数学文卷·2018届辽宁省实验中学等部分重点中学协作体高三模拟考试（2018 9页

‎2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试 文科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．中国古代第一部数学专著《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么（ ）‎ A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分但不必要条件 C．甲是乙的必要但不充分条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 ‎5．若实数满足，则的最大值为（ ）‎ A．-3 B．-4 C．-6 D．-8‎ ‎6．已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎7．下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．已知函数，若，的图象恒在直线的上方，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如果下面程序框图运行的结果，那么判断框中应填入（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．函数，若，，，则有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．直线与圆有公共点，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎12．已知函数，若有且仅有两个整数，使得，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取 人．‎ ‎14．已知球为正四面体的内切球，为棱的中点，，则平面截球所得截面圆的面积为 ．‎ ‎15．在中，角所对的边分别为.若，，若，则角的大小为 ．‎ ‎16．已知是双曲线的左焦点，过点倾斜角为30°的直线与的两条渐近线依次交于两点，若，则的离心率为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17． 已知等差数列满足，数列的前项和记为，且.‎ ‎（1）分别求出的通项公式；‎ ‎（2）记，求的前项和.‎ ‎18． 某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：‎ ‎（1）若关于的线性回归方程为，根据图中数据求出实数并预测2018年该地区农村居民家庭人均纯收入；‎ ‎（2）在2011年至2017年中随机选取两年，求这两年人均纯收入高于3.6千元的概率.‎ ‎19． 如图，已知四棱锥，侧面为边长等于2的正三角形，底面为菱形，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若平面底面，为线段上的点，且，求三棱锥的体积.‎ ‎20． 已知是椭圆上的一点，是该椭圆的左右焦点，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点是椭圆上与坐标原点不共线的两点，直线的斜率分别为，且.试探究是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.‎ ‎21． 已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设直线的极坐标方程为，曲线.‎ ‎（1）写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；‎ ‎（2）设点是曲线上的动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试 数学（文科）参考答案与评分标准 一、选择题 ‎1-5:CAACB 6-10:CDCAD 11、12：BB 二、填空题 ‎13．18 14． 15． 16．2‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）因为所以当时，；‎ 当时，‎ 所以，故 设，则 所以，则 所以 因此，即 ‎（Ⅱ）由（1）知即 所以 ‎ ‎ ‎18．解：（Ⅰ）由题，，‎ ‎，‎ 代入得，‎ 当时，（千元）‎ ‎（Ⅱ）记：‎ 即，‎ 记事件“这两年人均纯收入都高于千元”，则 ‎，即 则.‎ ‎19．解：（Ⅰ）取中点连接.∵，∴‎ 为菱形，，∴，∴.‎ 又，所以.所以.‎ ‎（Ⅱ）由题知.‎ 因为平面底面，则两两垂直.‎ 则.‎ 则.‎ ‎20．解：（Ⅰ）由题意，，根据椭圆定义，‎ 所以 所以，‎ 因此，椭圆 ‎ ‎（用待定系数法，列方程组求解同样给分）‎ ‎（Ⅱ）设直线，，由 消去y得 因为，所以 即，解得 ‎ ‎ 所以，‎ ‎21．解：(Ⅰ)．‎ ‎①当时，由，得，则，‎ 所以函数的单调递减区间是；‎ ‎②当时，由得，‎ 所以当时，，当时，，‎ 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．‎ 综上所述，当时，函数的单调递减区间是；‎ 当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．‎ ‎(Ⅱ)依题意，要满足对任意，均存在，使得，‎ 只需满足.‎ 因为，，所以，‎ 由(1)知，当时，函数在区间上单调递减，值域为，不符合题意；‎ 当时，，符合题意；‎ 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 所以，‎ 令，解得 综上，的取值范围是．‎ ‎22．解：（Ⅰ）由得，‎ 所以直线，‎ 由得，‎ 曲线参数方程为 （为参数）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）在上任取一点，‎ 则点到直线的距离为 ‎ 当，即时，‎ 所以，点的直角坐标为．‎ ‎23．解：（Ⅰ）当时，，‎ 原不等式等价于或或 解得或 所以，不等式的解集为 ‎（Ⅱ）证明：‎ ‎（当且仅当且时等号成立）‎