数学理卷·2017届青海省西宁五中、西宁十四中、西宁四中三校高三下学期联考（2017 11页

绝密★启用前 2017 年三校联考高三数学（理） 第 I 卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的． 1.集 合  1,0,1,3A   ， 集 合  2 2 0,B x x x x N     ， 全 集  1 4,U x x x Z    ，则 BCA U ( ) A. 3 B. 3,1 C. 3,0,1 D. 3,1,1 2．已知纯虚数 z 满足 1 2 1i z ai   ，则实数 a 等于( ) A. 1 2 B. 1 2  C. -2 D. 2 3．如图是一个多面体的三视图,则其全面积为 ( ) A. 3 B. 2 3 +6 C. 3 +4 D. 3 +6 4．函数   2 2sin sin4 4f x x x              是( ) A. 周期为 的偶函数 B. 周期为 2 的偶函数 C.周期为 的奇函数 D. 周期为 2 奇函数 5．执行如图所示的程序框图，若输出的 S＝88，则判断框内应填入的条件是 ( ) A．k>4? B．k>5? C．k>6? D．k>7? 6．等差数列 na 中， 1 3 5 39a a a   ， 5 7 9 27a a a   ，则数列 na 的 前 9 项的和 9S 等于( ) A. 66 B. 99 C. 144 D. 297 7.函数 2 lny x x  的图象大致为( ) 8.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区 分站的位置，则不同的站法总数是( ) A．210 B.84 C.343 D.336 9 四棱锥 P ABCD 的底面是一个正方形，PA  平面 ABCD ， 2PA AB  ，E 是棱 PA 的中点，则异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值是 ( ) A． 15 5 B． 10 5 C． 6 3 D． 6 2 10 已知平面向量 a， b 夹角为 3  ，且 1a  ， 1 2b  ，则 2a b  与b 的夹角是( ) A. 6  B. 5 6  C. 4  D. 3 4  11．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1 2 ,F F O、 为坐标原点， 点 P 是双曲线在第一象限内的点，直线 2,PO PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一 点 ,M N ，若 1 22PF PF ，且 0 2 120MF N  ，则双曲线的离心率为( ) A. 2 2 3 B. 7 C. 3 D. 2 12.已知函数 ( )f x 的定义域为 R ， ( 2) 2021f   ，对任意 ( , )x   ，都有 '( ) 2f x x 成立，则不等式 2( ) 2017f x x  的解集为( ) A． ( 2, )  B． ( 2,2) C． ( , 2)  D． ( , )  第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．设变量 x，y 满足不等式组 2 4 1, 2 2 x y x y x y          ，则 z=x+y 的最小值为 ． 14．设  e dxxa 1 2 ，则二项式 的展开式的常数项是________.       nnnnnn NnaaSaana S,1,2,1,S.15 * 1221 则且满足：项和为的前已知数列 ___. 16．已知 f(x)= ，且 g(x)= f(x)+ 2 x 有三个零点，则实数 a 的取值范围为 _________． 三、解答题:本大题共 6 小题，共计 70 分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 10 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 csinA ＝acosC. (1)求角 C 的大小； (2)求 3sinA－cos ）（ 4 B 的最大值，并求取得最大值时角 A，B 的大小． 18．（本小题满分 10 分）学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间， 随机抽取了高三男生和女生各 50 名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学 的时间超过 3 小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表： 古文迷 非古文迷 合计 男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计 56 44 100 （1）根据表中数据判断能否有 60% 的把握认为“古文迷”与性别有关？ （2）先从调查的女生中按分层抽样的方法抽出 5 人进行理科学习时间的调查，求所 抽取的 5 人中“古文迷”和“非古文迷”的人数； （3）现从（2）中所抽取的 5 人中再随机抽取 3 人进行体育锻炼时间的调查，记这 3 人中“古文迷”的人数为 ，求随机变量 的分布列与数学期望． 参考数据：  2 0P K k 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 0k 0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6. 635 参考公式：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ． 19. （本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1C1C 是边长为 4 的正方 形. 平面 ABC⊥平面 AA1C1C，AB=3，BC=5. （1）求证：AA1⊥平面 ABC； （2）求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值； （3）证明：在线段 BC1 存在点 D，使得 AD⊥A1B，并求 1 BD BC 的值. 20、（本小题满分 12 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 3 3 ，过右焦点 F 的直线l 与C 相交于 BA, 两点，当l 的斜率为 1 是，坐标原点O 到l 的距离为 2 2 （1）求 ba, 的值； （2）C 上是否存在点 P ，使得当l 绕 F 转到某一位置时，有 OBOAOP  成立？ 若存在，求出所有的 P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由. 21. （本小题满分 12 分）已知函数 2ln)( xxaxf  ,( a 为实常数）． （1）若 2-a ，求证：函数 )(xf 在（1，+∞）上是增函数； （2）求函数 )(xf 在[1，e]上的最小值及相应的 x 值. 请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为        cossin cossin y x （ 为参数） （1）求曲线C 的普通方程； （2）在以O 为极点，x 正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 方程为 01)4sin(2  ， 已知直线l 与曲线 C 相交于 BA, 两点，求 AB ． 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 3)(  xmxf ，不等式 2)( xf 的解集为（2，4）． （1）求实数 m 的值； （2）若关于 x 的不等式 )(xfax  恒成立，求实数 a 的取值范围． 2017 三校联考数学（理）答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A D C B B A D B A B C 二、填空题 13．2 14．-160 15． 16．( ,+∞) 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17.（满分 12 分） (1)由正弦定理得 sinCsinA＝sinAcosC. 因为 00. 从而 sinC＝cosC. 又 cosC≠0，所以 tanC＝1，则 C＝ π 4 . (2)由(1)知，B＝ 3π 4 －A，于是 sinA－cos π 4 ＝sinA－cos(π－A) ＝sinA＋cosA＝2sin π 6 . 因为 0