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- 2021-06-23 发布
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江西省重点中学协作体2017届高三第二次联考
2017.5
数学(文科)试卷
考试用时:120分 全卷满分:150分
命题人:南昌二中 任淑珍 高安中学 章勇生
第Ι卷(选择题部分,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数是纯虚数(其中i为虚数单位,a∈R),则z的虚部为( )
A. B.﹣ C. D.
2.已知全集,集合,集合,则=( )
A. B. C. D.
3. 已知等差数列的公差和首项都不等于,且,,成等比数列,则等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4. 高三某班有学生36人,现将所有同学随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、23号、32号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号为( )
A.13 B.14 C.18 D.26
5. 若双曲线的渐近线将圆平分,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6. 为得到函数的图象,只需将函数的图象( )
A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
7.下列说法中错误的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B.命题“”的否定为“”
C.设命题p:对任意,;命题q:存在,,则为真命题
D.命题“若x,y都是偶数,则是偶数”的否命题是“若x、y都不是偶数,则不是偶数”
8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示,即最终输出的,则一开始输入的的值为( )
A. B. C. D.
9. 如图,非零向量,,且点为垂足,若向量,则实数的值为( )
A. B. - C. D.
10.如图,格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几
何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
11.若变量满足约束条件,且,则仅在点处取得最大值的概率为( )
A. B. C. D.
12.设是函数的导数,且满足,若是锐角三角形,则( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题部分,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22~23题为选做题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知的周长等于且那么边长为_______.
14.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为,P为抛物线上一点,PA⊥,A为垂足,如果AF的倾斜角为,则|PF|= .
15.如图,在长方体中,, 点M是棱AD的中点,N在棱上,且满足,是侧面四边形内一动点(含边界),若∥平面CMN,则线段长度最小值是________.
16.设函数f(x)=,若函数有三个零点,则实数m的取值范围________.
三、解答题:本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17. (本题满分12分)
已知等比数列的各项均为正数,且,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前n项和Sn.
18、(本小题满分12分)
传承传统文化再掀热潮,央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏。将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级,随机从中抽取了100名选手进行调查,下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
(Ⅰ)若将一般等级和良好等级合称为合格等级,根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否有95﹪的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关?
优秀
合格
合计
大学组
中学组
合计
注:,其中.
0.10
0.05
0. 005
2.706
3.841
7.879
(Ⅱ)若江西参赛选手共80人,用频率估计概率,试估计其中优秀等级的选手人数;
(Ⅲ)如果在优秀等级的选手中取4名,在良好等级的选手中取2名,再从这6人中任选3人组成一个比赛团队,求所选团队中的有2名选手的等级为优秀的概率.
19.(本小题满分12分)
如图,多面体是由三棱柱截去一部分后而成,是的中点.
(Ⅰ)若在上,且为的中点,求证:直线//平面
(Ⅱ) 若平面,, 求点到面的距离;
20.(本小题满分12分)
已知⊙:与⊙:,以,分别为左右焦点的椭圆:经过两圆的交点。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
N
O
x
y
M
(Ⅱ)、是椭圆上的两点,若直线与的斜率之积为,试问的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由。
21、(本小题满分12分)
已知函数在x=1处的切线与直线平行。
(Ⅰ)求a的值并讨论函数y=f(x)在上的单调性。
(Ⅱ)若函数(为常数)有两个零点,
(1)求m的取值范围;
(2)求证:。
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为,(为参数),直线的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点,且点的极坐标为,其中.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若射线与直线相交于点,求的值.
23、(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)求不等式的解集。
(Ⅱ)若对任意时都有使得成立,求实数a的取值范围.
2017届高三九校第二次联考答案
文 科 数 学 试 题
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
A
B
B
D
D
B
C
C
C
D
1.已知复数是纯虚数(其中i为虚数单位,a∈R),则z的虚部为( )
A. B.﹣ C. D.
【答案】A
【解析】
∵复数是纯虚数,∴3﹣a=0,∴,∴z的虚部为, 故选:A
2.已知全集,集合,集合,则=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,,
∴或,∴,故选B.
3. 已知等差数列的公差和首项都不等于,且,,成等比数列,则等于( A )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】
故选:A
4. 高三某班有学生36人,现将所有同学随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、23号、32
号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号为( )
A.13 B.14 C.18 D.26
【答案】B
【解析】∵高三某班有学生36人,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,
∴样本组距为36÷4=9,则5+9=14,
即样本中还有一个学生的编号为14,
故选:B.
5. 若双曲线的渐近线将圆平分,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意,圆心在渐近线上,所以,所以双曲线的离心率为,故选B.
6.为得到函数的图象,只需将函数的图象( )
A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
【答案】D
【解析】
7.下列说法中错误的是 ( )
A. “”是“”的充分不必要条件
是
否
开 始
输入x
输出x
结 束
B.命题“”的否定为“”
C.设命题p:对任意,;命题q:存在,,则为真命题
D.命题“若x,y都是偶数,则是偶数”的否命题是“若x、y都不是偶数,则不是偶数”
【答案】D
【解析】命题“若x,y都是偶数,则是偶数”的否命题是“若x、y不都是偶数,则不是偶数”,原说法不正确,选D.
8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示,即最终输出的,则一开始输入的的值为( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】时,, 时,,
时,, 时,退出循环,此时,
解得,故选B。
9.如图,非零向量且点为垂足,若向量则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】
主视图
侧视图
俯视图
10.如图,格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】该几何体如图,其体积为
S
D
C
B
A
故选C。
[]
11若变量满足约束条件,且,则
仅在点处取得最大值的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】可以看作和点的斜率,直线与轴交点,当时,仅在点处最大值
12.设是函数的导数,且满足,若是锐角三角形,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令,则,由题意可知,当时,,所以在上单调递增。
因为是锐角三角形,所以,所以,
即,又因为在上单调递增,
所以,从而有,故选D。
第II卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知的周长等于且那么边长为____。
【答案】
【解析】
14.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果AF的倾斜角为,则|PF|= .
【答案】
【解答】解:
由抛物线的定义可知:|PF|=|PA|
∴△APF为等腰三角形,
又∠AFx=,∴△APF为等边三角形
故答案为:4.
第15题图
15. .如图,在长方体中,,点是棱的中点,在棱上,且满足,是侧面四边形内一动点(含边界),若∥平面,则线段长度最小值是____
【答案】
【解析】取的中点,过点在面作的平行线交于
则易知面面,在中作,则为所求
16.设函数f(x)=,若函数有三个零点,则实数m的取值范围是_________。
【答案】
解析:,设其图象如图所示则函数有三个零点,即为有两个根,其中一根在区间(0,1)内,另一根在,令,若有一根为1,则,此时,另一根为,满足条件;当没有根为1时,根据抛物线性质,只需满足,即,所以
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本题满分12分)
已知等比数列的各项均为正数,且,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前n项和Sn.
【解】(Ⅰ)设数列的公比为q,因为,则,即.
又q>0,则. (3分)
因为,则,即,所以. (6分)
(Ⅱ)由题设,. (9分)
则. (10分)
所以. (12分)
18、(本小题满分12分)传承传统文化再掀热潮,央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏。将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级,随机从中抽取了100名选手进行调查,下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
(Ⅰ)若将一般等级和良好等级合称为合格等级,根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否有95﹪的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关?
优秀
合格
合计
大学组
中学组
合计
注:,其中.
0.10
0.05
0.005
2.706
3.841
7.879
(Ⅱ)若江西参赛选手共80人,用频率估计概率,试估计其中优秀等级的选手人数;
(Ⅲ)如果在优秀等级的选手中取4名,在良好等级的选手中取2名,再从这6人中任选3人组成一个比赛团队,求所选团队中的有2名选手的等级为优秀的概率.
18. (Ⅰ)由条形图可知2×2列联表如下
优秀
合格
合计
大学组
45
10
55
中学组
30
15
45
合计
75
25
100
………………(4分)
没有95﹪的把握认为优秀与文化程度有关.…………………………(5分)
(Ⅱ)由条形图知,所抽取的100人中,优秀等级有75人,故优秀率为.
所有参赛选手中优秀等级人数约为人.……………………(8分)
(Ⅲ)记优秀等级中4人分别为A,B,C,D,良好等级中的两人为E,F,则任取3人的取法有ABC,ABD,ABE,ABF,ACD,ACE,ACF,ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF,CDE,CDF,CEF,DEF共20种,其中有2名选手的等级为优秀的有ABE,ABF,ACE,ACF,ADE,ADF,BCE,BCF,BDE,BDF,CDE,CDF共12种,所以所选团队中的有2名选手的等级为优秀的概率为。
19.(本小题满分12分)如图,多面体是由三棱柱截去一部分后而成,是的中点.
(Ⅰ)若在上,且为的中点,求证:直线//平面
(Ⅱ) 若平面,, 求点到面的距离;
解析:(Ⅰ)直线与平面的位置关系是平行.
其理由如下:
方法一:取的中点为的中点为,连接,
因为四边形为平行四边形,∥,
又是的中点,是的中点,∥,∥,
又平面,∥平面, …………2分
又分别是的中点,∥∥,又平面,
∥平面,…………… 4分
又,平面∥平面,又 平面,∥平面. …… 6分
方法二:取的中点为,连接,则是梯形的中位线,
∥
, …………… 2分
又,∥,, …………… 4分
故四边形为平行四边形,∥,
又平面,∥平面. ……………6分
(Ⅱ)平面, 平面,,
又,∥,
,,
故,即, …………… 8分
又,,
平面,又平面,, …………… 10分
又∥,,又,平面,
N
O
x
y
M
所以点到面的距离为CD的长,即. …… 12分
20.(本小题满分12分)
已知⊙:与⊙:,以,分别为左右焦点的椭圆:经过两圆的交点。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)、是椭圆上的两点,若直线与的斜率之积为,试问的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由。
解:(Ⅰ)设两圆的交点为,依题意有,
由椭圆定义知,解得; ……………………2分
因为,分别为椭圆的左右焦点,所以,解得,
所以求椭圆的方程为; ……………………4分
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,设
又分
设直线的方程为,,,
由,得,
由,得 ()
且,,
∴
∵,∴,
整理得, ……………………9分
代入()得,
∵
原点到直线的距离
∴(定值)。
综上所述,的面积为定值3. ……………………12分
21、(本小题满分12分)已知函数在x=1处的切线与直线平行。
(Ⅰ)求a的值并讨论函数y=f(x)在上的单调性。
(Ⅱ)若函数(为常数)有两个零点,
求m的取值范围;
求证:。
解析:(Ⅰ)
,令,
在上单调递增,在上单调递减,所以时,
,即时,,
所以函数y=f(x)在上单调递减。……………………5分
(Ⅱ) (1)由条件可知,,
,,
要使函数有两个零点,则2m<0,即……………………7分
(2)由 (Ⅰ)可知,,
令,
所以即
又在上单调递减,所以即……………………12分
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分
.作答时请写清题号.
22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为,(为参数),直线的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点,且点的极坐标为,其中.
(Ⅰ)求的值;
(2)若射线与直线相交于点,求的值.
22.解:
(1)曲线的普通方程为,曲线的极坐标方程为.
化简,得.由,得,∵,∴.……………………5分
(Ⅱ)射线的极坐标方程为,直线的普通方程为.
∴直线的极坐标方程为.
联立,解得.
∴.……………………10分
23、(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)求不等式的解集。
(Ⅱ)若对任意时都有使得成立,求实数a的取值范围.
23. (Ⅰ)当时,
………………5分
(Ⅱ)对任意时都有使得成立,
等价于 …………………………7分
而,
只需…………………10分