2017-2018学年陕西省咸阳市武功县普集高中高二下学期第三次月考数学（理）试题（解析版） 15页

‎2017-2018学年陕西省咸阳市武功县普集高中高二下学期第三次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，即可求得复数，从而通过复数的运算即可求得.‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ ‎∴ .‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的运算及共轭复数的定义，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运输技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点、共轭为.‎ ‎2．已知复数(为虚数单位)，则= ( )‎ A． 3 B． 2 C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复，利用复数模的公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵ ‎ ‎∴=‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数．‎ ‎3．用数学归纳法证明不等式 (，且）时，第一步应证明下述哪个不等式成立（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题干知n>1,故从2开始，第一步应该代入2，得到。‎ 故答案为：B。‎ ‎4．观察下列各式：，，，，，…，则（ ）‎ A． 18 B． 29 C． 47 D． 76‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据给出的几个等式，不难发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，再写出三个等式即得．‎ 详解：∵‎ ‎,‎ ‎∴通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．‎ ‎∴，，.‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查归纳推理的思想方法，常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：（1）数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列，等比数列等；（2）形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎5．函数的单调增区间为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义域，以及函数的导数，然后解不等式，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得函数的定义域为，则函数的导数为.‎ 令，则，即函数的单调增区间为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在研究函数的单调性的应用，属于中高档题型，也是常考题.利用导数研究函数的单调性的一般步骤为：①确定函数的定义域；②求函数的导数；③若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式或即可.‎ ‎6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，假设正确的是（ ）‎ A． 假设三内角都不大于 B． 假设三内角都大于 C． 假设三内角至多有一个大于 D． 假设三内角至多有两个大于 ‎【答案】B ‎【解析】分析：‎ 根据“至少有一个”的否定：“一个也没有”可得解.‎ 详解：‎ 根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”.‎ 故选B.‎ 点睛：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”； “至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．‎ ‎7．已知函数在处取极值10，则（ ）‎ A． 4或 B． 4或 C． 4 D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的极值点和极值得到关于的方程组，解方程组并进行验证可得所求．‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 由题意得，即，解得或．‎ 当时，，故函数单调递增，无极值．不符合题意．‎ ‎∴‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极值的定义与应用问题，函数极值问题，往往转化为导函数零点问题，‎ 即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），解答本题题时求出，后须验证对应的函数是否有极值．‎ ‎8．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（ ）‎ A． 1项 B． 项 C． 项 D． 项 ‎【答案】C ‎【解析】分析：先表示出、，通过对比观察由变到时，项数增加了多少项.‎ 详解：因为，‎ 所以当，‎ 当，‎ 所以由变到时增加的项数为.‎ 点睛：本题考查数学归纳法的操作步骤，解决本题的关键是首先观察出分母连续的整数，当，‎ ‎，由此可得变化过程中左边增加了多少项，意在考查学生的基本分析、计算能力．‎ ‎9．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）‎ A． 函数有极大值和极小值 B． 函数有极大值和极小值 C． 函数有极大值和极小值 D． 函数有极大值和极小值 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题图可知，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．由此可以得到函数在处取得极大值，在处取得极小值．故选D.‎ ‎【考点】1、利用导数判断函数的单调性；2、利用导数求函数的极值.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值.‎ ‎10．若，则（ ）‎ A． 1 B． 2 C． 4 D． 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由导函数定义，，即可求出结果.‎ 详解：∵f′（x0）=2，‎ 则 ‎=　　‎ ‎=‎ ‎=2f′（x0）=4．‎ 故选：C ．‎ 点睛：本题考查了导函数的概念，考查了转化的思想方法，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎11．函数 在内有极小值，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在内必有根，从而得到的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎，函数在内有极小值，等价于方程在区间上有较大根，即，解得.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关函数极值的问题，该题等价于导数等于零对应的二次方程在相应区间上有较大的根，之后转化为一元二次方程根的分布问题来解决即可.‎ ‎12．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数．若，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，构造函数，，利用导数研究其单调性，可得 在上单调递减，将，，转化为，即，从而可得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 令，，则.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴函数在上单调递减 ‎∵，‎ ‎∴，即.‎ ‎∴且，解得.‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“”和“”的联系构造函数.‎ 二、填空题 ‎13．设随机变量ξ只能取5,6,7，…，14这10个值，且取每一个值的概率均相等，则P(ξ≥10)＝______；P(6<ξ≤14)＝________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意P(ξ＝k)＝ (k＝5,6，…，14)，P(ξ≥10)＝4×＝.P(6<ξ≤14)＝8×＝.‎ 故填，.‎ ‎14．如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有___________种.‎ ‎【答案】480‎ ‎【解析】（1）从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法；若D与A同色，则D只有1种涂色方法；若D与A不同色，则D有3种涂色方法．故共有种涂色方法．‎ ‎15．＝____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的几何意义，所求表示如图所示的阴影部分的面积，分割法求之．‎ ‎【详解】‎ 根据积分的几何意义，所求表示如图所示的阴影部分的面积，即直角三角形的面积和扇形的面积之和.‎ ‎∴.‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 定积分的计算：‎ ‎（1）用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数，此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加.‎ ‎（2）根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.‎ ‎（3）若为奇函数，则.‎ ‎16．个男生和个女生排成一列，若男生甲与另外两个男同学都不相邻，则不同的排法共有__________种（用数字作答）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据题意，需要分清一共有多少种情况，对于男生甲可以和乙相邻，可以和丙相邻，这里边对于甲与乙和丙同时相邻的就算了两次，所以该题用间接法来求，在进行减法运算时，注意将多减的需要再加上即可.‎ 详解：将6名同学排成一列，不同的排法种数由有种，不妨称另外两名男同学为乙和丙，若男同学甲与男同学乙相邻，不同的排法种数是种，同理可知男同学甲与男同学丙相邻，不同的排法种数是种，若男同学甲与乙和丙都相邻，不同的排法种数是种，所以满足条件的不同的排法种数是种，故答案是288.‎ 点睛：该题属于排列的综合问题，关于相邻问题捆绑法，不邻问题插空法，该题也可以从不相邻入手用加法运算做，即方法是不唯一的，但是都需要将情况讨论全.‎ 三、解答题 ‎17．二项式的展开式中,求:‎ ‎(1)二项式系数之和;‎ ‎(2)各项系数之和;‎ ‎(3)各项系数的绝对值之和.‎ ‎【答案】（1） （2） （3）.‎ ‎【解析】‎ 设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.‎ ‎(1)二项式系数之和为+++…+=29.‎ ‎(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,‎ 令x=1,y=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.‎ ‎(3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9,‎ 令x=1,y=-1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9=59,‎ 则各项系数的绝对值之和为59.‎ ‎18．已知函数，.‎ ‎（1）求函数图象经过点的切线的方程.‎ ‎（2）求函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积.‎ ‎【答案】(1) 切线方程为或(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设切点为，切线斜率，即可求得曲线在点处的切线方程，把点代入解出即可；（2）联立函数与直线的方程，从而可得函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积：，利用微积分基本定理即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设切点为，切线斜率，所以曲线在点处的切线方程为，把点代入，得或，所以切线方程为或.‎ ‎（2）由或 所以所求的面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求切线方程以及微积分定理，属于中档题. 应用导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：①设切点，求导并且表示在切点处的斜率；②根据点斜式写出切线方程；③将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；④将切点代入切线方程，得到具体的表达式.‎ ‎19．为了参加某运动会,从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队,队员来源人数如下表:‎ 队别 北京 上海 天津 八一 人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎ (1)从这18名队员中随机选出两名,求两人来自同一队的概率;‎ ‎(2)若要求选出两名队员担任正副队长,设其中来自北京队的人数为,求随机变量的分布列.‎ ‎【答案】(1) （2）详见解析 ‎【解析】‎ 分析：（1）“从这18名队员中随机选出三名，三人来自同一队”记为事件 则总数为，求出两人来自同一支队的总数，即可求得概率；‎ ‎（2）的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率，可得随机变量的分布列，及数学期望．‎ 详解：‎ ‎（1）“从这18名队员中随机选出三名，三人来自同一队”记为事件 则 ‎∴三人来自同一队的概率为.‎ ‎（2）的所有可能取值为0，1，2‎ 则，‎ ‎∴的分布列为 点睛：本题考查古典概型，考查概率知识，考查随机变量的分布列，及数学期望，考查学生的计算能力，正确求概率是关键．‎ ‎20．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内.‎ ‎（1）求共有多少种放法；‎ ‎（2）求恰有一个盒子不放球，有多少种放法；‎ ‎（3）求恰有两个盒内不放球，有多少种放法；‎ ‎【答案】(1)256 (2)144 (3)84‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】（1）依据分步计数原理可得；（2）先从4个小球中取出两个放在一起，分成三堆放入 3个盒子中，运用分步计数原理求解；（3）先分类：即分为一个盒子放1个；另一个盒子放3个和两个盒子中各放2个小球，然后运用分类计数原理进行求解：‎ 解　(1)44＝256(种)．‎ ‎(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的两个小球与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A34种不同的放法．根据分步乘法计数原理，不同的放法共有C24A34‎ ‎＝144(种)．‎ ‎(3)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C种，再放到2个盒中有A种放法，共有CA种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有CC种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有CA＋CC＝84(种)．‎ ‎21．已知数列满足且.‎ ‎（1）计算、、的值，由此猜想数列的通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法对你的结论进行证明．‎ ‎【答案】（1），；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由,，将代入上式计算出、、的值，根据共同规律猜想即可；（2）对于，用数学归纳法证明即可.①当时，证明结论成立，②假设当时，结论成立，利用归纳假设，去证明当时，结论也成立即可.‎ 试题解析： ⑴，猜想：． ‎ ‎（2）①当时，，结论成立； ‎ ‎ ②假设当时，结论成立，即， ‎ 则当时，，‎ 即当时，结论也成立， ‎ 由①②得，数列的通项公式为.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若函数在上单调递减，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，若关于的不等式有解，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）对函数求导，根据函数在上单调递减，可得，即在恒成立，即大于等于函数在上的最大值即可，从而可求得的取值范围；（Ⅱ）由，，分离变量可得，令，利用导数研究函数的单调性，求得，从而可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）， ‎ ‎∵在上单调递减 ‎∴，即在恒成立，即大于等于函数在上的最大值即可. ‎ ‎∵在上单调递增，‎ ‎∴当，即时，函数在上单调递减，‎ ‎∴的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）由，，可得，令，则.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴，即， ‎ 要使时，关于的不等式有解，只需.‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;‎ ‎（3）若恒成立，可转化为.‎