高中数学选修2-2教案第一章 习题课2 10页

习题课　数学归纳法 明目标、知重点 ‎1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．‎ ‎2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．‎ ‎1．归纳法 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．‎ ‎2．数学归纳法 ‎(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n有关的数学命题；‎ ‎(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；‎ ‎(3)注意点：在第二步归纳递推时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设．‎ 题型一　利用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n＝k到n＝k＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n＝k＋1时的结论．‎ 例1　已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，求证：对任意的n∈N＋，不等式··…·>都成立．‎ 证明　由bn＝2n，得＝，‎ 所以··…·＝···…·.‎ 下面用数学归纳法证明不等式··…·＝···…·>成立．‎ ‎(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，因为>，所以不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时不等式成立，‎ 即··…·＝···…·>成立．‎ 则当n＝k＋1时，左边＝··…··＝···…·· ‎> ·＝ ＝ ‎> ＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 所以当n＝k＋1时，‎ 不等式也成立．‎ 由(1)、(2)可得不等式··…·＝···…·>对任意的n∈N＋都成立．‎ 反思与感悟　用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．‎ 跟踪训练1　用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N＋)．‎ 证明　(1)当n＝2时，左式＝＝，右式＝1－＝，‎ 因为<，所以不等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立，‎ 即＋＋＋…＋<1－成立，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ＋＋＋…＋＋<1－＋ ‎＝1－＝1－<1－ ‎＝1－，‎ 所以当n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 由(1)(2)可得，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．‎ 题型二　利用数学归纳法证明整除问题 例2　求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N＋.‎ 证明　(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，‎ 命题显然成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则 当n＝k＋1时，‎ ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1‎ ‎＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1‎ ‎＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)·(a＋1)2k－1.‎ 由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，‎ 故n＝k＋1时命题成立．‎ 由(1)(2)知，对任意n∈N＋，命题成立．‎ 反思与感悟　证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．‎ 跟踪训练2　证明：x2n－1＋y2n－1(n∈N＋)能被x＋y整除．‎ 证明　(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，‎ 即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．‎ 那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1‎ ‎＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2‎ ‎＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1‎ ‎＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．‎ ‎∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，‎ y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，‎ ‎∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．‎ 由(1)，(2)可知原命题成立．‎ 题型三　利用数学归纳法证明几何问题 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧．‎ 例3　平面内有n(n∈N＋，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝.‎ 证明　(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，‎ 又f(2)＝×2×(2－1)＝1，‎ ‎∴当n＝2时，命题成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k∈N＋，n≥2)时，命题成立，‎ 即平面内满足题设的任何k条直线交点个数 f(k)＝k(k－1)，‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ 任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为 f(k)＝k(k－1)，‎ l与其他k条直线交点个数为k，‎ 从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，‎ 即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k ‎＝k(k－1＋2)‎ ‎＝k(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－1]，‎ ‎∴当n＝k＋1时，命题成立．‎ 由(1)(2)可知，对任意n(n∈N＋，n≥2)命题都成立．‎ 反思与感悟　用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．‎ 跟踪训练3　有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．‎ 证明　(1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；‎ ‎(2)假设n＝k(k∈N＋)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分；‎ 那么当n＝k＋1时，依题意，‎ 第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域．‎ 所以f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k ‎＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，‎ 即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．‎ ‎[呈重点、现规律]‎ ‎1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．‎ ‎2．证明问题的初始值n0是不确定的，可根据题目要求和问题实际确定n0.‎ ‎3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设．‎ 一、基础过关 ‎1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式(　　)‎ A．1＋<2 B．1＋＋<2‎ C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3‎ 答案　B 解析　∵n>1且n∈N＋，∴n取的第一个值n0＝2.∴第一步应验证：1＋＋<2，选B.‎ ‎2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)‎ A．2 B．3 C．5 D．6‎ 答案　C 解析　当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.‎ ‎3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是(　　)‎ A．2k－1项 B．2k＋1项 C．2k项 D．以上都不对 答案　C 解析　观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，‎ f(2k)＝1＋＋…＋，‎ 而f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋＋＋…＋.‎ 因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．‎ ‎4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是(　　)‎ A．增加了一项 B．增加了两项和 C．增加了B中的两项，但又减少了一项 D．增加了A中的一项，但又减少了一项 答案　C 解析　当n＝k时，不等式左边为＋＋…＋，‎ 当n＝k＋1时，不等式左边为＋＋…＋＋＋，故选C.‎ ‎5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)‎ A．(k＋3)3 B．(k＋2)3‎ C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3‎ 答案　A 解析　假设当n＝k时，原式能被9整除，‎ 即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．‎ 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．‎ ‎6．k(k≥3，k∈N＋)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为______________．‎ 答案　f(k)＋k－1‎ 解析　三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有5个对角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有9个对角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．‎ ‎7．已知正数数列{an}(n∈N＋)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋，用数学归纳法证明：an＝－.‎ 证明　(1)当n＝1时，a1＝S1＝(a1＋)，‎ ‎∴a＝1(an>0)，‎ ‎∴a1＝1，又－＝1，∴n＝1时，结论成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k∈N＋)时，结论成立，即ak＝－.‎ 当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk ‎＝(ak＋1＋)－(ak＋)‎ ‎＝(ak＋1＋)－(－＋)‎ ‎＝(ak＋1＋)－.‎ ‎∴a＋2ak＋1－1＝0，‎ 解得ak＋1＝－(an>0)，‎ ‎∴n＝k＋1时，结论成立．‎ 由(1)(2)可知，对n∈N＋都有an＝－.‎ 二、能力提升 ‎8．对于不等式≤n＋1 (n∈N＋)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．‎ ‎②假设n＝k (n∈N＋)时，不等式成立，即≤k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(　　)‎ A．过程全部正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 答案　D 解析　从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．‎ ‎9．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，在第二步证明从n＝k到n＝k＋1不等式成立时，左边增加的项数为________．‎ 答案　2k 解析　项数为2k＋1－2k＝2k.‎ ‎10．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N＋)．‎ 证明　(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，62k－1＋1能被7整除．‎ 那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1‎ ‎＝36×(62k－1＋1)－35.‎ ‎∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，‎ ‎∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．‎ 由(1)，(2)知命题成立．‎ ‎11．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)．‎ 证明　(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，‎ 不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，‎ 即＋＋…＋>.‎ 则当n＝k＋1时，‎ ＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋(＋＋－)>＋(＋＋－)>＋(3×－)＝，‎ 所以当n＝k＋1时不等式也成立．‎ 由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立．‎ ‎12．已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．‎ 解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.‎ ‎∴Sn＝－(n≥2)．‎ 则有S1＝a1＝－，‎ S2＝－＝－，‎ S3＝－＝－，‎ S4＝－＝－，‎ 由此猜想：Sn＝－(n∈N＋)．‎ 用数学归纳法证明：‎ ‎(1)当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k∈N＋)时猜想成立，‎ 即Sk＝－成立，‎ 那么n＝k＋1时，Sk＋1＝－ ‎＝－ ‎＝－＝－.‎ 即n＝k＋1时猜想成立．‎ 由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想均成立．‎ 三、探究与拓展 ‎13．已知递增等差数列{an}满足：a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若不等式(1－)·(1－)·…·(1－)≤对任意n∈N＋恒成立，试猜想出实数m的最小值，并证明．‎ 解　(1)设数列{an}公差为d(d>0)，‎ 由题意可知a1·a4＝a，即1(1＋3d)＝(1＋d)2，‎ 解得d＝1或d＝0(舍去)．所以an＝1＋(n－1)·1＝n.‎ ‎(2)不等式等价于···…·≤，‎ 当n＝1时，m≥；当n＝2时，m≥；‎ 而>，所以猜想m的最小值为.‎ 下面证不等式···…·≤对任意n∈N＋恒成立．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎(1)当n＝1时，≤＝，命题成立．‎ ‎(2)假设当n＝k时，不等式···…·≤成立，‎ 当n＝k＋1时，···…··≤·，‎ 只要证·≤ ，‎ 只要证≤，‎ 只要证≤2k＋2，‎ 只要证4k2＋8k＋3≤4k2＋8k＋4，只要证3≤4，显然成立．‎ 所以，对任意n∈N＋，不等式···…·≤恒成立．‎