数学卷·2018届黑龙江省哈尔滨六中高二上学期10月段考数学试卷（文科）（解析版） 22页

‎2016-2017学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）10月段考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（　　）‎ A．11 B．9 C．5 D．3‎ ‎3．设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（　　）‎ A． B．2 C．6 D．4‎ ‎5．已知命题p：若x+y≠5，则x≠2或y≠3；命题q：若a＜b，则am2＜bm2，下列选项中是真命题的为（　　）‎ A．p∧￢q B．￢p C．p∧q D．￢p∨q ‎6．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（　　）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎7．以下选项中判断正确的是（　　）‎ A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y全不为0，则x2+y2≠0”‎ B．若命题，则¬p：∀x∉R，x2﹣x+1≥0‎ C．若命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题 D．“x＞3”是“x＞2”的充分不必要条件 ‎8．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知p：（x﹣2）（x+1）＞0；q：|x|＜a，若￢p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＜1 B．a≤1 C．a＜2 D．a≤2‎ ‎10．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（　　）‎ A． B． C．3 D．9‎ ‎11．设F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2有公共焦点F1、F2，（F1、F2分别为左、右焦点），它们在第一象限交于点M，离心率分别为e1和e2，线段MF1的垂直平分线过F2，则的值为（　　）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎12．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R，S，如果|PF|=a，|QF|=b，M为RS的中点，则|MF|=（　　）‎ A．a+b B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．‎ ‎13．已知抛物线y=mx2‎ 上的点到定点（0，4）和定直线y=﹣4的距离相等，则m=　　．‎ ‎14．在等边△ABC中，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率为　　．‎ ‎15．设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则双曲线C的渐近线方程为　　．‎ ‎16．已知M（x0，y0）是双曲线C：﹣y2=1上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若•＜0，则y0的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于不同的两点A，B；命题q：曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线；‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数k的取值范围；‎ ‎（2）若命题q为真命题，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．‎ ‎18．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F和椭圆E： +=1的右焦点重合，‎ 直线l过点F交抛物线于A，B两点．‎ ‎（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的长；‎ ‎（2）若直线l交y轴于点M，且=m， =n，试求m+n的值．‎ ‎19．已知点O为坐标原点，点P（，）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上，且椭圆C的焦距为2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若过定点M（0，﹣2）的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．‎ ‎20．已知：椭圆+=1（a＞b＞‎ ‎0），过点A（﹣a，0），B（0，b）的直线的斜率为，原点到该直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）斜率大于零的直线过D（﹣1，0）与椭圆交于E，F两点，若=2，求直线EF的方程；‎ ‎（3）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点，且以PQ为直径的圆过点D（﹣1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）10月段考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】根据题意设椭圆方程为，且，由此能求出椭圆方程．‎ ‎【解答】解：∵椭圆的中心为原点，离心率，‎ 且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，‎ ‎∴椭圆的焦点坐标F（0，±），‎ ‎∴设椭圆方程为，‎ 且，解得a=2，c=，∴b==1，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．若双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2‎ ‎，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（　　）‎ A．11 B．9 C．5 D．3‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，双曲线E： =1中a=3．‎ ‎∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，‎ ‎∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，‎ ‎∴|PF2|=9．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．‎ ‎【解答】解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，‎ ‎“A⊆B”，可得“A∩B=A”．‎ 所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（　　）‎ A． B．2 C．6 D．4‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．‎ ‎【解答】解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，‎ 过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，‎ 可得yA=2，yB=﹣2，‎ ‎∴|AB|=4．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．已知命题p：若x+y≠5，则x≠2或y≠3；命题q：若a＜b，则am2＜bm2，下列选项中是真命题的为（　　）‎ A．p∧￢q B．￢p C．p∧q D．￢p∨q ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】先判断出命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题p：若x+y≠5，则x≠2或y≠3的逆否命题是：若x=2且y=3，则x+y=5，为真命题，‎ 故命题p为真命题；‎ 若a＜b，则am2＜bm2，当m=0时不成立，‎ 故命题q为假命题；‎ 故p∧￢q为真命题；‎ ‎￢p，p∧q，￢p∨q均为假命题，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（　　）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，由=3，可得=，又|MF|=p=4，根据抛物线的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，‎ ‎∵=3，‎ ‎∴=，又|MF|=p=4，‎ ‎∴|NQ|=，‎ ‎∵|NQ|=|QF|，‎ ‎∴|QF|=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．以下选项中判断正确的是（　　）‎ A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y全不为0，则x2+y2≠0”‎ B．若命题，则¬p：∀x∉R，x2﹣x+1≥0‎ C．若命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题 D．“x＞3”是“x＞2”的充分不必要条件 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A，命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则x2+y2≠0“；‎ B，命题，则¬p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0；‎ C，命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q中至少一个为真命题 D，”x＞3”⇒“x＞2”，但“x＞2”推不出x＞3；‎ ‎【解答】解：对于A，命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则x2+y2≠0“故错；‎ 对于B，命题，则¬p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，故错；‎ 对于C，命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q中至少一个为真命题，故错 对于D，x＞3”是“x＞2”的充分不必要条件，正确；‎ 故选：D ‎　‎ ‎8．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．‎ ‎【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），‎ ‎∵∠F1PF2=60°，‎ ‎∴=，‎ 即2ac=b2=（a2﹣c2）．‎ ‎∴e2+2e﹣=0，‎ ‎∴e=或e=﹣（舍去）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．已知p：（x﹣2）（x+1）＞0；q：|x|＜a，若￢p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＜1 B．a≤1 C．a＜2 D．a≤2‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】分别求出关于p，q成立的x的范围，根据集合的包含关系判断即可．‎ ‎【解答】解：由（x﹣2）（x+1）＞0；解得：x＞2或x＜﹣1，‎ 故p：x＞2或x＜﹣1；‎ 由|x|＜a，a＞0时解得：﹣a＜x＜a，‎ a≤0时，无解 若￢p是q的必要不充分条件，‎ 即q是￢p的充分不必要条件，‎ a≤0时，显然成立，‎ a＞0时，即（﹣a，a）⊆[﹣1，2]，‎ 故a≤1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（　　）‎ A． B． C．3 D．9‎ ‎【考点】圆锥曲线的综合．‎ ‎【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），双曲线的左顶点为A（﹣a，0），AM的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，由双曲线一条渐近线与直线AM平行能求出实数a．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，‎ ‎∴抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5，‎ 根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．‎ ‎∴抛物线y2=16x，‎ ‎∴M（1，±4），‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴取M（1，4），‎ ‎∵双曲线的左顶点为A（﹣，0），‎ ‎∴AM的斜率为，‎ 双曲线的渐近线方程是，‎ 由已知得，‎ 解得a=．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．设F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2有公共焦点F1、F2，（F1、F2分别为左、右焦点），它们在第一象限交于点M，离心率分别为e1和e2，线段MF1的垂直平分线过F2，则的值为（　　）‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设双曲线C2的标准方程为： =1（a2，b2＞0）．a1=a．由题意可知：F1F2=F2M=2c，由定义可得：F1M+F2M=2a1，F1M﹣F2M=2a2，可得：a1﹣a2=2c，于是=2，即可得出．‎ ‎【解答】解：设双曲线C2的标准方程为： =1（a2，b2＞0）．a1=a．‎ 由题意可知：F1F2=F2M=2c，‎ 又∵F1M+F2M=2a1，F1M﹣F2M=2a2，‎ ‎∴F1M+2c=2a1，F1M﹣2c=2a2，‎ 两式相减，可得：a1﹣a2=2c，‎ ‎∴=2，∴﹣=2．‎ ‎　‎ ‎12．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R，S，如果|PF|=a，|QF|=b，M为RS的中点，则|MF|=（　　）‎ A．a+b B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】分PQ⊥x轴，和PQ与x轴不垂直两种情况，利用抛物线的定义、直角三角形斜边中线的性质、矩形的性质和勾股定理即可得出．‎ ‎【解答】解：①PQ与x轴不垂直时，如图所示，‎ 由抛物线的定义可得|QF|=|QS|，|PF|=|PR|．‎ ‎∴∠QFS=∠QSF，∠PFR=∠PRF，‎ 由题意可得QS∥FG∥PR，∴∠SFG=∠QSF，∠RFG=∠PRF．‎ ‎∴∠SFG+∠RFG=90°，∴．‎ 过点P作PN⊥QS交于点N，则|PN|=|RS|．‎ 在Rt△PQN中，|PN|===2．‎ ‎∴．‎ ‎②当PQ⊥x轴时，也可|MF|=p=a=b=．‎ 综上可知：|MF|=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．‎ ‎13．已知抛物线y=mx2上的点到定点（0，4）和定直线y=﹣4的距离相等，则m=　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】将抛物线方程转化成标准方程，由抛物线的定义可知：抛物线的焦点（0，4），准线方程：y=﹣4，则=4，则2p=8，则=8，则m=．‎ ‎【解答】解：抛物线的标准方程：x2=y 由抛物线的定义可知：抛物线的焦点（0，4），准线方程：y=﹣4，‎ 则=4，则2p=8，‎ ‎∴=8，则m=，‎ ‎∴m的值为，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．在等边△ABC中，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】可设等边△ABC的边长为2，依题意可求得椭圆中的长半轴a，短板轴b，从而可求得答案．‎ ‎【解答】解：设等边△ABC的边长为2，‎ ‎∵以A，B为焦点的椭圆经过点C，‎ ‎∴2c=2，c=1，‎ tan60°==，‎ ‎∴b=．‎ ‎∴a2=b2+c2=3+1=4，‎ ‎∴a=2，‎ ‎∴该椭圆的离心率e==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则双曲线C的渐近线方程为　y=±2x　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，求出a与b的关系，即可求出双曲线C的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），‎ 设PF的中点为M（0，b），‎ 即有m=﹣c，n=2b，‎ 将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，‎ ‎﹣=1，‎ 又c2=a2+b2，‎ ‎∴=4，‎ ‎∴=2，‎ ‎∴双曲线C的渐近线方程为y=±2x，‎ 故答案为：y=±2x ‎　‎ ‎16．已知M（x0，y0）是双曲线C：﹣y2=1上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若•＜0，则y0的取值范围是　﹣＜y0＜　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线的方程，即可求出y0的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意， •=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，‎ ‎∴﹣＜y0＜．‎ 故答案为：﹣＜y0＜．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于不同的两点A，B；命题q：曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线；‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数k的取值范围；‎ ‎（2）若命题q为真命题，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．‎ ‎【分析】（1）若命题p为真命题，则直线与圆相交，即圆心（0，0）到直线的距离小于半径，则＜1，解得答案；‎ ‎（2）若命题q为真命题，则k﹣6＞0，且k＞0，解得答案；‎ ‎（3）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p，q一真一假，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）若命题p为真命题，‎ 则直线与圆相交，即圆心（0，0）到直线的距离小于半径，‎ 则＜1，‎ 解得：k∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），‎ ‎（2）若命题q为真命题，则k﹣6＞0，且k＞0，‎ 解得：k∈（6，+∞），‎ ‎（3）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，‎ 则命题p，q一真一假，‎ p真q假时，k∈（﹣∞，﹣2）∪（2，6]，‎ p假q真时，不存在满足条件的k值，‎ 综上可得：k∈（﹣∞，﹣2）∪（2，6]‎ ‎　‎ ‎18．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F和椭圆E： +=1的右焦点重合，‎ 直线l过点F交抛物线于A，B两点．‎ ‎（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的长；‎ ‎（2）若直线l交y轴于点M，且=m， =n，试求m+n的值．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】（1）根据椭圆和抛物线的定义即可求出p的值，求出直线l的方程，联立方程组，得到x1+x2=，根据焦点弦定理即可求出|AB|，‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=k（x﹣2），l与y轴交于M（0，﹣k），设直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，消元利用韦达定理，结合=m， =n，运用向量的坐标表示，可得m，n，由此可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）据已知得椭圆E的右焦点为F（2，0），‎ ‎∴=2，‎ 故抛物线C的方程为y2=8x，‎ ‎∵直线l的倾斜角为60°，‎ ‎∴y=x﹣2，‎ 于是得到（x﹣2）2=8x，即3x2﹣20x+12=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∴x1+x2=，‎ ‎∴|AB|=p+x1+x2=，‎ ‎（2）根据题意知斜率必存在，于是设方程为y=k（x﹣2），点M坐标为M（0，﹣k），‎ ‎∵A（x1，y1），B（x2，y2）为l与抛物线C的交点，得到k2x2﹣4（k2+2）x+4k2=0，‎ ‎∴x1+x2=4+，x1x2=4，‎ ‎∵=m， =n，‎ ‎∴（x1，y1+k）=m（2﹣x1，﹣y1），（x2，y2+k）=n（2﹣x2，﹣y2），‎ ‎∴m=，n=，‎ ‎∴m+n=+==﹣1．‎ ‎　‎ ‎19．已知点O为坐标原点，点P（，）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上，且椭圆C的焦距为2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若过定点M（0，﹣2）的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：2c=2，c﹣1，将P（，）代入椭圆方程：，即可求得a和b的值，求得椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线l的方程为：y=kx﹣2（k≠0），代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2=，x1•x2=，原点O到直线l的距离为d=‎ ‎，根据弦长公式可知丨PQ丨=•=•，利用三角形的面积公式可知：S△OPQ=，令=t，t＞0，则4k2=t2+1，则S△OPQ=，由基本不等式的性质即可求得△OPQ面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：椭圆C的焦距为2，即2c=2，c﹣1，‎ 由P（，）在椭圆C，则将P（，）代入椭圆方程：，‎ ‎∴，解得：a2=4，则b2=3，‎ ‎∴椭圆C的方程；‎ ‎（2）由题意可知：直线l的斜率存在且不为0，设直线l的斜率为k，直线l的方程为：y=kx﹣2（k≠0），‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 则，整理得：（4k2+3）x2﹣16kx+4=0，‎ 则△=（﹣16k2）﹣4×（4k2+3）×4=192k2﹣48＞0，解得：k2＞，‎ 由韦达定理可知：x1+x2=，x1•x2=，‎ 设原点O到直线l的距离为d，‎ 则d=，‎ 由弦长公式可知：丨PQ丨=•=•=•，‎ ‎∴△OPQ面积S△OPQ=•d•丨PQ丨=•••=‎ ‎，‎ 令=t，t＞0，则4k2=t2+1，‎ ‎∴S△OPQ==≤=，‎ 当且仅当t=，即t=2，k=±时，取等号，‎ ‎∴△OPQ面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎20．已知：椭圆+=1（a＞b＞0），过点A（﹣a，0），B（0，b）的直线的斜率为，原点到该直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）斜率大于零的直线过D（﹣1，0）与椭圆交于E，F两点，若=2，求直线EF的方程；‎ ‎（3）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点，且以PQ为直径的圆过点D（﹣1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）利用两点连线的斜率公式及点到直线的距离公式列出椭圆的三个参数a，b，c的关系，通过解方程求出a，b，c的值，写出椭圆的方程；‎ ‎（2）设出直线方程，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数的关系及已知条件中的向量关系找到有关直线方程中的待定系数满足的等式，解方程求出直线的方程．‎ ‎（3）将条件以PQ为直径的圆过点D（﹣1，0）转化为PD⊥QD，设出直线的方程将直线方程与椭圆方程联立，利用向量垂直的充要条件列出等式，求出直线的斜率．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知直线AB的斜率k===，则a=2b，‎ 由△OAB三角形的面积S=ab=••，即ab=•，‎ ‎∴2b2=b•，解得：b=1，‎ ‎∴a=2，‎ ‎∴椭圆的标准方程为：；‎ ‎（2）设EF：x=my﹣1（m＞0），设E（x1，y1），F（x2，y2），‎ 则，整理得（m2+4）y2﹣2my﹣3=0，‎ 由韦达定理可知：y1+y2=，y1•y2=﹣，‎ ‎∵=（﹣1﹣x1，﹣y1），=（﹣1﹣x2，﹣y2），‎ 由=2，‎ ‎∴y1=﹣2y2．‎ 则y1+y2=﹣y2=，y1•y2=﹣2y22=﹣，‎ ‎∴（）2=，解得：m=，m=﹣（舍去），（没舍去扣1分）‎ 直线EF的方程为：x=y﹣1，即x﹣y+1=0；‎ ‎（3）由题意可知：设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ ‎，整理得（4k2+1）x2+16kx+12=0（*），‎ 由△=（16k）2﹣4×12×（4k2+1）＞0，解得：k2＞，‎ 由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1•x2=，‎ ‎∵PQ为直径的圆过D（﹣1，0），‎ 则PD⊥QD，‎ 即（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，‎ 又y1=kx1+2，y2=kx2+2，‎ 整理得：（k2+1）x1•x2+（2k+1）（x1+x2）+5==0．‎ 解得：k=，满足△＞0，‎ ‎∴存在，满足题设条件．‎ ‎　‎ ‎2017年1月15日