吉林省松原高中2019届高三第一次模拟考试卷 理科数学（三） 9页

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2019届高三第一次模拟考试卷 理 科 数 学（三）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2018·攀枝花统考]已知集合，，则集合（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．[2018·铜仁一中]若复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．[2018·青岛调研]如图，在正方体中，为棱的中点，用过点，，的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．[2018·鄂尔多斯期中]若，是第三象限角，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．[2018·曲靖统测]的展开式中，项的系数为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．[2018·赣州期中]已知点，，若圆上恰有两点，，‎ 使得和的面积均为5，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．[2018·东北育才]已知函数，则的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．[2018·广安二中]已知随机变量服从正态分布，且，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．[2018·三湘名校]中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：‎ 表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2263用算筹表示就是=||丄|||．执行如图所示程序框 图，若输人的，，则输出的用算筹表示为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．[2018·开封月考]已知空间四边形，，，，‎ 且平面平面，则空间四边形的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．[2018·湖南湖北联考]过双曲线的右焦点作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．[2018·湛江一中]已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2018·廊坊联考]已知向量，，且，则__________．‎ ‎14．[2018·湖北七校联盟]若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为______________．‎ ‎15．[2018·贵州质检]设的内角，，的对边分别为，，，若 ‎，且的面积为25，则周长的最小值为__________．‎ ‎16．[2018·赤峰二中]抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，‎ 且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值 为__________．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）[2018·长春实验中学]已知数列是公差为的等差数列，若，，成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，数列的前项和为，求满足成立的的最小值．‎ ‎18．（12分）[2018·开封月考]甲、乙两家外卖公司，其“骑手”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元．假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：‎ ‎（1）求乙公司的“骑手”一日工资（单位：元）与送餐单数的函数关系；‎ ‎（2）若将频率视为概率，回答以下问题：‎ ‎（i）记乙公司的“骑手”日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；‎ ‎（ii）小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．‎ ‎19．（12分）[2018·成都月考]如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形，在图①中，设平面与平面相关交于直线．‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）在图①中，线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值等于？‎ 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．（12分）[2018·雅礼中学]已知椭圆的离心率为，为左焦点，过点作轴的垂线，交椭圆于，两点，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过圆上任意一点作圆的切线交椭圆于，两点，为坐标原点，问：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．‎ ‎21．（12分）[2018·太原期中]已知函数，；‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎[2018·江师附中]在直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数，）．‎ 在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．‎ ‎（1）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）已知与的交于，两点，且过极点，求线段的长．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎[2018·肇庆统测]已知，．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意的，，恒成立，求的取值范围．‎ ‎2019届高三第一次模拟考试卷 理科数学（三）答 案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】由一元二次方程的解法化简集合，，‎ ‎∵，∴，故选B．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】∵，∴，故选B．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】取中点，连接，．平面为截面．如下图：‎ ‎∴选C．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】∵，是第三象限角，∴，‎ 则．故选D．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】由展开式的公式得到项的系数为，．‎ 系数为．故选C．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】由题意可得，‎ 根据和的面积均为5，可得两点，到直线的距离为2，‎ 由于的方程为，‎ 若圆上只有一个点到圆的距离为2，则有圆心到直线的距离，‎ 若圆上只有三个点到圆的距离为2，则有圆心到直线的距离，‎ ‎∴实数的取值范围是，故选B．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】∵，令，，‎ 当时，，单调递增，则单调递减，‎ 当时，，单调递减，则单调递增，且，故选A．‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】∵随机变量服从正态分布，∴其正态曲线关于直线对称，如图：‎ 又∵，由对称性得，‎ 从而有：，故选D．‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】第一次循环，，，；第二次循环，，，；‎ 第三次循环，，，；‎ 第四次循环，，，满足，推出循环，输出，‎ ‎∵1764对应，故选C．‎ ‎10．【答案】A ‎【解析】由余弦定理得，∴．‎ 由正弦定理得，∴，∴三角形的外接圆半径为．‎ 设外接球的球心为，半径为，球心到底面的距离为，‎ 设三角形的外接圆圆心为，的中点为，过点作，连接，，．‎ 在直角中，（1），‎ 在直角中，（2），‎ 解（1）（2）得，．∴外接球的表面积为．故选A．‎ ‎11．【答案】C ‎【解析】双曲线右焦点为，过右焦点的直线为，‎ 与双曲线方程联立消去可得到，‎ 由题意可知，当时，此方程有两个不相等的异号实根，∴，得，即；‎ 当时，此方程有两个不相等的同号实根，∴，得，；‎ 又，∴离心率的取值范围为．故选C．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】令，∵时，， ∴在递增，‎ ‎∵，∴，∴是奇函数，在递增，‎ ‎∵，∴时，，时，，‎ 根据函数的奇偶性，，时，，时，，‎ 综上所述，不等式的解集为或．故选C．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】由向量，，可得，‎ ‎∵，则，即的．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】为奇函数，则，‎ ‎∴，，∴，‎ 又，曲线在点处的切线方程为，即．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】在中，‎ 由余弦定理可得：，‎ 即，即，即，‎ ‎∴三角形的面积为，‎ 则的周长为，当时取得等号，‎ ‎∴的周长最小值为．‎ ‎16．【答案】1‎ ‎【解析】设，，由抛物线定义，得，，‎ 在梯形中，∴．‎ 由余弦定理得，，配方得，‎ 又∵，∴得到．‎ ‎∴，即的最大值为1．故答案为1．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）5．‎ ‎【解析】（1）∵，，成等比数列，∴，解得，∴．‎ ‎（2）由题可知 ‎，‎ 显然当时，，，又∵时，单调递增，‎ 故满足成立的的最小值为5．‎ ‎18．【答案】（1）；（2）（i）112元；（ii）推荐小明去甲公司应聘．‎ ‎【解析】（1）根据题意可知，乙公司每天的底薪100元，前45单无抽成，超出45单部分每单抽成6元，故日工资．‎ ‎（2）（i）根据条形图，当送单数为42，44时，，频率为．‎ 当送单数为46时，，频率为．当送单数为48时，，频率为．‎ 当送单数为50时，，频率为．‎ 故乙公司的“骑手”一日工资的分布列如表所示：‎ ‎100‎ ‎106‎ ‎118‎ ‎130‎ 数学期望（元）．‎ ‎（ii）根据条形图，甲公司的“骑手”日平均送餐单数为：‎ ‎（单），‎ ‎∴甲公司的“骑手”日平均工资为：（元）‎ 由（i）可知，乙公司的“骑手”日平均工资为112元，故推荐小明去甲公司应聘．‎ ‎19．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，的位置在线段的处．‎ ‎【解析】（1）证明：由题意，∵面，面，∴面．‎ 又面，面面，∴，‎ 由主视图可知，由侧视图可知，‎ ‎∵，∴面．∴面．‎ ‎（2）如图，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，∴，，‎ 设面的一个法向量，则由，，‎ 可得，令，则，∴，‎ 设，则，‎ ‎∴，解得或（舍），‎ 即存在点，此时的位置在线段的处（靠近点）．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）0．‎ ‎【解析】（1）∵离心率为，则．∴．‎ ‎∵，∴．∴，．则椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）当切线斜率不存在时，取切线为时，‎ 代入椭圆方程是，，或，．‎ ‎∴，同理，取切线为时，．‎ 当切线斜率存在时，设切线，则，‎ ‎∴． ①‎ 联立．‎ 设，，则，‎ ‎， ④‎ 把①②③代入④得，∴．‎ 综合以上，为定值0．‎ ‎21．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，，‎ ‎∴，‎ ‎①当时，令，得；令，得；‎ ‎②当时，令，得或；‎ ‎（i）当，即时，令，得或；‎ 令，得；‎ ‎（ii）当时，即时，则恒成立；‎ ‎（iii）当时，即时，令，得或；‎ 令，得；‎ 综上所述：当时，在上递减，在上递增；‎ 当时，在和上递减，在上递增；‎ 当时，在上递减；‎ 当时，在和上递减，在上递增．‎ ‎（2）由（1）得①当时，在上递减，∴，∴；‎ ‎②当时，‎ ‎（i）当，即时，在上递减，在上递增，‎ ‎∴，∴符合题意；‎ ‎（ii）当，即时，在上递增，‎ ‎∴，∴符合题意；‎ 综上，实数的取值范围为．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．【答案】（1）为以为圆心，以为半径的圆，；‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数，）．‎ ‎∴的普通方程为，‎ ‎∴为以为圆心，以为半径的圆，‎ 由，，，得的极坐标方程为．‎ ‎（2）解法一：∵曲线．∴，，‎ 二者相减得公共弦方程为，‎ ‎∵过极点，∴公共弦方程过原点，‎ ‎∵，∴，∴公共弦方程为，‎ 则到公共弦的距离为．∴．‎ 解法二：∵，∴与为的同解方程，‎ ‎∴，或．∴．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）法一：不等式，即．‎ 可得，或或，‎ 解得，∴不等式的解集．‎ 法二：，‎ 当且仅当即时等号成立． ‎ ‎∴不等式的解集为．‎ ‎（2）依题意可知，‎ 由（1）知，，‎ ‎∴，‎ 由的的取值范围是．‎