能是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为 A. B. C. D. ‎ ‎11.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为 A. B. C. D. ‎ 12． 设函数是定义在上的偶函数，且，当时， ，若在区间内关于的方程有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D A D A A B C C D D D 非选择题部分 二、 填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分. 将答案填写在题中横线上)‎ ‎13．已知向量， ， ，若，则实数的值为 -5 ‎ ‎14.的值是 0 ‎ ‎15．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦 图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直 角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率 为 ‎ ‎16.已知.对任意的时，不等式恒成立，则 1 ‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题8分)‎ 已知集合， ， ，全集为实数集．‎ ‎（）求和．‎ ‎（）若，求实数的范围．‎ ‎）， ， ，‎ 所以， ,‎ 则.‎ ‎（），所以．‎ ‎18.(本小题8分)‎ 下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分）.已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75.‎ ‎(1)求的值；（直接写出结果，不必写过程）‎ ‎(2)若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率.‎ ‎(1) ；‎ ‎(2)甲队中成绩不低于80的有 80，82，88；乙队中成绩不低于80的有 80，86，88，89，甲尧乙两队各随机抽取一名袁基本事件总数为，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有.条件总数为，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为.‎ ‎19．(本小题9分)‎ 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎ （2）取中点为，连，由于且，所以四边形是平行四边形，故平面，所以平面；（3）因为，所以。‎ ‎20.(本小题9分)‎ 已知数列满足：，.‎ ‎（1）求及通项；‎ ‎（2）设是数列的前项和，则数列，，，…中哪一项最小？并求出这个最小值.‎ 解析：  数列  满足：  ， ‎ ‎ ，即数列  为等差数列且公差为  ，  通项   （II）令  可解得  ，  数列  的前  项为负值，从第  项开始为正数，  数列  中  最小 ‎21.(本小题9分)‎ 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若函数，其中为奇函数， 为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎（1）原不等式即为，‎ 设t=2x，则不等式化为t﹣t2＞16﹣9t，‎ 即t2﹣10t+16＜0，解得2＜t＜8，‎ 即2＜2x＜8，‎ ‎∴1＜x＜3‎ ‎∴原不等式的解集为（1，3）．‎ ‎（2）函数在上有零点，‎ 所以在上有解，‎ 即在有解．‎ 设，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时， ；当时， ．‎ ‎∴．‎ ‎∵在有解 ‎∴‎ 故实数m的取值范围为． ‎ ‎（3）由题意得，‎ 解得． ‎ 由题意得，即 对任意恒成立，‎ 令，则．‎ 则得对任意的恒成立，‎ ‎∴对任意的恒成立，‎ 因为在上单调递减，‎ ‎∴．‎ 所以．‎ ‎∴实数的取值范围．‎ ‎22．(本小题9分)‎ 已知圆以坐标原点为圆心且过点，为平面上关于原点对称的两点，已知的坐标为，过作直线交圆于两点.‎ （1） 求圆的方程;‎ （2） 求面积的取值范围. ‎ ‎(1）因为圆心坐标为且圆过，所以圆的半径，所以圆的方程为.……………4分 ‎（2）因为关于坐标原点对称所以 当垂直轴时，三点构不成三角形所以斜率一定存在 设，所以到的距离 ‎……8分 ‎.…………12分 ‎23.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t 为参数).‎ ‎(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.‎ 解(1)曲线C的普通方程为+y2=1.‎ 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.‎ 由解得 从而C与l的交点坐标为(3,0),.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为d=.‎ 当a≥-4时,d的最大值为.由题设得,所以a=8;‎ 当a<-4时,d的最大值为.由题设得,所以a=-16.‎ 综上,a=8或a=-16.‎ ‎24..为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机抽调了50人,他们年龄的频数分布及支持“生育二胎放开”人数如下表:‎ ‎(1)由以上统计数据填下面2×2列联表,并问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异; ‎ ‎(2)若对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少? ‎ 解 (1)2×2列联表为: ‎ 所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异. ‎ ‎(2)设年龄在[5,15)中支持“生育二胎放开”的4人分别为a,b,c,d, ‎ 不支持“生育二胎放开”的1人记为M,则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有(a,b),(a,c),(a,d),(a,M),(b,c), (b,d),(b,M),(c,d),(c,M),(d,M),共10种. ‎ 设“恰好这两人都支持‘生育二胎放开’”为事件A,则事件A所有可能的结果有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6种,所以 ，所以对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率为