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- 2021-06-23 发布
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单元质检卷六 数列(B)
(时间:45分钟 满分:100分)
一、单项选择题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)
1.(2018全国1,理4)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )
A.-12 B.-10 C.10 D.12
2.(2019宁夏高三联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若1a1+1a2+1a3=2,a2=2,则S3=( )
A.8 B.7 C.6 D.4
3.(2019福建联考,12改编)在数列{an}中,a1=2,且an+an-1=nan-an-1+2(n≥2),令bn=(an-1)2,则b10=( )
A.50 B.55 C.60 D.65
4.(2019贵州遵义模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a9=12a12+6,a2=4,若数列1Sn的前k项和为1011,则k=( )
A.11 B.10 C.9 D.8
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)
5.已知数列{an}是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有( )
A.a10=0
B.S7=S12
C.S10最小
7
D.S20=0
6.在数列{an}中,若an2-an-12=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}为“等方差数列”,下列对“等方差数列”的判断正确的是( )
A.若{an}是等差数列,则{an2}是等方差数列
B.{(-1)n}是等方差数列
C.若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列
D.若{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列
三、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)
7.(2019浙江温州中学模拟)已知等比数列{an}的前n项和Sn=3n+r,则a3-r= .
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),若a1=3,a5=-11,则a3= ,S5= .
四、解答题(本大题共3小题,共44分)
9.(14分)(2019湖北八校联考一,17)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=2+Sn对一切正整数n恒成立.
(1)求a1和数列{an}的通项公式;
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
7
10.(15分)(2019安徽宣城八校联考)已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an2(n∈N*).
(1)证明:数列{1+log2an}为等比数列;
(2)设bn=n1+log2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
7
11.(15分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=1-14an,其中n∈N*.
(1)设bn=22an-1,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式;
(2)设cn=4ann+1,数列{cncn+2}的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn<1cmcm+1对于n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.
参考答案
单元质检卷六 数列(B)
1.B 因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.
2.A 因为等比数列{an}的前n项和为Sn,且1a1+1a2+1a3=2,a2=2,
则1a1+1a2+1a3=a1+a3a1a3+1a2=a1+a2+a3a22=S34=2,则S3=8.故选A.
3.B ∵an+an-1=nan-an-1+2(n≥2),
7
∴an2-an-12-2(an-an-1)=n,
整理得(an-1)2-(an-1-1)2=n,
由累加法得(an-1)2-(a1-1)2=n+(n-1)+…+2,又a1=2,
∴bn=(an-1)2=n(n+1)2,可得b10=55.故选B.
4.B 设等差数列{an}的公差为d,则a1+8d=12(a1+11d)+6,a1+d=4,解得a1=2,d=2.
∴Sn=2n+n(n-1)2×2=n2+n,
∴1Sn=1n(n+1)=1n-1n+1,
∴1S1+1S2+…+1Sk=1-12+12-13+…+1k-1k+1=1-1k+1=1011,解得k=10.故选B.
5.AB 因为{an}是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即选项A正确;
又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即选项B正确;
当d>0时,则S9或S10最小,当d<0时,则S9或S10最大,即选项C错误;
又S19=19a10=0,a20≠0,所以S20≠0,即选项D错误.故选AB.
6.BCD 对于A选项,取an=n,则an+14-an4=(n+1)4-n4=[(n+1)2-n2]·[(n+1)2+n2]=(2n+1)(2n2+2n+1)不是常数,则{an2}不是等方差数列,故A错误;
对于B选项,[(-1)n+1]2-[(-1)n]2=1-1=0为常数,则{(-1)n}是等方差数列,故B正确;
对于C选项,若{an}是等方差数列,则存在常数p∈R,使得an+12-an2=p,则数列{an2}为等差数列,所以ak(n+1)2-akn2=kp,则数列{akn}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列,故C正确;
7
对于D选项,若数列{an}为等差数列,设其公差为d,则存在m∈R,使得an=dn+m,则an+12-an2=(an+1-an)(an+1+an)=d(2dn+2m+d)=2d2n+(2m+d)d,
由于数列{an}也为等方差数列,所以,存在实数p,使得an+12-an2=p,
则2d2n+(2m+d)d=p,对任意的n∈N*恒成立,则2d2=0,(2m+d)d=p,
得p=d=0,
此时,数列{an}为常数列,故D正确,故选BCD.
7.19 等比数列前n项和公式具有特征Sn=aqn-a,据此可知,r=-1,
则Sn=3n-1,a3=S3-S2=(33-1)-(32-1)=18,a3-r=19.
8.-4 -20 依题意,a3=a1+a52=3-112=-4;
S5=a1+a52×5=5a3=5×(-4)=-20.
9.解(1)当n≥2时,an=2+Sn-1,与an+1=2+Sn相减得an+1=2an(n≥2).∴数列{an}是公比q=2的等比数列,a2=2a1,
又∵a2=2+S1=2+a1,∴a1=2,
∴an=2n.
(2)由an+1=2+Sn得Sn=2n+1-2,
∴Tn=(22+23+…+2n+1)-2n=22(1-2n)1-2-2n=2n+2-2n-4.
10.(1)证明由an+1=2an2,两边取以2为底的对数,得log2an+1=1+2log2an,
则log2an+1+1=2(log2an+1),所以{1+log2an}为首项为2,公比为2的等比数列.且log2an+1=(log2a1+1)×2n-1=2n.
7
(2)解由(1)得bn=n2n.因为Sn为数列{bn}的前n项和,所以Sn=12+222+…+n2n,
则12Sn=122+223+…+n2n+1.
两式相减得12Sn=12+122+…+12n-n2n+1=12(1-12n)1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1,所以Sn=2-n+22n.
11.(1)证明∵bn+1-bn=22an+1-1-22an-1=22(1-14an)-1-22an-1=4an2an-1-22an-1=2(常数),∴数列{bn}是等差数列.∵a1=1,∴b1=2,因此bn=2+(n-1)×2=2n,由bn=22an-1得an=n+12n.
(2)解存在.由cn=4ann+1,an=n+12n得cn=2n,∴cncn+2=4n(n+2)=21n-1n+2,∴Tn=21-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2=21+12-1n+1-1n+2<3,
依题意要使Tn<1cmcm+1对于n∈N*恒成立,只需1cmcm+1≥3,即m(m+1)4≥3,
解得m≥3或m≤-4,又m为正整数,∴m的最小值为3.
7