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- 2021-06-23 发布
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绝密 ★ 启用前 试卷类型 A
2017-2018 学年山东师范大学附属中学高二下学期期中考试
数 学(文 科)试 卷
命题人:程若礼 审核人:孔蕊
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 5 页,满分为 120 分,考试用时 120 分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置
上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如
需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不得使用涂改液,胶带纸、修正带和其他笔。
第 I 卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。
1.原命题为“若 , 互为共轭复数,则 ”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性
的判断依次如下,正确的是
A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假
2.已知变量 , 负相关,且由观测数据算得样本平均数 , ,则由该观测数据得到
的线性回归方程可能是
A. B.
C. D.
3.已知复数 为纯虚数,则实数 的值为
A. B. C. D.
4.已知中心在原点的椭圆 的右焦点为 ,离心率等于 ,则 的方程是
A. B. C. D.
5.点 的直角坐标是 ,则它的极坐标为
1z 2z 1 2| | | |z z=
x y 2x = 1.5y =
0.6 1.1y x= + 3 4.5y x= −
2 5.5y x= − + 0.4 3.3y x= − +
3i
1 2i
a +
− a
2− 4 6 6−
C (1,0)F 1
2 C
2 2
13 4
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
2 2
14 2
x y+ =
2
2 12
x y+ =
M ( 3, 1)−
A. B. C. D.
6.已知 ,则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
7.已知曲线 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为
A. B. C. D.
8.已知曲线 的参数方程为 ( 为参数),则该曲线离心率为
A. B. C. D.
9.若不等式 的解集为空集,则 的取值范围是
A. B. C. D.
10.圆 与直线 的位置关系是
A.相交且过圆心 B.相交但不过圆心
C.相切 D.相离
11.过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线交抛物线于 , 两点,则弦 的长为
( )
A. B. C. D.
12.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于
不可割,则与圆周合体而无所失矣。”它体现了一种无限与有限的转化过程。比如在表达式
中“ ”即代表无数次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程 求得
.类比上述过程,则
A. B. C. D.
11(2, )6
π 5(2, )6
π
( 3, )6
π 11( 2, )6
π
0a b< <
3 3a b> ac bc< 2 2a b> 1 1
a b
<
2
3ln2
xy x= − 2
3 2 1 1
2
C 4cos
2sin
x
y
θ
θ
=
=
θ
3
2
3
4
2
2
1
2
| 2 | | 3|x x a− + + < a
[5, )+∞ (5, )+∞ ( ,5)−∞ ( ,5]−∞
2 4sin( )4x
πρ = +
1 2
2 2
1 2
2 2
x t
y t
= −
= +
2 8y x= F 135° A B AB
4 8 12 16
11 11 1
+
+ +
11 xx
+ =
5 1
2x
+= 3 2 3 2+ + =
3 13 1
2
+
6 2 2
第 II 卷
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.已知 , 取值如表:
画散点图分析可知: 与 线性相关,且求得回归方程为 ,则 .
14.已知整数对序列如下: , , , , , , , , ,
, , , 则第 个数对是 .
15.已知 , ,若“ ”是“ ”的必要不充分条件,则实
数 的取值范围为________.
16.已知 ,函数 ,若 在 上是单调减函数,则实数 的取值
范围是 .
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10 分)
已知 .
(1)解不等式 ;
(2)求 的最小值及相应 的值.
18.(12 分)
平面直角坐标系中,直线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴的正
半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线 的极坐标方程为
.
(1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;
(2)若直线 与曲线 相交于 , 两点,求 .
x y
x 0 1 3 5 6
y 1 m 3m 5.6 7.4
y x ˆ 1y x= + m =
(1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (3,1) (1,4) (2,3) (3,2)
(4,1) (1,5) (2,4) 60
{ | }A x x a= ≥ { || 1| 1}B x x= − < x A∈ x B∈
a
0a ≥ 2( ) ( 2 ) xf x x ax e= − ⋅ ( )f x [ 1,1]− a
( ) | 2 1| | 1|f x x x= − − +
( ) 9f x ≤
( )f x x
l
3
x t
y t
= =
t x
C
2 2 2 2cos sin 2 sin 3 0ρ θ ρ θ ρ θ+ − − =
l C
l C A B | |AB
19.(12 分)
某学校高二年级有学生 名,经调查,其中 名同学经常参加体育锻炼(称为 类同
学),另外 名同学不经常参加体育锻炼(称为 类同学),现用分层抽样方法(按 类、 类
分两层)从该年级的学生中共抽取 名同学,如果以 cm 作为身高达标的标准,由抽取的
名学生,得到以下的列联表:
分类 身高达标 身高不达标 总计
类同学
类同学
总计
(1)请将上表补充完整;
(2)是否有 的把握认为经常参加体育锻炼与身高达标有关.
附:
.
20.(12 分)
已知 .
(1)求不等式 的解集;
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立,求实数 的取值范围.
21.(12 分)
1000 750 A
250 B A B
100 165 100
A 43
B 17
100
95%
2
0( )P K k≥ 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
( ) | 1| | 1| 2f x x x= − + + −
( ) 1f x ≥
x 2( ) 2f x a a≥ − − R a
在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点,
以 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线的 的普通方程和曲线 的的直角坐标方程;
(2)若曲线 与 交于 , 两点,点 的极坐标为 ,求 的值.
22.(12 分)
保险公司统计的资料表明:居民住宅距最近消防站的距离 (单位:千米)和火灾所造成的损
失数额 (单位:千元)有如下的统计资料:
距消防站的距离 (千米)
火灾损失数额 (千元)
(1)请用相关系数 (精确到 )说明 与 之间具有线性相关关系;
(2)求 关于 的线性回归方程(精确到 );
(3)若发生火灾的某居民区距最近的消防站 千米,请评估一下火灾损失(精确到 ).
参考数据: , , ,
,
参考公式: ;
回归直线方程为 ,其中 ,
xOy 1C
32 5
42 5
x t
y t
= −
= − +
t
x 2C cos tanρ θ θ=
1C 2C
1C 2C A B P (2 2, )4
π− | | | |PA PB⋅
x
y
x 1.8 2.6 3.1 4.3 5.5 6.1
y 17.8 19.6 27.5 31.3 36.0 43.2
r 0.01 y x
y x 0.01
10.0 0.01
6
1
175.40i
i
y
=
=∑ 6
1
( )( ) 80.30i i
i
x x y y
=
− − =∑ 6
2
1
( ) 14.30i
i
x x
=
− =∑
6
2
1
( ) 471.65i
i
y y
=
− ≈∑ 6744.60 82.13≈
2
1
2
1
1
)()(
))((
yyxx
yyxx
r
i
n
ii
n
i
ii
n
i
−Σ−Σ
−−Σ
=
==
=
axby ˆˆˆ +=
∑
∑
=
=
−
−−
= n
i
i
n
i
ii
xx
yyxx
b
1
2
1
)(
))((
ˆ xbya ˆˆ −=
参考答案及评分标准
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C C B A C A A D B D A
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13. ; 14. ; 15. ; 16. .
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 【解】(1)① 时, , ;……1 分
② 时, , ;………2 分
③ 时, , ………3 分
综上可知:不等式的解集为 ……………………….5 分
(2)由(1)知 ……………….7 分
知: 在 和 单调递减,在 单增,………………8 分
…………………….10 分
18.【解】(1)直线 的普通方程为 ;……………………….2 分
, 曲线 的直角坐标方程为 ;……….5 分
(2)曲线
圆心 到直线 的距离 ;……………7 分
圆的半径 ; …………………………………………8 分
3
2 (5,7) 0a ≤ 3
4a ≥
1x ≤ − ( ) 2 9 7f x x x= − + ≤ ⇒ ≥ − [ 7, 1]x∴ ∈ − −
11 2x− < < ( ) 3 9 3f x x x= − ≤ ⇒ ≥ − 1( 1, )2x∴ ∈ −
1
2x ≥ ( ) 2 9 11f x x x= − ≤ ⇒ ≤ 1[ ,11]2x∴ ∈
[ 7,11]−
2, 1
1( ) 3 , 1 2
13, 2
x x
f x x x
x x
− + ≤ −
= − − < <
− ≥
( )f x ( , 1)−∞ − 1( 1, )2
− 1[ , )2
+∞
min
1 3( ) ( )2 2f x f∴ = = −
l 3y x=
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= ∴ C 2 2 2 3 0x y y+ − − =
:C 2 2( 1) 4x y+ − =
(0,1) 3y x= 1 1
21 3
d = =
+
2r =
,………………………10 分
………………………………………………12 分
19.【解】(1)
分类 身高达标 身高不达标 总计
类同学
类同学
总计
…………………………………………………6 分
(2) …8 分
又 …………………………………………10 分
有 的把握认为经常参加体育锻炼与身高达标有关…………………………12 分
20.【解】(1)
的解集为 …………………………6 分
(2)只需 …………………………8 分
由(1)知: …………10 分
………………………12 分
21.【解】(1) , 的普通方程为 ………2 分
,∴ 的直角坐标方程为 ;……………………4 分
(2) ,为直线所过定点……………………6 分
将曲线 的参数方程 ( 为参数)代入
2 2 2| | 1 15( ) 42 4 4
AB r d∴ = − = − =
∴ | | 15AB =
A 43 32 75
B 8 17 25
51 49 100
2 2
2 ( ) 100 (43 17 8 32) 4.815( )( )( )( ) 75 25 51 49
n ad bcK a b c d a c b d
− × × − ×= = ≈+ + + + × × ×
4.815 3.841>
∴ 95%
2 2, 1
( ) 0, 1 1
2 2, 1
x x
f x x
x x
− − ≤ −
= − < <
− ≥
∴ ( ) 1f x ≥ 3 3( , ] [ , )2 2
−∞ − +∞
2
min2 ( )a a f x− − ≤
min( ) 0f x =
2 2 0 ( 2)( 1) 0 1 2a a a a a∴ − − ≤ ⇒ − + ≤ ⇒ − ≤ ≤
2 2 03 4
x y− ++ = 1C∴ 4 3 2 0x y+ − =
2 2cos sinρ θ ρ θ= 2C 2x y=
(2, 2)P −
1C
32 5
42 5
x t
y t
= −
= − +
t 2x y=
得 ……………………8 分
, ,……………………10 分
……………………12 分
22. 【解】(1)
……………2 分
所以 与 之间具有很强的线性相关关系;……………4 分
(2) ……………6 分
……………8 分
,……………………9 分
与 的线性回归方程为 ……………………10 分
当 时, ,所以火灾损失大约为 千元.…………12 分
2 23 4 9 16(2 ) 2 6 05 5 5 5t t t t− = − + ⇒ − + =
1| | | |PA t= 2| | | |PB t=
1 2
10| | | | | | 3PA PB t t∴ ⋅ = ⋅ =
1
2 2
1 1
( )( )
( ) ( )
n
i ii
n n
i ii i
x x y y
r
x x y y
=
= =
Σ − −
=
Σ − Σ −
80.30 80.30 80.30 0.97882.1314.30 471.65 6744.60
= = = ≈
×
y x
175.403.9, 29.236x y= = ≈
∑
∑
=
=
−
−−
= n
i
i
n
i
ii
xx
yyxx
b
1
2
1
)(
))((
ˆ 80.30 5.6214.30
= =
xbya ˆˆ −= 29.23 5.62 3.9 7.31= − × =
∴ y x 5.62 7.31y x= +
10x = 63.51y = 63.51