湖南省衡阳市第八中学2020届高三上学期第四次月考试题（11月）理科数学 10页

衡阳市八中2020届高三月考试题（四）‎ 数学（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试用时120分钟．‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设曲线在处的切线方程为，则a＝(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎3．的展开式中的系数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎5．已知，，，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知函数，则函数的大致图像为（ ）‎ ‎ A B C D ‎7．函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．元代数学家朱世杰在‎《‎算学启蒙‎》‎中提及如下问题：今有银一秤一斤十两‎(1‎秤=10斤,1斤=10两‎)‎,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半‎.‎”若银的数量不变,按此法将银依次分给5个人,则得银最少的3个人一共得银‎(‎   ‎‎)‎ A. 两 B. 两 C. 两​ D. 两 ‎ ‎9．如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线BD折成四面体，使平面⊥平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )‎ A．3π B． C．4π D．‎ ‎10.已知为平面直角坐标系的原点，为双曲线的右焦点，为的中点，过双曲线左顶点作两渐近线的平行线分别与轴交于两点，为双曲线的右顶点，若四边形的内切圆经过点，则双曲线的离心率为(　　)‎ A． B. C. D.‎ ‎11.对于定义域为的函数，若满足① ；② 当，且时，都有；‎ ‎③ 当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：；；‎ 则其中是“偏对称函数”的函数个数为 A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎12．已知函数，，其中．若的图象在点处的切线与的图象在点处的切线重合，则a的取值范围为（）‎ A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)‎ ‎13．的值是__________；‎ ‎14．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在的汽车中抽取600辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在以下的汽车有________辆；‎ ‎15．在平行六面体中，，，则与所成角为_________；（用弧度表示）‎ ‎16．如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦、，若与面积之和的最小值为32，则抛物线的方程为_________.‎ 三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 箱中装有4个白球和个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量为取出的3个球所得分数之和.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）当时，求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)求的单调递增区间；‎ ‎(2)在中，且，求面积的最大值．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 如图，在三棱锥中，，，，，分别是，的中点，在上且.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知椭圆过点，离心率为，为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设为椭圆上的三点，与交于点，且，当的中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 设数列,，已知，，‎ ‎（1)求数列的通项公式；‎ ‎（2)设为数列的前项和,对任意,若恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 设，，其中．‎ Ⅰ求的极大值；‎ Ⅱ设，，若对任意的，恒成立，求的最大值；‎ Ⅲ设，若对任意给定的，在区间上总存在s，，使 成立，求b的取值范围．‎ 衡阳市八中2020届高三月考试题（四）‎ 数学（理科）‎ 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D D D A B D C A B C C 二、填空题 ‎13．0; 14．300; 15． ;16．.‎ 三、解答题 ‎17．【答案】（1）由题意得：取出的个球都是白球时，随机变量 ‎，即：，解得：‎ ‎（2）由题意得：所有可能的取值为：则；；；.‎ 的分布列为：‎ ‎【点睛】本题考查服从超几何分布的随机变量的概率及分布列的求解问题，关键是能够明确随机变量所服从的分布类型，从而利用对应的公式来进行求解.‎ ‎18．【答案】(1)解：‎ ‎＝ .‎ ‎（2）由题可得，因为，所以，‎ 又，所以．在中，由余弦定理可得，即．所以，当且仅当时等号成立，‎ 故面积的最大值为．‎ ‎19．【答案】I.以A为坐标原点，分别以AC，AB.AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系C-xyz.则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），D（1，0，0），E（1，1，0）‎ 由SF=2FE得F(,,)平面 平面SBC ‎ Ⅱ.假设满足条件的点G存在，并设DG=.则G（1，t，0）.所以 设平面AFG的法向量为，则 取，得即.‎ ‎（法一）设平面AFE的法向量为则 取，得，即 ‎（法二）.‎ 所以平面AFE的法向量为：；由得二面角G-AF-E的大小为得 ‎，化简得，‎ 又，求得，于是满足条件的点G存在，且 ‎20．【答案】（1）由已知易得，‎ ‎∴，故椭圆的标准方程为：.‎ ‎（2）①若点是椭圆的右顶点（左顶点一样），则，∵，在线段上，∴，此时轴，求得，∴的面积等于.‎ ‎②若点不是椭圆的左、右顶点，则设直线的方程为：，，，由得，则，， ∴的中点的坐标为，∴点的坐标为，将其代入椭圆方程，化简得．∴ ．‎ 点到直线的距离，∴的面积． 综上可知，的面积为常数．‎ ‎21．【答案】(1)，又，‎ 是以2为首项，为公比的等比数列，；‎ ‎（2），‎ 又,，两式相加即得：，,‎ ‎()当n为奇数时 ‎()当n为偶数时，，综上，所以实数p的取值范围为．‎ ‎22.【答案】Ⅰ，当时，，在递增；当时，，在递减．则有的极大值为；‎ Ⅱ当，时，，，在恒成立，在递增；由，在恒成立，在递增．设，原不等式等价为，即，，在递减，又，在恒成立，故在递增，，令，，‎ ‎∴，在递增，即有，即；‎ Ⅲ，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．又因为，，，所以，函数在上的值域为．由题意，当取的每一个值时，在区间上存在，与该值对应．时，，，‎ 当时，，单调递减，不合题意，当时，时，，‎ 由题意，在区间上不单调，所以，，当时，，当时，所以，当时，，‎ 由题意，只需满足以下三个条件：，‎ ‎，使．‎ ‎，所以成立由，所以满足，‎ 所以当b满足即时，符合题意，故b的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查不等式恒成立和存在性问题，注意运用参数分离和构造函数通过导数判断单调性，求出最值，属于难题．‎