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- 2021-06-23 发布
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1.2 定积分
明目标、知重点
1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．
2．理解定积分的几何意义．
3．掌握定积分的基本性质．
1．定积分的定义
一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，将[a，b]区间分成n份．分点为a＝x00，f(ξi)≤0，故
f(ξi)≤0.从而定积分ʃf(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃf(x)dx＝－S.
当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分ʃf(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图像及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即
ʃf(x)dx＝－S1＋S2－S3.
例1 用定积分的几何意义求：
(1)(3x＋2)dx；
(2)
(3) (|x＋1|＋|x－1|－4)dx；
(4)dx(b>a)．
解 (1)如图1阴影部分面积为＝，
从而(3x＋2)dx＝.
(2)如图2，由于A的面积等于B的面积，
从而＝0.
(3)令f(x)＝|x＋1|＋|x－1|－4，作出f(x)在区间[－3,3]上的图像，如图3所示，易知定积分f(x)dx表示的就是图中阴影部分的面积的代数和．
∵阴影部分的面积S1＝S3＝1，S2＝6，
∴ (|x＋1|＋|x－1|－4)dx＝1＋1－6＝－4.
(4)令y＝f(x)＝，则有(x－)2＋y2＝()2(y≥0)，f(x)表示以(，0)为圆心，半径为的上半圆，而这个上半圆的面积为S＝πr2＝()2＝，
由定积分的几何意义可知dx＝.
反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图像，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图像常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．
跟踪训练1 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：
(1)ʃxdx；(2)ʃcos xdx；(3)ʃ|x|dx.
解 (1)如图(1)，ʃxdx＝－A1＋A1＝0.
(2)如图(2)，ʃcos xdx＝A1－A2＋A3＝0.
(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴ʃ|x|dx＝2A1＝2×＝1.
(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)
探究点三 定积分的性质
思考1 定积分的性质可做哪些推广？
答 定积分的性质的推广
①ʃ[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx±…±ʃfn(x)dx；
②ʃf(x)dx＝ʃc1af(x)dx＋ʃc2c1f(x)dx＋…＋ʃbcnf(x)dx(其中n∈N＋)．
思考2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？
答 奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分
①若奇函数y＝f(x)的图像在[－a，a]上连续不断，则ʃf(x)dx＝0.
②若偶函数y＝g(x)的图像在[－a，a]上连续不断，则ʃg(x)dx＝2ʃg(x)dx.
例2 计算ʃ(－x3)dx的值．
解 如图，
由定积分的几何意义得ʃdx＝＝，
ʃx3dx＝0，由定积分性质得
ʃ(－x3)dx＝ʃdx－ʃx3dx＝.
反思与感悟 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．
跟踪训练2 已知ʃx3dx＝，ʃx3dx＝，ʃx2dx＝，ʃx2dx＝，求：
(1)ʃ3x3dx；(2)ʃ6x2dx；(3)ʃ(3x2－2x3)dx.
解 (1)ʃ3x3dx＝3ʃx3dx＝3(ʃx3dx＋ʃx3dx)
＝3×(＋)＝12；
(2)ʃ6x2dx＝6ʃx2dx＝6(ʃx2dx＋ʃx2dx)
＝6×(＋)＝126；
(3)ʃ(3x2－2x3)dx＝ʃ3x2dx－ʃ2x3dx
＝3ʃx2dx－2ʃx3dx＝3×－2×＝7－＝－.
1．定积分ʃf(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
答案 A
2．定积分ʃexdx的几何意义是______________________．
答案 由直线x＝1，x＝3，y＝0和曲线f(x)＝ex围成的图形的面积
3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：
①ʃxdx________ʃx2dx；
②ʃdx________ʃ2dx.
答案 ①> ②<
4．ʃdx＝________.
答案
解析 根据定积分的几何意义，ʃdx表示x2＋y2＝1(y≥0)与x轴围成的面积的一半，所以ʃdx＝.
[呈重点、现规律]
1．定积分ʃf(x)dx是一个确定的常数，和积分变量无关．
2．当f(x)≥0时ʃf(x)dx表示由曲线y＝f(x)、直线x＝a、x＝b与x轴围成的曲边梯形的面积，可以利用定积分的这种几何意义求定积分．
3．定积分的性质可以帮助简化定积分运算．
一、基础过关
1．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则ʃf(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则ʃf(x)dx>0
D．若f(x) 在[a，b]上连续且ʃf(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正
答案 D
解析 对于A，f(－x)＝－f(x)，ʃf(x)dx
＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx＝－ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx＝0，同理B正确；由定积分的几何意义知，当f(x)>0时，ʃf(x)dx>0即C正确；但ʃf(x)dx>0，不一定有f(x)恒正，故选D.
2．已知定积分ʃf(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则ʃf(x)dx等于( )
A．0 B．16
C．12 D．8
答案 B
解析 偶函数图像关于y轴对称，
故ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx＝16，故选B.
3．已知ʃxdx＝2，则ʃxdx等于( )
A．0 B．2
C．－1 D．－2
答案 D
解析 ∵f(x)＝x在[－t，t]上是奇函数，
∴ʃxdx＝0.而ʃxdx＝ʃxdx＋ʃxdx，
又ʃxdx＝2，∴ʃxdx＝－2.故选D.
4．由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )
A．ʃ(x2－4)dx
B.
C．ʃ|x2－4|dx
D．ʃ(x2－4)dx＋ʃ(x2－4)dx
答案 C
5．由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S＝________.
答案 －ʃsin xdx
解析 由定积分的意义知，由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0围成图形的面积为S＝－ʃsin xdx.
6．计算定积分ʃdx＝________.
答案 π
解析 由于ʃdx＝2ʃdx表示单位圆的面积π，所以ʃdx＝π.
7．已知s求下列定积分：
(1)ʃsin xdx；(2)
解 (1)
(2)
二、能力提升
8．与定积分相等的是( )
A．
B．
C．
D．
答案 C
解析 当x∈(0，π]时，sin x≥0；
当x∈(π，]时，sin x<0.
∴由定积分的性质可得
9．若ʃ|56x|dx≤2 016，则正数a的最大值为( )
A．6 B．56 C．36 D．2 016
答案 A
解析 由ʃ|56x|dx＝56ʃ|x|dx≤2 016，
得ʃ|x|dx≤36，∴ʃ|x|dx＝2ʃxdx＝a2≤36，
即0
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