湖北省恩施州2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试卷 8页

理数试题 本试题卷分客观题和主观题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。‎ 考生注意：‎ ‎1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号、考试类别用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡规定的位置上。‎ ‎2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。‎ 客观题部分 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）‎ ‎ ‎ ‎1．已知集合，，则为( )‎ A.　　 B.　 C.　　 D.‎ ‎2.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为 ( ) (　　)‎ A．－ B．－2 C. D．2‎ ‎3．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）‎ A． B． C． D，‎ ‎4．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）‎ A.70种 B.80种 C.100种 D.140种 ‎5、已知向量，若，则实数的值是（ ）‎ A．-4 B．4 C. -1 D．1 ‎ ‎6．已知函数f（x）=log2（x+a）+log2（x﹣a）（a∈R）．命题p：∃a∈R，函数f（x）是偶函数；命题q：∀a∈R，函数f（x）在定义域内是增函数．那么下列命题为真命题的是（ ）‎ ‎ A． ¬q B． p∧q C． （¬p）∧q D． p∧（¬q）‎ ‎7、下列命题中不正确的个数是(　 )‎ ‎①若直线上有无数个点不在平面内，则；‎ ‎②和两条异面直线都相交的两条直线异面；‎ ‎③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；‎ ‎④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．‎ A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3‎ 8. 某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的 值是（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎9．某锥体的三视图下图所示，该锥体的体积为( )．‎ A．16 B．8 C．48 D．24‎ ‎10、若双曲线的一条渐近线经过点（3，-），则此双曲线的离心率为( )‎ A B C D ‎ ‎11.将函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得图象的函数解析式是( )‎ ‎ A．y=2cos2(x+) B．y=2sin2(x+) C．y=2-sin(2x-) D．y=cos2x ‎12. 设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，且f(－3)·g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是( )‎ A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪ (0,3)‎ C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.在的展开式中x5的系数是 ．‎ ‎14．若在区域内任取一点P，则点P落在单位圆内的概率为 .‎ ‎15、下面四个命题：其中所有正确命题的序号是 ‎ ‎①函数的最小正周期为；‎ ‎②在△中，若，则△一定是钝角三角形；‎ ‎③函数的图象必经过点（3，2）；‎ ‎④若命题“”是假命题，则实数的取值范围为；‎ ‎⑤的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称.‎ ‎16、已知四面体P- ABC的外接球的球心O在AB上，且平面ABC，， 若四面体P - ABC的体积为，则该球的表面积为_________．‎ 主观题部分 三、简答题：（17题至21题，每题12分；22题10分）‎ ‎17、已知数列的前项和，数列为等比数列，且满足， . ‎ ‎（1）求数列，的通项公式. ‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ 18. 如图，四棱锥中，，，，，． Ⅰ求证：平面 平面ABCD； Ⅱ求直线PA与平面PBC所成角的正弦值． ‎ ‎ ‎ ‎19. 今年五一黄金周，记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：‎ 性别与对景区的服务是否满意　　单位：名 男 女 总计 满意 ‎50‎ ‎30‎ ‎80‎ 不满意 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ ‎（1）从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？‎ ‎（2）从（1）中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各一名的概率.‎ ‎（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关?‎ 注：‎ 临界值表：‎ P()‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1）,‎ 平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0），交椭圆于A、B两个不同点.‎ ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）求m的取值范围.‎ ‎（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.‎ ‎21、已知在区间上是增函数．‎ ‎（1） 求实数的值组成的集合.‎ ‎（2） 设关于的方程的两个非零实根为．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及 恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．(10分)一个口袋中有5个同样大小的球，编号为3,4,5,6,7，从中同时取出3个小球，以ξ表示取出的球的最小号码，求ξ的分布列，均值，方差．‎ ‎ ‎ 理数答案 ‎1---5,ADAAB 6---10CDBBC 11---12CD ‎13. 644 14. 15. ②③④ 16. 12π 17. ‎（1） ------- 6分 ‎ （2） ------------- 12分 ‎ ‎18.证明：Ⅰ，，， ，，，， ，，，， ，，平面PAD， 平面ABCD，平面平面ABCD． ------- 5分 解：Ⅱ取AD中点O，连结PO，则，且， 由平面平面ABCD，知平面ABCD， 以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴， 直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， -------- 7分 则，，，0，， 0，，， ----- 8分 设平面PBC的法向量y，， 则，取，得， ‎ ‎， ， ----- 11分 直线PA与平面PBC所成角的正弦值为． -------- 12分 ‎19.解：（1）根据分层抽样可得：样本中满意的女游客为名，样本中不满意的女游客为名。 ------------ 2分 ‎（2）所求概率 。 --------- 7分 ‎（3）假设：该景区游客性别与对景区的服务满意无关，则应该很小。‎ 根据题目中列联表得：‎ 由可知：有99％的把握认为：该景区游客性别与对景区的服务满意有关。 --------- 12分 ‎20. 解：（1）设椭圆方程为 则 ∴椭圆方程为------4分 ‎（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m ； 又KOM=‎ ‎ ------ 5分 由 ‎∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点， ‎ ‎ ------- 8分 ‎（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可 设 则 由可得 ‎ 而 故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. -------- 12分 ‎21.解（1）因为在区间上是增函数，‎ 所以，在区间上恒成立，‎ 所以，实数a的值组成的集合 ---------- 4分 ‎（2）由 得 即 ‎ 因为方程即的两个非零实根为 两个非零实根，于是，，‎ 因 -------- 7分 设 ‎ 若对任意及 恒成立，则 ‎，解得 ，‎ 因此，存在实数，使得不等式对任意及 恒成立． --------- 12分 ‎22.解：　ξ的取值分别为3,4,5，‎ P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，‎ ξ的分布列如下：‎ ξ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎ --------- 6分 E（ξ)=3×＋4×＋5×=3.5 ------- 8分 D（ξ)=(3-3.5)2×＋(4-3.5)2×＋(5-3.5)2× = ‎ ‎------ 10分