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- 2021-06-23 发布
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2016-2017学年宁夏中卫一中高三(上)第一次月考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M={x|x+1≥0},N={x|x2<4},则M∩N=( )
A.(﹣∞,﹣1] B.[﹣1,2) C.(﹣1,2] D.(2,+∞)
2.已知复数z=,则z的共轭复数是( )
A.1﹣i B.1+i C.i D.﹣i
3.已知向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),若(+)⊥(﹣),则实数λ的值为( )
A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1
4.函数f(x)=x2﹣x﹣2,x∈[﹣5,5],在定义域内任取一点x0,使f(x0)≤0的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知函数f(x)=.若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )
A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
6.已知x、y满足线性约束条件:,则目标函数z=x﹣2y的最小值是( )
A.6 B.﹣6 C.4 D.﹣4
7.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则E的离心率为( )
A. B.2 C. D.
8.函数f(x)=ax﹣1﹣2(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx﹣ny﹣1=0上,其中m>0,n>0,则的最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.
9.执行如图所示的程序框图,若P=0.9,则输出的n=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是( )
A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y=
11.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若c2=(a﹣b)2+6,△ABC的面积为,则C=( )
A. B. C. D.
12.定义在实数集R上的奇函数f(x),对任意实数x都有f(+x)=f(﹣x),且满足f(1)>﹣2,f(2)=m﹣,则实数m的取值范围是( )
A.﹣1<m<3 B.0<m<3 C.0<m<3或m<﹣1 D.m>3或m<﹣1
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上..
13.函数y=x2﹣2ax﹣3在区间[0,1]上具有单调性,则a的取值范围是 .
14.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为 .
15.已知奇函数f(x)的定义域为R,且当x>0时,f(x)=x2﹣3x+2,若函数y=f(x)﹣a有3个零点,则实数a的值是 .
16.已知函数f(x)=2xsincos,有下列四个结论;
①函数y=f(x)由无数多个极值点;
②∀x∈R,都有f(﹣x)=﹣f(x)成立;
③∀M>0,至少存在一个实数x0,使得f(x0)>M;
④存在常数T≠0,对于∀x∈R,恒有f(x+T)=f(x)成立,
其中正确结论的序号是 (将所有正确结论的序号都填上)
三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2a1+log2a2+…+log2an,求(n﹣8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围.
18.性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾,他的点评视角独特,语言犀利,给观众留下了深刻的印象,某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度,随机调查了观看了该节目的140名观众,得到如下的列联表:(单位:名)
男
女
总计
喜爱
40
60
100
不喜爱
20
20
40
总计
60
80
140
(Ⅰ)从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样,抽取一个容量为6的样本,问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名?
(Ⅱ)根据以上列联表,问能否在犯错误的概率不超过0.025%的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关.(精确到0.001)
(Ⅲ)从(Ⅰ)中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查,求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率.
附:
p(k2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.705
3.841
5.024
6.635
7.879
k2=.
19.如图,四棱锥M﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,MD⊥平面ABCD,且MD=DA=1,E为MA中点.
(1)求证:DE⊥MB;
(2)若DC=2,求三棱锥M﹣EBC的体积.
20.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为,右焦点为F(c,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l与直线x=2交于点A,与直线x=﹣2交于点B,且•=0,判断并证明直线l与椭圆有多少个交点.
21.已知函数f(x)=alnx+bx(a,b∈R),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x﹣2y﹣2=0.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)当x>1时,f(x)+<0恒成立,求实数k的取值范围.
请考生在第23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4坐标系与参数方程值]
22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线L的参数方程是(t为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程;
(2)设点P(m,0),若直线L与曲线C交于A,B两点,且|PA|•|PB|=1,求实数m的值.
[选修4-5不等式选讲](共1小题,满分0分)
23.设函数f(x)=|x﹣|+|x+m|(m>0)
(1)证明:f(x)≥4;
(2)若f(2)>5,求m的取值范围.
2016-2017学年宁夏中卫一中高三(上)第一次月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M={x|x+1≥0},N={x|x2<4},则M∩N=( )
A.(﹣∞,﹣1] B.[﹣1,2) C.(﹣1,2] D.(2,+∞)
【考点】交集及其运算.
【分析】直接利用两个集合的交集的定义求得M∩N.
【解答】解:集合M={x|x+1≥0}={x|x≥﹣1},N={x|x2<4}={x|﹣2<x<2},
则M∩N={x|﹣1≤x<2},
故选:B.
2.已知复数z=,则z的共轭复数是( )
A.1﹣i B.1+i C.i D.﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念.
【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数,化简为a+bi(a,b∈R)的形式,即可得到选项.
【解答】解:复数z==
所以它的共轭复数为:1﹣i
故选A
3.已知向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),若(+)⊥(﹣),则实数λ的值为( )
A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【分析】直接利用向量的垂直的充要条件列出方程求解即可.
【解答】解:向量,,若, =(2λ+3,3),=(﹣1,﹣1)
则:(2λ+3)(﹣1)+3(﹣1)=0,
解得λ=﹣3.
故选:B.
4.函数f(x)=x2﹣x﹣2,x∈[﹣5,5],在定义域内任取一点x0,使f(x0)≤0的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】几何概型;一元二次不等式的解法.
【分析】先解不等式f(x0)≤0,得能使事件f(x0)≤0发生的x0的取值长度为3,再由x0总的可能取值,长度为定义域长度10,得事件f(x0)≤0发生的概率是0.3
【解答】解:∵f(x)≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2,
∴f(x0)≤0⇔﹣1≤x0≤2,即x0∈[﹣1,2],
∵在定义域内任取一点x0,
∴x0∈[﹣5,5],
∴使f(x0)≤0的概率P==
故选C
5.已知函数f(x)=.若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )
A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
【考点】分段函数的应用.
【分析】由分段函数f(x)=,我们易求出f(1)的值,进而将式子f(a)+f(1)=0转化为一个关于a的方程,结合指数的函数的值域,及分段函数的解析式,解方程即可得到实数a的值.
【解答】解:∵f(x)=
∴f(1)=2
若f(a)+f(1)=0
∴f(a)=﹣2
∵2x>0
∴x+1=﹣2
解得x=﹣3
故选A
6.已知x、y满足线性约束条件:,则目标函数z=x﹣2y的最小值是( )
A.6 B.﹣6 C.4 D.﹣4
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.
【解答】解:由z=x﹣2y得y=x﹣,
作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分OAB)
平移直线y=x﹣,
由图象可知当直线y=x﹣,过点A时,
直线y=x﹣的截距最大,此时z最小,
由,解得,即A(2,3).
代入目标函数z=x﹣2y,
得z=2﹣6=﹣4
∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣4.
故选:D.
7.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则E的离心率为( )
A. B.2 C. D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上,由题意可得M的坐标为(﹣2a, a),代入双曲线方程可得a=b,再由离心率公式即可得到所求值.
【解答】解:设M在双曲线﹣=1的左支上,
且MA=AB=2a,∠MAB=120°,
则M的坐标为(﹣2a, a),
代入双曲线方程可得,
﹣=1,
可得a=b,
c==a,
即有e==.
故选:D.
8.函数f(x)=ax﹣1﹣2(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx﹣ny﹣1=0上,其中m>0,n>0,则的最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.
【考点】基本不等式;指数函数的图象变换.
【分析】由指数函数可得A坐标,可得m+n=1,整体代入可得=()(m+n)=3++,由基本不等式可得.
【解答】解:当x﹣1=0即x=1时,ax﹣1﹣2恒等于﹣1,
故函数f(x)=ax﹣1﹣2(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,﹣1),
由点A在直线mx﹣ny﹣1=0上可得m+n=1,
由m>0,n>0可得=()(m+n)
=3++≥3+2=3+2
当且仅当=即m=﹣1且n=2﹣时取等号,
故选:D.
9.执行如图所示的程序框图,若P=0.9,则输出的n=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】程序框图.
【分析】执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,n的值,当S=+++=时,不满足条件S<P,退出循环,输出n的值为5.
【解答】解:执行程序框图,有
P=0.9,n=1,S=0
满足条件S<P,有S=,n=2;
满足条件S<P,有S=+,n=3;
满足条件S<P,有S=++,n=4;
满足条件S<P,有S=+++=,n=5;
不满足条件S<P,退出循环,输出n的值为5.
故选:D.
10.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是( )
A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y=
【考点】对数函数的定义域;对数函数的值域与最值.
【分析】分别求出各个函数的定义域和值域,比较后可得答案.
【解答】解:函数y=10lgx的定义域和值域均为(0,+∞),
函数y=x的定义域和值域均为R,不满足要求;
函数y=lgx的定义域为(0,+∞),值域为R,不满足要求;
函数y=2x的定义域为R,值域为R(0,+∞),不满足要求;
函数y=的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求;
故选:D
11.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若c2=(a﹣b)2+6,△ABC的面积为,则C=( )
A. B. C. D.
【考点】余弦定理.
【分析】由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程,再由面积公式可得ab和sinC的方程,由同角三角函数基本关系可解cosC,可得角C
【解答】解:由题意可得c2=(a﹣b)2+6=a2+b2﹣2ab+6,
由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC,
两式联立可得ab(1﹣cosC)=3,
再由面积公式可得S=absinC=,
∴ab=,代入ab(1﹣cosC)=3可得sinC=(1﹣cosC),
再由sin2C+cos2C=1可得3(1﹣cosC)2+cos2C=1,
解得cosC=,或cosC=1(舍去),
∵C∈(0,π),∴C=,
故选:A.
12.定义在实数集R上的奇函数f(x),对任意实数x都有f(+x)=f(﹣x),且满足f(1)>﹣2,f(2)=m﹣,则实数m的取值范围是( )
A.﹣1<m<3 B.0<m<3 C.0<m<3或m<﹣1 D.m>3或m<﹣1
【考点】抽象函数及其应用;函数奇偶性的性质.
【分析】先由题意求出函数为3为周期的周期函数,再根据函数为奇函数得到f(2)<2,代入解不等式即可.
【解答】解:∵f(+x)=f(﹣x),
用x+代换x得,
∴f(x+)=f(﹣x)=﹣f(x),
再用x+代换x得,
∴f(x+3)=﹣f(x+)=f(x),
∴函数为以3为周期的周期函数,
∴f(x)=﹣f(﹣x),f(1)=﹣f(﹣1),f(﹣1)=f(2),
∴﹣f(2)=﹣f(﹣1)=f(1)>﹣2,
∴f(2)<2,
∴f(2)=m﹣<2,
解得0<m<3,或m<﹣1,
故选:C
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上..
13.函数y=x2﹣2ax﹣3在区间[0,1]上具有单调性,则a的取值范围是 (﹣∞,0]∪[1,+∞) .
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据函数的单调性判断函数对称轴与区间的关系得出结论.
【解答】解:y=x2﹣2ax﹣3的对称轴为x=a,
∵函数y=x2﹣2ax﹣3在区间[0,1]上具有单调性,
∴a≤0或a≥1.
故答案为(﹣∞,0]∪[1,+∞).
14.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为 4π .
【考点】直线与圆相交的性质.
【分析】圆C:x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为(0,a),半径为,利用圆的弦长公式,求出a值,进而求出圆半径,可得圆的面积.
【解答】解:圆C:x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为(0,a),半径为,
∵直线y=x+2a与圆C:x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A,B两点,且|AB|=2,
∴圆心(0,a)到直线y=x+2a的距离d=,
即=,
解得:a2=2,
故圆的半径r=2.
故圆的面积S=4π,
故答案为:4π
15.已知奇函数f(x)的定义域为R,且当x>0时,f(x)=x2﹣3x+2,若函数y=f(x)﹣a有3个零点,则实数a的值是 ± .
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】根据奇函数的性质作出f(x)的函数图象,根据函数图象判断f(x)=a的解的个数.
【解答】解:∵f(x)是奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称,且f(0)=0,
做出f(x)的函数图象如图所示:
由图象可知当a=±时,方程f(x)=a有3解,
故答案为:±.
16.已知函数f(x)=2xsincos,有下列四个结论;
①函数y=f(x)由无数多个极值点;
②∀x∈R,都有f(﹣x)=﹣f(x)成立;
③∀M>0,至少存在一个实数x0,使得f(x0)>M;
④存在常数T≠0,对于∀x∈R,恒有f(x+T)=f(x)成立,
其中正确结论的序号是 ①③ (将所有正确结论的序号都填上)
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】①先化简函数f(x),求函数的导数f′(x),得到f′(x)=0的根有无数个,
②函数为偶函数,
③判断函数f(x)存在大于0的实数,
④根据函数的周期性进行判断.
【解答】解:f(x)=2xsincos=xsinx,则函数f(x)为偶函数,
函数的导数f′(x)=sinx+xcosx,
由f′(x)=0得sinx+xcosx=0,得sinx=﹣xcosx,当cosx=0时,sinx=±1,此时方程无解,
则cosx≠0,即tanx=﹣x,此时方程tanx=﹣x有无数多个解,则函数y=f(x)由无数多个极值点,故①正确,
∵f(x)=xsinx为偶函数,∴∀x∈R,都有f(﹣x)=f(x)成立,故②错误,
当x>0,且sinx>0时,f(x)=xsinx>0,则③∀M>0,至少存在一个实数x0,使得f(x0)>M成立,故③正确,
函数f(x)不是周期函数,故∀x∈R,恒有f(x+T)=f(x)不成立,故④错误,
故答案为:①③
三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2a1+log2a2+…+log2an,求(n﹣8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)首先利用递推关系式求出数列是等比数列,进一步求出数列的通项公式.
(2)利用(1)的通项公式求出数列的和,进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围.
【解答】解:(1)由Sn=2an﹣2,
当n=1时,求得:a1=2,
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1,
所以:(常数),
所以:数列{an}是以a1=2为首项,2为公比的等比数列.
所以:.…
(2)已知:bn=log2a1+log2a2+…+log2an,
=1+2+3+…+n=,
由于(n﹣8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立,
所以对任意的n∈N+恒成立.
设,则当n=3或4时,cn取最小值为﹣10.
所以:k≤﹣10.…
18.性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾,他的点评视角独特,语言犀利,给观众留下了深刻的印象,某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度,随机调查了观看了该节目的140名观众,得到如下的列联表:(单位:名)
男
女
总计
喜爱
40
60
100
不喜爱
20
20
40
总计
60
80
140
(Ⅰ)从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样,抽取一个容量为6的样本,问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名?
(Ⅱ)根据以上列联表,问能否在犯错误的概率不超过0.025%的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关.(精确到0.001)
(Ⅲ)从(Ⅰ)中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查,求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率.
附:
p(k2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.705
3.841
5.024
6.635
7.879
k2=.
【考点】独立性检验.
【分析】(Ⅰ)由抽样比例求样本中的数据;(Ⅱ)代入公式求出k2的值,查表得结论;(Ⅲ)列出所有的基本事件,用古典概型概率公式求值.
【解答】解:(Ⅰ)抽样比为=,
则样本中喜爱的观从有40×=4名;不喜爱的观众有6﹣4=2名.
(Ⅱ)假设:观众性别与喜爱乐嘉无关,由已知数据可求得,
k2==≈1.167<5.024;
∴不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关.
(Ⅲ)记喜爱乐嘉的4名男性观众为a,b,c,d,不喜爱乐嘉的2名男性观众为1,2;则基本事件分别为:
(a,b),(a,c),(a,d),(a,1),(a,2),
(b,c),(b,d),(b,1),(b,2),
(c,d),(c,1),(c,2),
(d,1),(d,2),
(1,2).
其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有6个,
故其概率为P(A)==0.4.
19.如图,四棱锥M﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,MD⊥平面ABCD,且MD=DA=1,E为MA中点.
(1)求证:DE⊥MB;
(2)若DC=2,求三棱锥M﹣EBC的体积.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(1)根据线面垂直的性质定理证明DE⊥平面MAB即可.
(2)取AD的中点H,连接EH,EH是三棱锥E﹣ABD的高,根据割补法得到三棱锥M﹣EBC的体积VM﹣EBC=VM﹣ABCD﹣VE﹣ABD,分别根据三棱锥的体积公式进行求解即可.
【解答】(1)证明:∵MD=DA=1,E为MA中点,
∴DE⊥MA,
∵MD⊥平面ABCD,MD⊂平面MAD,
∴平面MAD⊥平面ABCD,
∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥平面MAD,
∵DE⊂平面MAD,
∴AB⊥DE,
∵MA∩AB=A,
∴DE⊥平面MAB,
∵MB⊂平面MAB,
∴DE⊥MB.
(2)取AD的中点H,连接EH,则EH∥DM,且EH=MD=,
则EH⊥平面ABCD,
即EH是三棱锥E﹣ABD的高,
若DC=2,则S△ABD=AB•AD=×1×2=1,SABCD=AB•AD=1×2=2,
则VE﹣ABD=S△ABD•EH=×1×=,VM﹣ABCD=SABCD•MD=2×1=2,
则三棱锥M﹣EBC的体积VM﹣EBC=VM﹣ABCD﹣VE﹣ABD=2﹣=.
20.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为,右焦点为F(c,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l与直线x=2交于点A,与直线x=﹣2交于点B,且•=0,判断并证明直线l与椭圆有多少个交点.
【考点】直线与圆锥曲线的关系;平面向量数量积的性质及其运算律.
【分析】(1)由2a=4,e==,求得a和c的值,由椭圆的性质可知b2=a2﹣c2=1,即可求得b,求得椭圆C的方程;
(2)设直线方程,求得A和B坐标,由•=0,根据向量的坐标表示,求得b2=1+4k2,将直线代入椭圆方程,由△=0,直线l与椭圆有1个交点.
【解答】解:(1)由题意可知:2a=4,a=2,e==,
∴c=,
b2=a2﹣c2,b=1,
∴椭圆方程为:;
(2)显然,直线l的斜率存在,设直线方程为l:y=kx+b,
则:A(2,2k+b),B(﹣2,﹣2k+b),
由•=0,可知:(2﹣,2k+b)•(﹣2﹣,﹣2k+b)=﹣1﹣4k2+b2=0,
即b2=1+4k2,
将直线l:y=kx+b与椭圆联立,x2+4(kx+b)2=4,
∴(1+4k2)x2+8kbx+4b2﹣4=0,
△=64k2b2﹣4(1+4k2)(4b2﹣4)
=64k2(1+4k2)﹣4(1+4k2)(4+16k2﹣4)=0,
所以直线和椭圆恰有一个交点.
21.已知函数f(x)=alnx+bx(a,b∈R),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x﹣2y﹣2=0.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)当x>1时,f(x)+<0恒成立,求实数k的取值范围.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用.
【分析】(Ⅰ)求导数得f′(x)=+b,由导数几何意义得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=,且f(1)=,联立求得a=1,b=﹣,从而确定f(x)的解析式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,不等式等价于lnx﹣+<0,参变分离为k<﹣xlnx,利用导数求右侧函数的最小值即可.
【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=alnx+bx,∴f′(x)=+b.
∵直线x﹣2y﹣2=0的斜率为,且曲线y=f(x)过点(1,﹣),
∴即解得a=1,b=﹣.
所以f(x)=lnx﹣x;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得当x>1时,f(x)+<0恒成立即lnx﹣+<0,等价于k<﹣xlnx.
令g(x)=﹣xlnx,则g′(x)=x﹣1﹣lnx.
令h(x)=x﹣1﹣lnx,则h′(x)=1﹣.
当x>1时,h′(x)>0,函数h(x)在(1,+∞)上单调递增,故h(x)>h(1)=0.
从而,当x>1时,g′(x)>0,即函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,
故g(x)>g(1)=.
因此,当x>1时,k<﹣xlnx恒成立,则k≤.
∴k的取值范围是(﹣∞,].
请考生在第23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4坐标系与参数方程值]
22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线L的参数方程是(t为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程;
(2)设点P(m,0),若直线L与曲线C交于A,B两点,且|PA|•|PB|=1,求实数m的值.
【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,化为ρ2=2ρcosθ,利用可得直角坐标方程.直线L的参数方程是(t为参数),把t=2y代入+m消去参数t即可得出.
(2)把(t为参数),代入方程:x2+y2=2x化为: +m2﹣2m=0,由△>0,得﹣1<m<3.利用|PA|•|PB|=t1t2,即可得出.
【解答】解:(1)曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,化为ρ2=2ρcosθ,可得直角坐标方程:x2+y2=2x.
直线L的参数方程是(t为参数),消去参数t可得.
(2)把(t为参数),代入方程:x2+y2=2x化为: +m2﹣2m=0,
由△>0,解得﹣1<m<3.
∴t1t2=m2﹣2m.
∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|,
∴m2﹣2m=±1,
解得,1.又满足△>0.
∴实数m=1,1.
[选修4-5不等式选讲](共1小题,满分0分)
23.设函数f(x)=|x﹣|+|x+m|(m>0)
(1)证明:f(x)≥4;
(2)若f(2)>5,求m的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)由m>0,由f(x)的解析式利用绝对值三角不等式证得结论.
(Ⅱ)分当<2时和当≥2时两种情况,分别根据f(2)>5,求得m的范围,再把所得m的范围取并集,即得所求.
【解答】解:(Ⅰ)由m>0,有f(x)=|x﹣|+|x+m|≥|﹣(x﹣)+x+m|=+m≥4,
当且仅当=m,即m=2时取“=”,所以f(x)≥4成立.
(Ⅱ)f(2)=|2﹣|+|2+m|.
当<2,即m>2时,f(2)=m﹣+4,由f(2)>5,求得m>.
当≥2,即0<m≤2时,f(2)=+m,由f(2)>5,求得0<m<1.
综上,m的取值范围是(0,1)∪(,+∞).
2016年10月30日