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- 2021-06-23 发布
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[考案5]第五章 综合过关规范限时检测
(时间:120分钟 满分150分)
一、单选题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.数列,-,,-,…的一个通项公式为( D )
A.an=(-1)n·
B.an=(-1)n·
C.an=(-1)n+1·
D.an=(-1)n+1·
[解析] 该数列是分数形式,分子为奇数2n+1,分母是指数2n,各项的符号由(-1)n+1来确定,所以D选项正确.
2.(2020·湖北八校联考)已知数列{an}满足an=(n∈N*),将数列{an}中的整数项按原来的顺序组成新数列{bn},则b2 019的末位数字为( D )
A.8 B.2
C.3 D.7
[解析] 由an=(n∈N*),可得此数列为,,,,,,,,,,,,,…,整数项为,,,,,,…,所以数列{bn}的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18,…,末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8,…,因为2 019=4×504+3,所以b2 019的末位数字为7.故选D.
3.(2020·贵州贵阳监测)如果在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( C )
A.14 B.21
C.28 D.35
[解析] 由题意得3a4=12,则a4=4,所以a1+a2+…+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28.故选C.
4.(2020·山东潍坊期末)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在m∈N*,满足=28,=,则数列{an}的公比为( B )
A.2 B.3
C. D.
[解析] 设数列{an}的公比为q,由题意知q≠1,因为=28,=,所以1+qm=28,qm=,所以m=3,q=3.故选B.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S13>0,S14<0,则Sn取最大值时n的值为( B )
A.6 B.7
C.8 D.13
[解析] 根据S13>0,S14<0,可以确定a1+a13=2a7>0,a1+a14=a7+a8<0.所以a7>0,a8<0,则Sn取最大值时n的值为7.故选B.
6.(2020·江西南昌三中模拟)在等比数列{an}中,已知对任意的正整数n,a1+a2+a3+…+an=2n+m,则a+a+…+a=( A )
A.(4n-1) B.2n-1
C.(2n-1) D.4n-1
[解析] 通解:设{an}的公比为q,∵a1+a2+a3+…+an=2n+m对任意的正整数n均成立,∴a1=2+m,a2=2,a3=4.∵{an}是等比数列,∴m=-1,a1=1,q=2,∴a+a+…+a=1+4+42+…+4n-1==(4n-1).故选A.
优解:∵a1+a2+a3+…+an=2n+m,∴当n≥2时,an=2n-1,又a1=2+m,满足上式,∴m=-1,即等比数列{an}的首项为1,公比为2,∴an=2n-1,∴a+a+…+a=1+4+42+…+4n-1==(4n-1).故选A.
7. (2020·河北六校第三次联考)“泥居壳屋细莫详,红螺行沙夜生光.”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述.假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图):△ABC是边长为1的正三角形,曲线CA1,A1A2,A2A3分别是以A,B,C为圆心,AC,BA1,CA2为半径画的弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线,再以A为圆心,AA3为半径画弧,……如此画下去,则所得弧CA1,A1A2,A2A3,…,A28A29,A29A30的总长度为( A )
A.310π B.π
C.58π D.110π
[解析] 根据弧长公式知,弧CA1,A1A2,A2A3,…,An-2An-1,An-1An的长度分别为
π,2×π,3×π,…,(n-1)×π,n×π,该数列是首项为π,公差为π的等差数列,所以该数列的前n项和Sn=n(n+1),所以所得弧CA1,A1A2,A2A3,…,A28A29,A29A30的总长度为S30=×30×(30+1)=310π.故选A.
8.(2020·河北衡水中学调研)已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,则的最小值为( B )
A.3 B.4
C.2-2 D.
[解析] 由已知有a=a1a13,所以有(a1+2d)2=a1(a1+12d),d=2(d≠0),数列{an}通项公式an=1+2(n-1)=2n-1,Sn==n2,所以==(n+1)+-2≥4,当且仅当n+1=,即n=2时等号成立.故选B.
二、多选题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.等比数列{an}的前三项和S3=14,若a1,a2+1,a3成等差数列,则公比q=( AD )
A.2 B.
C.3 D.
[解析] 由a1,a2+1,a3成等差数列,
得2(a2+1)=a1+a3,即2(1+a1q)=a1+a1q2,
即a1(q2-2q+1)=2,①
又S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=14,②
①÷②得:=,解得q=2或q=.
另解:由2(a2+1)=a1+a3,
得3a2+2=a1+a2+a3=S3=14,解得a2=4,
则S3=+4+4q=14,解得q=2或q=.故选A、D.
10.若数列{an}满足对任意n≥2(n∈N)都有(an-an-1-2)·(an-2an-1)=0,则下面选项中正确的是( ABD )
A.{an}可以是等差数列
B.{an}可以是等比数列
C.{an}可以既是等差数列又是等比数列
D.{an}可以既不是等差数列又不是等比数列
[解析] 因为(an-an-1-2)(an-2an-1)=0,
所以an-an-1-2=0或an-2an-1=0,
即an-an-1=2或an=2an-1,
当an≠0,an-1≠0时,{an}是等差数列或等比数列;
当an=0或an-1=0时,{an}可以不是等差数列,也可以不是等比数列,比如数列,2,0,0,0,…….故选A、B、D.
11.已知等比数列{xn}的公比为q,若恒有|xn|>|xn+1|,且=,则首项x1的取值范围可以是( AC )
A.(,1) B.(0,1)
C.(0,) D.(1,2)
[解析] 由|xn|>|xn+1|,得1>||=|q|,故-1
b2 B.a3b5 D.a6>b6 [解析] 设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d,q,则由题设得解得,则a2-b2=3->3-=0;故A正确.同理,其余都错,故选B、C、D. 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.(2020·云南师大附中月考)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=3Sn+1,则S4=__85__. [解析] an+1=3Sn+1①,an=3Sn-1+1(n≥2)②,①-②得:an+1=4an(n≥2),又a1=1,a2=3a1+1=4,∴{an}是首项为1,公比为4的等比数列,∴S4==85.或S4=a1+a2+a3+a4=1+4+16+64=85. 14.(2020·福建莆田月考)设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1+a3+a11=6,则S9=__18__. [解析] 设等差数列{an}的公差为d.∵a1+a3+a11=6,∴3a1+12d=6,即a1+4d=2,∴a5=2,∴S9===18. 15.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=__2n-1__. [解析] 因为Sn+1=2Sn+n+1, 当n≥2时,Sn=2Sn-1+n, 两式相减得,an+1=2an+1, 所以an+1+1=2(an+1),即=2. 又S2=2S1+1+1,a1=S1=1, 所以a2=3,所以=2,所以an+1=2×2n-1=2n, 所以an=2n-1.故填2n-1. 16.已知数列{an}满足a1a2a3…an=2n2(n∈N*),且对任意的n∈N*都有++…+ 0,所以an-an-1=2,即 数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列. 所以an=2n-1. (2)由(1)知bn=, 则Tn=1·+3·()2+5·()3+…+(2n-3)·()n-1+(2n-1)·()n. Tn=1·()2+3·()3+5·()4+…+(2n-3)·()n+(2n-1)·()n+1, 两式相减得Tn=+2[()2+()3+…+()n]-(2n-1)()n+1=-·()n, 所以Tn=1-. (3)由≤λ(n+4)-1得, 则λ≥=, 因为n+≥2=4, 所以当且仅当n=2时,有最大值,即λ≥.