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- 2021-06-23 发布
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极坐标与参数方程
1.已知P为半圆C:(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;
(2)求直线AM的参数方程.
解 (1)由已知,点M的极角为,且点M的极径等于,故点M的极坐标为.
(2)点M的直角坐标为,A(1,0).
故直线AM的参数方程为(t为参数).
2.已知直线l:(t为参数,α≠kπ,k∈Z)经过椭圆C:(φ为参数)的左焦点F.
(1)求m的值;
(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点,求|FA|·|FB|的最小值.
解 (1)因为椭圆C:的普通方程为+=1,
所以F(-1,0).
因为直线l:的普通方程为y=tan α(x-m),
因为α≠kπ,k∈Z,所以tan α≠0.
因为0=tan α(-1-m),所以m=-1.
(2)将直线的参数方程代入椭圆C的普通方程+=1中,并整理,
得(3cos2α+4sin2α)t2-6tcos α-9=0.
设点A,B在直线参数方程中对应的参数分别为t1,t2.
则|FA|·|FB|=|t1t2|==,
当sin α=±1时,|FA|·|FB|取最小值.
3.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
(α为参数),M是C1上的动点,P点满足=2,点P的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
解 (1)设P(x,y),则由条件知M,由于M点在C1上,所以即
从而C2的参数方程为(α为参数).
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sin θ.射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin=2,射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin=4.所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.
4.在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
解 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.
联立解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α).
所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4.
当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.
5.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为
(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设圆C与直线l交于点A,B.若点P的坐标为(3,),求|PA|+|PB|.
解 法一 (1)由ρ=2sin θ,得x2+y2-2y=0,
即x2+(y-)2=5.
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得+=5,即t2-3t+4=0.
由于Δ=(-3)2-4×4=2>0,故可设t1,t2是上述方程的两实根,所以又直线l过点P(3,),故由上式及t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.
法二 (1)同法一.
(2)因为圆C的圆心为(0,),半径r=,直线l的普通方程为:y=-x+3+.
由得x2-3x+2=0.
解得 或不妨设A(1,2+),
B(2,1+),又点P的坐标为(3,).
故|PA|+|PB|=+=3.
6.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
解 (1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).
因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值,
d(α)==.
当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.