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数学文卷·2017届江西省重点中学盟校高三第二次联考(2017

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江西省重点中学协作体2017届高三第二次联考 ‎2017.5‎ 数学(文科)试卷 考试用时:120分 全卷满分:150分 ‎ 命题人:南昌二中 任淑珍 高安中学 章勇生 第Ι卷(选择题部分,共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数是纯虚数(其中i为虚数单位,a∈R),则z的虚部为( )‎ A. B.﹣ C. D.‎ ‎2.已知全集,集合,集合,则=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 已知等差数列的公差和首项都不等于,且,,成等比数列,则等于( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎4. 高三某班有学生36人,现将所有同学随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、23号、32号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号为( )‎ A.13 B.14 C.18 D.26‎ ‎5. 若双曲线的渐近线将圆平分,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 为得到函数的图象,只需将函数的图象( )‎ A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 ‎ C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎7.下列说法中错误的是( )‎ A. “”是“”的充分不必要条件 B.命题“”的否定为“”‎ C.设命题p:对任意,;命题q:存在,,则为真命题 D.命题“若x,y都是偶数,则是偶数”的否命题是“若x、y都不是偶数,则不是偶数”‎ ‎8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示,即最终输出的,则一开始输入的的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 如图,非零向量,,且点为垂足,若向量,则实数的值为( )‎ ‎ A. B. - C. D. ‎ ‎10.如图,格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几 何体的三视图,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.若变量满足约束条件,且,则仅在点处取得最大值的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.设是函数的导数,且满足,若是锐角三角形,则( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题部分,共90分)‎ ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22~23题为选做题,考生根据要求作答。‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.已知的周长等于且那么边长为_______.‎ ‎14.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为,P为抛物线上一点,PA⊥,A为垂足,如果AF的倾斜角为,则|PF|=   .‎ ‎15.如图,在长方体中,, 点M是棱AD的中点,N在棱上,且满足,是侧面四边形内一动点(含边界),若∥平面CMN,则线段长度最小值是________.‎ ‎16.设函数f(x)=,若函数有三个零点,则实数m的取值范围________.‎ 三、解答题:本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎17. (本题满分12分)‎ 已知等比数列的各项均为正数,且,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列的前n项和Sn.‎ ‎18、(本小题满分12分)‎ 传承传统文化再掀热潮,央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏。将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级,随机从中抽取了100名选手进行调查,下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.‎ ‎(Ⅰ)若将一般等级和良好等级合称为合格等级,根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否有95﹪的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关?‎ 优秀 合格 合计 大学组 中学组 合计 注:,其中.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0. 005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎7.879‎ ‎(Ⅱ)若江西参赛选手共80人,用频率估计概率,试估计其中优秀等级的选手人数;‎ ‎(Ⅲ)如果在优秀等级的选手中取4名,在良好等级的选手中取2名,再从这6人中任选3人组成一个比赛团队,求所选团队中的有2名选手的等级为优秀的概率.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图,多面体是由三棱柱截去一部分后而成,是的中点.‎ ‎(Ⅰ)若在上,且为的中点,求证:直线//平面 ‎(Ⅱ) 若平面,, 求点到面的距离;‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知⊙:与⊙:,以,分别为左右焦点的椭圆:经过两圆的交点。‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ N O x y M ‎(Ⅱ)、是椭圆上的两点,若直线与的斜率之积为,试问的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由。‎ ‎21、(本小题满分12分)‎ 已知函数在x=1处的切线与直线平行。‎ ‎ (Ⅰ)求a的值并讨论函数y=f(x)在上的单调性。‎ ‎ (Ⅱ)若函数(为常数)有两个零点,‎ ‎ (1)求m的取值范围;‎ ‎ (2)求证:。‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线的参数方程为,(为参数),直线的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点,且点的极坐标为,其中.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若射线与直线相交于点,求的值.‎ ‎23、(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求不等式的解集。‎ ‎(Ⅱ)若对任意时都有使得成立,求实数a的取值范围.‎ ‎2017届高三九校第二次联考答案 文 科 数 学 试 题 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B A B B D D B C C C D ‎1.已知复数是纯虚数(其中i为虚数单位,a∈R),则z的虚部为(  )‎ A. B.﹣ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵复数是纯虚数,∴3﹣a=0,∴,∴z的虚部为, 故选:A ‎2.已知全集,集合,集合,则=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,,‎ ‎∴或,∴,故选B.‎ ‎3. 已知等差数列的公差和首项都不等于,且,,成等比数列,则等于( A )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 故选:A 4. 高三某班有学生36人,现将所有同学随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、23号、32‎ 号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号为(  )‎ A.13 B.14 C.18 D.26‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵高三某班有学生36人,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,‎ ‎∴样本组距为36÷4=9,则5+9=14,‎ 即样本中还有一个学生的编号为14,‎ 故选:B.‎ ‎5. 若双曲线的渐近线将圆平分,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意,圆心在渐近线上,所以,所以双曲线的离心率为,故选B.‎ ‎6.为得到函数的图象,只需将函数的图象( )‎ ‎ A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎7.下列说法中错误的是 ( )‎ A. “”是“”的充分不必要条件 是 否 开 始 输入x 输出x 结 束 B.命题“”的否定为“”‎ C.设命题p:对任意,;命题q:存在,,则为真命题 D.命题“若x,y都是偶数,则是偶数”的否命题是“若x、y都不是偶数,则不是偶数”‎ ‎【答案】D ‎【解析】命题“若x,y都是偶数,则是偶数”的否命题是“若x、y不都是偶数,则不是偶数”,原说法不正确,选D.‎ ‎8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示,即最终输出的,则一开始输入的的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】 B ‎【解析】时,, 时,,‎ 时,, 时,退出循环,此时,‎ 解得,故选B。‎ ‎9.如图,非零向量且点为垂足,若向量则实数的值为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】 C ‎【解析】‎ 主视图 侧视图 俯视图 ‎10.如图,格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】 C ‎【解析】该几何体如图,其体积为 S D C B A 故选C。‎ ‎[]‎ ‎11若变量满足约束条件,且,则 仅在点处取得最大值的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】 C ‎【解析】可以看作和点的斜率,直线与轴交点,当时,仅在点处最大值 ‎12.设是函数的导数,且满足,若是锐角三角形,则( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】令,则,由题意可知,当时,,所以在上单调递增。‎ 因为是锐角三角形,所以,所以,‎ 即,又因为在上单调递增,‎ 所以,从而有,故选D。‎ 第II卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.已知的周长等于且那么边长为____。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎14.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果AF的倾斜角为,则|PF|=  .‎ ‎【答案】‎ ‎【解答】解: ‎ 由抛物线的定义可知:|PF|=|PA|‎ ‎∴△APF为等腰三角形,‎ 又∠AFx=,∴△APF为等边三角形 故答案为:4.‎ 第15题图 ‎15. .如图,在长方体中,,点是棱的中点,在棱上,且满足,是侧面四边形内一动点(含边界),若∥平面,则线段长度最小值是____ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取的中点,过点在面作的平行线交于 则易知面面,在中作,则为所求 ‎16.设函数f(x)=,若函数有三个零点,则实数m的取值范围是_________。‎ ‎【答案】‎ 解析:,设其图象如图所示则函数有三个零点,即为有两个根,其中一根在区间(0,1)内,另一根在,令,若有一根为1,则,此时,另一根为,满足条件;当没有根为1时,根据抛物线性质,只需满足,即,所以 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本题满分12分)‎ 已知等比数列的各项均为正数,且,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列的前n项和Sn. ‎ ‎【解】(Ⅰ)设数列的公比为q,因为,则,即.‎ 又q>0,则. (3分)‎ 因为,则,即,所以. (6分)‎ ‎(Ⅱ)由题设,. (9分)‎ 则. (10分)‎ 所以. (12分)‎ ‎18、(本小题满分12分)传承传统文化再掀热潮,央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏。将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级,随机从中抽取了100名选手进行调查,下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.‎ ‎(Ⅰ)若将一般等级和良好等级合称为合格等级,根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否有95﹪的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关?‎ 优秀 合格 合计 大学组 中学组 合计 注:,其中.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎7.879‎ ‎(Ⅱ)若江西参赛选手共80人,用频率估计概率,试估计其中优秀等级的选手人数;‎ ‎(Ⅲ)如果在优秀等级的选手中取4名,在良好等级的选手中取2名,再从这6人中任选3人组成一个比赛团队,求所选团队中的有2名选手的等级为优秀的概率.‎ ‎18. (Ⅰ)由条形图可知2×2列联表如下 优秀 合格 合计 大学组 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 中学组 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎………………(4分)‎ 没有95﹪的把握认为优秀与文化程度有关.…………………………(5分)‎ ‎(Ⅱ)由条形图知,所抽取的100人中,优秀等级有75人,故优秀率为.‎ 所有参赛选手中优秀等级人数约为人.……………………(8分)‎ ‎(Ⅲ)记优秀等级中4人分别为A,B,C,D,良好等级中的两人为E,F,则任取3人的取法有ABC,ABD,ABE,ABF,ACD,ACE,ACF,ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF,CDE,CDF,CEF,DEF共20种,其中有2名选手的等级为优秀的有ABE,ABF,ACE,ACF,ADE,ADF,BCE,BCF,BDE,BDF,CDE,CDF共12种,所以所选团队中的有2名选手的等级为优秀的概率为。‎ ‎19.(本小题满分12分)如图,多面体是由三棱柱截去一部分后而成,是的中点.‎ ‎(Ⅰ)若在上,且为的中点,求证:直线//平面 ‎(Ⅱ) 若平面,, 求点到面的距离;‎ 解析:(Ⅰ)直线与平面的位置关系是平行.‎ 其理由如下:‎ 方法一:取的中点为的中点为,连接,‎ 因为四边形为平行四边形,∥,‎ 又是的中点,是的中点,∥,∥,‎ 又平面,∥平面, …………2分 又分别是的中点,∥∥,又平面,‎ ‎∥平面,…………… 4分 又,平面∥平面,又 平面,∥平面. …… 6分 方法二:取的中点为,连接,则是梯形的中位线,‎ ‎∥‎ ‎, …………… 2分 又,∥,, …………… 4分 故四边形为平行四边形,∥,‎ 又平面,∥平面. ……………6分 ‎(Ⅱ)平面, 平面,,‎ 又,∥,‎ ‎,,‎ 故,即, …………… 8分 又,,‎ 平面,又平面,, …………… 10分 又∥,,又,平面,‎ N O x y M 所以点到面的距离为CD的长,即. …… 12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知⊙:与⊙:,以,分别为左右焦点的椭圆:经过两圆的交点。‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)、是椭圆上的两点,若直线与的斜率之积为,试问的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由。‎ 解:(Ⅰ)设两圆的交点为,依题意有,‎ 由椭圆定义知,解得; ……………………2分 因为,分别为椭圆的左右焦点,所以,解得,‎ 所以求椭圆的方程为; ……………………4分 ‎(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,设 又分 设直线的方程为,,,‎ 由,得,‎ 由,得 ()‎ 且,,‎ ‎∴‎ ‎∵,∴,‎ 整理得, ……………………9分 代入()得, ‎ ‎∵‎ 原点到直线的距离 ‎∴(定值)。‎ 综上所述,的面积为定值3. ……………………12分 ‎21、(本小题满分12分)已知函数在x=1处的切线与直线平行。‎ ‎ (Ⅰ)求a的值并讨论函数y=f(x)在上的单调性。‎ ‎ (Ⅱ)若函数(为常数)有两个零点,‎ ‎ 求m的取值范围;‎ ‎ 求证:。‎ 解析:(Ⅰ) ‎ ‎ ,令,‎ ‎ 在上单调递增,在上单调递减,所以时,‎ ‎ ,即时,,‎ ‎ 所以函数y=f(x)在上单调递减。……………………5分 ‎(Ⅱ) (1)由条件可知,,‎ ‎ ,,‎ ‎ 要使函数有两个零点,则2m<0,即……………………7分 ‎ (2)由 (Ⅰ)可知,,‎ 令,‎ ‎ 所以即 ‎ 又在上单调递减,所以即……………………12分 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 ‎.作答时请写清题号.‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线的参数方程为,(为参数),直线的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点,且点的极坐标为,其中.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(2)若射线与直线相交于点,求的值.‎ ‎22.解:‎ ‎(1)曲线的普通方程为,曲线的极坐标方程为.‎ 化简,得.由,得,∵,∴.……………………5分 ‎(Ⅱ)射线的极坐标方程为,直线的普通方程为.‎ ‎∴直线的极坐标方程为.‎ 联立,解得.‎ ‎∴.……………………10分 ‎23、(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求不等式的解集。‎ ‎(Ⅱ)若对任意时都有使得成立,求实数a的取值范围.‎ 23. ‎(Ⅰ)当时, ‎ ‎ ………………5分 ‎(Ⅱ)对任意时都有使得成立,‎ ‎ 等价于 …………………………7分 ‎ 而,‎ ‎ 只需…………………10分