数学理·辽宁省大连市渤海高中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷（理科）+Word版含解析]x 17页

‎2016-2017学年辽宁省大连市渤海高中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．若命题“p∧q”为假，且￢p为假，则（　　）‎ A．“p∨q”为假 B．q为假 C．p为假 D．q为真 ‎2．若a＜b＜0，则下列结论中不恒成立的是（　　）‎ A．|a|＞|b| B． C．a2+b2＞2ab D．‎ ‎3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8+a11=30，那么S13值的是（　　）‎ A．130 B．65 C．70 D．以上都不对 ‎4．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）‎ ‎5．下列四组不等式中，同解的一组是（　　）‎ A．与（x﹣2）（x﹣1）≥0 B．＞1与x＞1‎ C．＜1与x＞1 D．＞1与lgx＜0‎ ‎6．设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（　　）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎7．下列命题中正确的是（　　）‎ A．的最小值是2 B．的最小值是2‎ C．的最小值是 D．的最大值是 ‎8．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（　　）‎ A．12 B．11 C．3 D．﹣1‎ ‎9．椭圆+=1和+=k（k＞0）具有（　　）‎ A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴 ‎10．已知数列{an}的前n项和为Sn=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n+1（4n﹣3），则S15+S22﹣S31的值是（　　）‎ A．﹣76 B．76 C．46 D．13‎ ‎11．若不等式mx2+2mx﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2] D．（﹣∞，2]‎ ‎12．过点M（﹣2，0）的直线m与椭圆+y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎　‎ 二、填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13．不等式≤3的解集是　　．‎ ‎14．离心率e=，一个焦点是F（0，﹣3）的椭圆标准方程为　　．‎ ‎15．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎16．关于数列有下列命题：‎ ‎（1）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an﹣1（a∈R），则{an}为等差或等比数列；‎ ‎（2）数列{an}为等差数列，且公差不为零，则数列{an}中不会有am=an（m≠n），‎ ‎（3）一个等差数列{an}中，若存在ak+1＞ak＞0（k∈N*），则对于任意自然数n＞k，都有an＞0；‎ ‎（4）一个等比数列{an}中，若存在自然数k，使ak•ak+1＜0，则对于任意n∈N*，都有an•an+1＜0，‎ 其中正确命题的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．已知不等式x2﹣x﹣m+1＞0．‎ ‎（1）当m=3时解此不等式；‎ ‎（2）若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎18．（1）已知命题p：|x2﹣x|≥6，q：x∈Z且“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的值．‎ ‎（2）已知p：x2﹣8x﹣20≤0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围． ‎19．已知数列{an}中，a1=1，前n项和Sn=an．‎ ‎（1）求a2，a3，及{an}的通项公式．‎ ‎（2）求{}的前n项和Tn，并证明：1≤Tn＜2．‎ ‎20．已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且，求直线l的方程．‎ ‎21．数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n．‎ ‎（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{nan}的前n项和．‎ ‎22．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省大连市渤海高中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．若命题“p∧q”为假，且￢p为假，则（　　）‎ A．“p∨q”为假 B．q为假 C．p为假 D．q为真 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据复合命题的真值表，先由“¬p”为假，判断出p为真；再根据“p∧q”为假，判断q为假．‎ ‎【解答】解：因为“¬p”为假，‎ 所以p为真；‎ 又因为“p∧q”为假，‎ 所以q为假．‎ 对于A，p∨q为真，‎ 对于C，D，显然错，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．若a＜b＜0，则下列结论中不恒成立的是（　　）‎ A．|a|＞|b| B． C．a2+b2＞2ab D．‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】a，b两数可以是满足a＜b＜0任意数，代入后看所给不等式是否成立，即可得到正确选项．‎ ‎【解答】解：若a＜b＜0，不妨设a=﹣2，b=﹣1代入各个选项，错误的是A、B，‎ 当a=b=﹣2时，C错．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8+a11=30，那么S13值的是（　　）‎ A．130 B．65 C．70 D．以上都不对 ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，，利用等差数列的通项公式化简已知的等式a2+a8+a11=30得到a1+6d的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S13，利用等差数列的性质化简后，把a1+6d的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2+a8+a11=30，可得a1+6d=10，‎ 故S13==13a7=13（a1+6d）=13×10=130‎ 故选A ‎　‎ ‎4．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）‎ ‎【考点】椭圆的定义．‎ ‎【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．‎ ‎【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆 ‎∴故0＜k＜1‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．下列四组不等式中，同解的一组是（　　）‎ A．与（x﹣2）（x﹣1）≥0 B．＞1与x＞1‎ C．＜1与x＞1 D．＞1与lgx＜0‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】分别求解各个选项中的不等式，比较即可得到答案．‎ ‎【解答】解：对于选线A中，的解集为{x|x＜1或x≥2}，而（x﹣2）（x﹣1）≥0的解集为{x|x≤1或x≥2}，故选项A不符合题意；‎ 对于选线B中，＞1的解集为{x|x＜﹣1或x＞1}，故选项B不符合题意；‎ 对于选线C中，＜1的解集为{x|x＜0或x＞1}，故选项D不符合题意；‎ 对于选线D中，＜1的解集为{x|x＜0或x＞1}，lgx＜0的解集为{x|x＜0或x＞1}，故选项D符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（　　）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得．‎ ‎【解答】解：由等比数列的求和公式和通项公式可得： ==，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．下列命题中正确的是（　　）‎ A．的最小值是2 B．的最小值是2‎ C．的最小值是 D．的最大值是 ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】当x＜0时，＜0；y==+≥+=；y==≥2+=；当x＜0时，的最大值是不成立．‎ ‎【解答】解：当x＞0时，≥2=2，其最小值是2；‎ 当x=0时，不存在；‎ 当x＜0时， =﹣（﹣x﹣）≤﹣2=﹣2，其最大值是﹣2．‎ 故A不成立；‎ 设y=x+，则y′=1﹣，当x＞1时，y′＞0，‎ ‎∴y=x+在（1，+∞）内是增函数．‎ ‎∵y==+，，‎ ‎∴y==+≥+=，‎ ‎∴y=的最小值是，故B不正确．‎ ‎∵y==，，‎ ‎∴y==≥2+=，‎ ‎∴y=的最小值是，故C正确；‎ 当x＞0时，≤2﹣2=2﹣4，其最大值是；‎ 当x=0时，不存在；‎ x＜0时， =2+4，其最小值是2+4，故D不成立．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（　　）‎ A．12 B．11 C．3 D．﹣1‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=3x+y得y=﹣3x+z，‎ 平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，‎ 直线的截距最大，此时z最大．‎ 由，解得，‎ 即A（1，2），此时zmax=3×3+2=11，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．椭圆+=1和+=k（k＞0）具有（　　）‎ A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴 ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】椭圆+=k（k＞0）化为标准方程为：，求出其离心率，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：椭圆+=k（k＞0）化为标准方程为：‎ ‎∴离心率的平方==‎ ‎∵椭圆+=1离心率的平方=‎ ‎∴椭圆+=1和+=k（k＞0）具有相同的离心率 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．已知数列{an}的前n项和为Sn=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n+1（4n﹣3），则S15+S22﹣S31的值是（　　）‎ A．﹣76 B．76 C．46 D．13‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】由已知得S15=﹣4×7+4×15﹣3=29，S22=﹣4×11=﹣44，S31=﹣4×15+4×31﹣3=61，由此能求出S15+S22﹣S31的值．‎ ‎【解答】解：∵Sn=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n+1（4n﹣3），‎ ‎∴S15=﹣4×7+4×15﹣3=29，‎ S22=﹣4×11=﹣44，‎ S31=﹣4×15+4×31﹣3=61，‎ ‎∴S15+S22﹣S31=29﹣44﹣61=﹣76．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．若不等式mx2+2mx﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2] D．（﹣∞，2]‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】根据题意，讨论m的取值范围，求出使不等式恒成立的m的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：∵不等式mx2+2mx﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，‎ ‎∴（m﹣2）x2+2（m﹣2）x﹣4＜0，‎ 当m﹣2=0，即m=2时，不等式为﹣4＜0，显然成立；‎ 当m﹣2≠0，即m≠2时，应满足，‎ 解得﹣2＜m＜2；‎ 综上，﹣2＜m≤2，‎ 即实数m的取值范围是（﹣2，2]．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．过点M（﹣2，0）的直线m与椭圆+y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎【考点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】点斜式写出直线m的方程，代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系及中点公式求出P的横坐标，再代入直线m的方程求出P的纵坐标，进而求出直线OP的斜率k2，计算 k1k2的值．‎ ‎【解答】解：过点M（﹣2，0）的直线m的方程为 y﹣0=k1（x+2 ），‎ 代入椭圆的方程化简得（2k12+1）x2+8k12x+8k12﹣2=0，‎ ‎∴x1+x2=，∴P的横坐标为，‎ ‎ P的纵坐标为k1（x1+2 ）=，即点P（，），‎ 直线OP的斜率k2=，‎ ‎∴k1k2=﹣．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13．不等式≤3的解集是　　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】把原不等式移向变形，转化为一元二次不等式求得解集．‎ ‎【解答】解：由≤3，得﹣3≤0，‎ 即，‎ 则，‎ 解得：x＜0或．‎ ‎∴不等式≤3的解集是．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．离心率e=，一个焦点是F（0，﹣3）的椭圆标准方程为　　．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】先设出椭圆方程，根据条件列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由题设椭圆的焦点在y轴上，设方程为：，由题得：解得 所以椭圆标准方程为 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是　﹣4＜m＜2　．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．‎ ‎【解答】解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8‎ ‎∵x+2y＞m2+2m恒成立，‎ ‎∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2‎ 故答案为：﹣4＜m＜2．‎ ‎　‎ ‎16．关于数列有下列命题：‎ ‎（1）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an﹣1（a∈R），则{an}为等差或等比数列；‎ ‎（2）数列{an}为等差数列，且公差不为零，则数列{an}中不会有am=an（m≠n），‎ ‎（3）一个等差数列{an}中，若存在ak+1＞ak＞0（k∈N*），则对于任意自然数n＞k，都有an＞0；‎ ‎（4）一个等比数列{an}中，若存在自然数k，使ak•ak+1＜0，则对于任意n∈N*，都有an•an+1＜0，‎ 其中正确命题的序号是　②③④　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（1），当a=0时，a1=﹣1，a2=a3=…=0，由此可判断（1）；‎ ‎（2），利用反证法可判断（2）正确；‎ ‎（3），依题意，可得公差d＞0，从而可判断（3）正确；‎ ‎（4），个等比数列{an}中，ak•ak+1＜0，可知公比q＜0，从而可判断（4）正确．‎ ‎【解答】解：对于（1），数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an﹣1（a∈R），‎ 当a=0时，a1=﹣1，a2=a3=…=0，{an}既不是等差又不是等比数列，故（1）错误；‎ 对于（2），数列{an}为等差数列，且公差不为零，则数列{an}中不会有am=an（m≠n），‎ 假设am=an（m≠n），则a1+（m﹣1）d=a1+（n﹣1）d，整理可得m=n，这与m≠n矛盾，‎ 故假设不成立，原命题正确，即（2）正确；‎ 对于（3），一个等差数列{an}中，若存在ak+1＞ak＞0（k∈N*），由ak+1=ak+d知ak+d＞ak＞0，故d＞0，‎ 所以，对于任意自然数n＞k，都有an＞0，（3）正确；‎ 对于（4），一个等比数列{an}中，若存在自然数k，使ak•ak+1＜0，则q＜0，即q＜0，‎ 则对于任意n∈N*，都有an•an+1=q＜0，正确．‎ 综上所述，正确命题的序号是②③④．‎ 故答案为：②③④．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．已知不等式x2﹣x﹣m+1＞0．‎ ‎（1）当m=3时解此不等式；‎ ‎（2）若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程．‎ ‎【分析】（1）当m=3时，不等式x2﹣x﹣2＞0，解可得答案；‎ ‎（2）不等式x2﹣x﹣m+1＞0对任意实数x恒成立，设y=x2﹣x﹣m+1，再利用大于0恒成立须满足的条件：开口向上，判别式小于0来解m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当m=3时，‎ 不等式x2﹣x﹣2＞0‎ 解得：x∈（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）‎ ‎（2）设y=x2﹣x﹣m+1‎ ‎∵不等式x2﹣x﹣m+1＞0对于任意的x都成立 ‎∴对∀x∈R，y＞0恒成立 ‎∴△=12+4（m﹣1）＜0‎ ‎∴‎ 故实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎18．（1）已知命题p：|x2﹣x|≥6，q：x∈Z且“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的值．‎ ‎（2）已知p：x2﹣8x﹣20≤0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围． ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（1）解绝对值不等式|x2﹣x|≥6，我们可以求出命题p成立时，x的取值范围，再由p且q与非q都是假命题，可得x应满足P假且q真，由此构造关于x的不等式组，解不等式组即可得到x的取值范围；‎ ‎（2）由绝对值不等式及一元二次不等式的解法，得到p，q的等价命题．又由￢p是￢q的必要而不充分条件的等价命题为：p是q的充分不必要条件，再由判断充要条件的方法，我们可知命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，得到A、B的关系，进而得到m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵非q是假，则q是真，‎ 又∵P且q是假∴P假即非P真，‎ ‎∴|x2﹣x|＜6，且x∈Z，‎ ‎∴﹣6＜x2﹣x＜6且x∈Z，‎ 即，‎ 解之得：，‎ ‎∴x=﹣1，0，1，2；‎ ‎（2）由题知，若¬p是¬q的必要不充分条件的等价命题为：p是q的充分不必要条件．‎ 由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10，‎ ‎∴p：﹣2≤x≤10；‎ 由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），整理得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0 ‎ 解得 1﹣m≤x≤1+m，‎ ‎∴q：1﹣m≤x≤1+m 又∵p是q的充分不必要条件 ‎∴，∴m≥9，‎ ‎∴实数m的取值范围是[9，+∞）．‎ ‎　‎ ‎19．已知数列{an}中，a1=1，前n项和Sn=an．‎ ‎（1）求a2，a3，及{an}的通项公式．‎ ‎（2）求{}的前n项和Tn，并证明：1≤Tn＜2．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）根据已知等式确定出a2，a3，得出{an}的通项公式即可；‎ ‎（2）表示出{}的前n项和Tn，根据前n项和Tn为递增数列，确定出Tn的范围，即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）由S2=a2，a1=1，得到3（a1+a2）=4a2，‎ 解得：a2=3a1=3；‎ 由S3=a3得3（a1+a2+a3）=5a3，‎ 解得：a3=（a1+a2）=6．‎ 由题设知a1=1，‎ 当n＞1时有an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣an﹣1，‎ 整理得：an=an﹣1．‎ 于是a1=1，a2=a1，a3=a2，…，an﹣1=an﹣2，an=an﹣1，‎ 将以上n个等式两端分别相乘，整理得an=，‎ 综上，{an}的通项公式an=；‎ ‎（2）∵=，‎ ‎∴Tn=2[++…+]=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=2﹣＜2，即Tn＜2，‎ 又Tn+1＞Tn，{Tn}单调增，‎ ‎∴Tn＞=T1=1，‎ 则1≤Tn＜2．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由短轴长可得b值，由离心率为可得=，结合a2=b2+c2即可求得a值，即可得出椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线方程为：y=k（x+1），联立方程组消掉y得到x的二次方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理及弦长公式即可表示弦长|MN|，最后利用弦长建立等式，即可求出直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1），椭圆的标准方程：‎ ‎（2）由题意知，直线l的斜率存在，所以设直线方程为：y=k（x+1），‎ ‎，联立得：（5k2+4）x2+10k2x+5k2﹣20=0，‎ ‎∴，‎ 则：‎ ‎==，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 即：‎ 即：，‎ 所以，k=±1，所以直线方程为：y=x+1或y=﹣x﹣1．‎ ‎　‎ ‎21．数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n．‎ ‎（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{nan}的前n项和．‎ ‎【考点】数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）通过递推关系式求出an与an+1的关系，推出{an+3}即数列{bn}是等比数列，求出数列{bn}的通项公式即可求出{an}的通项公式；‎ ‎（2）写出数列{nan}的通项公式，然后写出前n项和的表达式通过错位相减法求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵Sn=2an﹣3n，对于任意的正整数都成立，‎ ‎∴Sn+1=2an+1﹣3n﹣3，‎ 两式相减，得a n+1=2an+1﹣2an﹣3，即an+1=2an+3，‎ ‎∴an+1+3=2（an+3），‎ 所以数列{bn}是以2为公比的等比数列，‎ 由已知条件得：S1=2a1﹣3，a1=3．‎ ‎∴首项b1=a1+3=6，公比q=2，‎ ‎∴an=6•2n﹣1﹣3=3•2n﹣3．‎ ‎（2）∵nan=3×n•2n﹣3n ‎∴Sn=3（1•2+2•22+3•23+…+n•2n）﹣3（1+2+3+…+n），‎ ‎2Sn=3（1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1）﹣6（1+2+3+…+n），‎ ‎∴﹣Sn=3（2+22+23+…+2n﹣n•2n+1）+3（1+2+3+…+n）‎ ‎=‎ ‎∴Sn=‎ ‎　‎ ‎22．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）利用以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，可得b的值，利用离心率为，即可求得椭圆C的方程；‎ ‎（2）设M，N的坐标分别为（x0，y0），（﹣x0，y0），求出直线PM、QN的方程，求得x0，y0的值，代入椭圆方程，整理可得结论．‎ ‎【解答】（1）解：由题意，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，∴b==．‎ 因为离心率e==，所以=，所以a=2． ‎ 所以椭圆C的方程为．‎ ‎（2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为（x0，y0），（﹣x0，y0），则直线PM的方程为y=x+1，①‎ 直线QN的方程为y=x+2． ②…‎ 设T（x，y），联立①②解得x0=，y0=． …‎ 因为，所以（）2+（）2=1．‎ 整理得=（2y﹣3）2，所以﹣12y+8=4y2﹣12y+9，即．‎ 所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…‎ ‎　‎ ‎2016年11月28日