数学文卷·2019届陕西省咸阳市武功县普集高中高二下学期第一次月考（2018-04） 10页

‎2017-2018学年度普集高中文科数学第一次月考试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．下列两变量中具有相关关系的是(　　)‎ A．正方体的体积与边长 B．人的身高与体重 C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间 D．球的半径与体积 ‎【解析】　选项A中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系；选项C中匀速行驶车辆的行驶距离与时间成正比，也是函数关系；选项D中球的体积是π与半径的立方相乘，有固定函数关系．只有选项B中人的身高与体重具有相关关系．‎ ‎【答案】　B ‎2、对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图111①，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图111②.由这两个散点图可以判断(　　)‎ 图111‎ A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 ‎【答案】C ‎3．(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)‎ A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 ‎【答案】A ‎4．如图1是一结构图，在处应填入(　　)‎ A．图像变换 B．奇偶性 C．对称性 D．解析式 ‎【解析】　函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，故选B．‎ ‎【答案】　B ‎5．执行如图3所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝(　　)‎ 图3‎ A．　　　B． C．　　　D． ‎【解析】　第一次循环：S＝，i＝2；‎ 第二次循环：S＝＋， i＝3；‎ 第三次循环：S＝＋＋，i＝4，满足循环条件，结束循环．‎ 故输出S＝＋＋ ‎＝＝，故选B．‎ ‎【答案】　B ‎6．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是(　　)‎ A．　　　　 B． C． D． ‎【解析】　一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．‎ 记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个是女孩”，则A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB＝{(女，女)}．‎ 于是可知P(A)＝，P(AB)＝.问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求 P(B|A)，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝.‎ ‎【答案】　D ‎7．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于(　　)‎ A．　　 B．　　 C．　　 D． ‎【解析】　由P(B|A)＝，得P(AB)‎ ‎＝P(B|A)·P(A)＝×＝.‎ ‎【答案】　C ‎8、观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，由此可归纳出的式子为(　　)‎ A．1＋＋＋…＋< B．1＋＋＋…＋< C．1＋＋＋…＋< D．1＋＋＋…＋< ‎【答案】C ‎9．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形面积公式为(　　)‎ A.　　　 B． C. D．无法确定 ‎【答案】C ‎10．执行如图6所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于(　　) ‎ ‎ 图10‎ A．[－6，－2] B．[－5，－1] C．[－4,5] D．[－3,6]‎ ‎【解析】　由程序框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈[－3，－1]；当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后10，则lg ≥；‎ ‎(2)＋>2＋2.‎ ‎【证明】　(1)当a，b>0时，有≥，‎ ‎∴lg≥lg，‎ ‎∴lg ≥lg ab＝.‎ ‎(2)要证＋>2＋2，‎ 只要证(＋)2>(2＋2)2，‎ 即2>2，这是显然成立的，‎ 所以，原不等式成立．‎ 步骤)‎ ‎18.一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A，事件“第二次抽到黑球”为B．‎ ‎(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；‎ ‎(2)求P(B|A)．‎ ‎【精彩点拨】　解答本题可先求P(A)，P(B)，P(AB)，再用公式P(B|A)＝求概率．‎ ‎【自主解答】　由古典概型的概率公式可知：‎ ‎(1)P(A)＝，‎ P(B)＝＝＝，‎ P(AB)＝＝.‎ ‎(2)P(B|A)＝＝＝.‎ ‎19、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： ‎ ‎(1)都抽到某一指定号码；‎ ‎(2)恰有一次抽到某一指定号码；‎ ‎(3)至少有一次抽到某一指定号码．‎ ‎【精彩点拨】　→‎ → ‎【自主解答】　设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．‎ ‎(1)由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.002 5.‎ ‎(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)＋(B)表示．由于事件A与B互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为 P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)‎ ‎＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095.‎ 即恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095.‎ ‎(3)法一　“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB)＋(A)＋(B)表示．由于事件A B，A和B两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为 P(AB)＋P(A)＋P(B)＝0.002 5＋0.095＝0.097 5.‎ 法二　1－P( )＝1－(1－0.05)2＝0.097 5.‎ 即至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5.‎ ‎20．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，提到如下数据：‎ 单价 x(元)‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量 y(件)‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b；‎ ‎(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)‎ ‎【解】　(1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.‎ 所以a＝－b＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y＝－20x＋250.‎ ‎(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)‎ ‎＝－20x2＋330x－1 000‎ ‎＝－202＋361.25.‎ 当且仅当x＝8.25时，l取得最大值．‎ 故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．‎ ‎21．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到下表数据：‎ x ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎(1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；‎ ‎(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；‎ ‎(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力.‎ ‎【解】　(1)如图：‎ ‎(2)xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，‎ ＝＝9，‎ ＝＝4，‎ x＝62＋82＋102＋122＝344，‎ b＝＝＝0.7，‎ a＝－b＝4－0.7×9＝－2.3，‎ 故线性回归方程为y＝0.7x－2.3.‎ ‎(3)由(2)中线性回归方程知当x＝9时，y＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.‎ ‎22．(本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图2：‎ 图2‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．‎ ‎(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 总计 男 女 总计 ‎(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．‎ 附：χ2＝，‎ P(χ2≥k)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【解】　(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：‎ 非体育迷 体育迷 总计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 χ2＝ ‎＝＝≈3.030.因为3.030>2.706，所以我们至少有90%的把握认为“体育迷”与性别有关．‎ ‎(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.‎ Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2 人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝.‎