2019高三数学理北师大版一轮单元评估检测6　第6章　不等式、推理与证明 9页

单元评估检测(六)　第6章　不等式、推理与证明 ‎(120分钟　150分)‎ ‎(对应学生用书第274页)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)‎ A.≥ B．＋≤1‎ C.≥2 D．≤ ‎[答案]　D ‎2．若集合A＝{x|x2－7x＋10＜0}，集合B＝，则A∩B＝(　　)‎ A．(－1,3) B．(－1,5) C．(2,5) D．(2,3)‎ ‎[答案]　D ‎3．已知a，b，x，y都是正实数，且＋＝1，x2＋y2＝8，则ab与xy的大小关系为(　　)‎ A．ab＞xy B．ab≥xy C．ab＜xy D．ab≤xy ‎[答案]　B ‎4．不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值是(　　) ‎ ‎【导学号：79140422】‎ A．10 B．－10 C．14 D．－14‎ ‎[答案]　D ‎5．(2018·济宁模拟)在坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为(　　)‎ A．2 B． C. D．2‎ ‎[答案]　B ‎6．若－1＜a＜0，则关于x的不等式(x－a)·＞0的解集是(　　)‎ A．{x|x＞a} B． C． D． ‎[答案]　C ‎7．已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N＋)，则am＋n＝.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn＞0，n∈N＋)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N＋)，则可以得到bm＋n＝(　　)‎ A．(n－m)(nd－mc) B．(nd－mc)n－m C. D． ‎[答案]　C ‎8．已知函数f(x)＝，则函数f(x)的最大值为(　　)‎ A. B． C．1 D． ‎[答案]　C ‎9．(2017·临汾模拟)若实数x，y满足不等式组则ω＝的取值范围是(　　)‎ A. B． C． D． ‎[答案]　D ‎10．当x＞0时，≥，在用分析法证明该不等式时执果索因，最后索的因是(　　)‎ A．x＞0 B．x2≥0‎ C．(x－1)2≥0 D．(x＋1)2≥0‎ ‎[答案]　C ‎11．已知实数x，y满足x＞y＞0且x＋y＝，则＋的最小值为(　　) ‎ ‎【导学号：79140423】‎ A．1 B．2 ‎ C．6＋4 D．8＋4 ‎[答案]　C ‎12．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是(　　)‎ A．3 B．4 ‎ C．5 D．6‎ ‎[答案]　B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知a＞b＞0，则a，b，，四个数中最大的一个是________．‎ ‎[答案]　a ‎14．已知a>0，b>0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．‎ ‎[答案]　4‎ ‎15．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．‎ ‎[答案]　30　(n＋1)(n－2)‎ ‎16．已知A(－1,0)，B(0，－1)，C(a，b)三点共线，若a＞－1，b＞－1，则＋的最小值为________．‎ ‎[答案]　4‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n.‎ ‎(1)证明{an}是等差数列；‎ ‎(2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，试证明Tn＜.‎ ‎[证明]　(1)因为Sn＝2n2－n.‎ 所以a1＝S1＝1.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－2(n－1)2＋(n－1)＝4n－3.‎ 对n＝1也成立，所以an＝4n－3.‎ an＋1－an＝4(n＋1)－3－4n＋3＝4，是常数．‎ 所以数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)得bn＝ ‎＝ 所以Tn＝＋＋＋…＋ ‎＝＜.‎ ‎18．(本小题满分12分)如图61，在四棱锥PABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AB的中点．‎ 图61‎ 求证：(1)直线EF∥平面PBC；‎ ‎(2)平面DEF⊥平面PAB.‎ ‎[解]　略 ‎19．(本小题满分12分)已知f(x)＝x2＋ax＋b.‎ ‎(1)求f(1)＋f(3)－2f(2)；‎ ‎(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于. ‎ ‎【导学号：79140424】‎ ‎[解]　(1)因为f(1)＝a＋b＋1，f(2)＝2a＋b＋4，f(3)＝3a＋b＋9，所以f(1)＋f(3)－2f(2)＝2.‎ ‎(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则－＜f(1)＜，－＜f(2)＜，－＜f(3)＜.‎ 所以－1＜－2f(2)＜1，－1＜f(1)＋f(3)＜1，‎ 所以－2＜f(1)＋f(3)－2f(2)＜2，‎ 这与f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾，‎ 所以假设错误，即所证结论成立．‎ ‎20．(本小题满分12分)已知变量x，y满足条件z＝2x＋y.设z的最大值、最小值分别为M，m.‎ ‎(1)若a＞0，b＞0，且＋＝m，试求12a＋36b＋5的最小值；‎ ‎(2)若m≤a＋b≤M，试求a2＋b2的最小值．‎ ‎[解]　(1)21＋8　(2) ‎21．(本小题满分12分)据市场分析，某绿色蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．‎ ‎(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数解析式；‎ ‎(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润；‎ ‎(3)若x∈[10，c](10＜c≤25)，当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？‎ ‎[解]　(1)由题意，设y＝a(x－15)2＋17.5(a＞0)，‎ 把x＝10，y＝20代入，得25a＝20－17.5，a＝，所以y＝(x－15)2＋17.5‎ ‎＝x2－3x＋40，x∈[10,25]．‎ ‎(2)设月利润为g(x)，则 g(x)＝1.6x－ ‎＝－(x2－46x＋400)‎ ‎＝－(x－23)2＋12.9，‎ 因为x∈[10,25]，所以当x＝23时，g(x)max＝12.9.‎ 即当月产量为23吨时，可获最大利润．‎ ‎(3)每吨平均成本为 ＝x＋－3≥2－3＝1.‎ 当且仅当＝，即x＝20时“＝”成立．‎ 因为x∈[10，c]，10＜c≤25，‎ 所以①当20≤c≤25时，x＝20时，每吨平均成本最低，最低为1万元．‎ ‎②当10＜c＜20时，＝x＋－3在[10，c]上单调递减，‎ 所以当x＝c时，min＝＋－3.‎ 故当20≤c≤25时，月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低为1万元；‎ 当10＜c＜20时，月产量为c吨时，每吨平均成本最低，最低为万元．‎ ‎22．(本小题满分12分)在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)．‎ ‎(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；‎ ‎(2)证明：＋＋…＋＜. ‎ ‎【导学号：79140425】‎ ‎[解]　(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，‎ 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25，猜测an＝n(n＋1)(n∈N＋)，‎ bn＝(n＋1)2(n∈N＋)．‎ 用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，由上可得结论成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，‎ 那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝＝(k＋2)2，‎ 所以当n＝k＋1时，结论也成立．‎ 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．‎ ‎(2)①当n＝1时，＝＜.‎ ‎②当n≥2时，由(1)知an＋bn＝n(n＋1)＋(n＋1)2＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.‎ 所以＜，‎ 故＋＋…＋ ‎＜＋ ‎＝＋－＋－＋…＋－ ‎＝＋＜＋＝.‎ 由①②可知原不等式成立．‎