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  • 2021-06-23 发布

高中数学选修2-2教案第一章 习题课2

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习题课 数学归纳法 明目标、知重点 ‎1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤,掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题.‎ ‎2.掌握证明n=k+1成立的常见变形技巧:提公因式、添项、拆项、合并项、配方等.‎ ‎1.归纳法 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,分完全归纳法和不完全归纳法两种,而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性,必须用数学归纳法进行严格证明.‎ ‎2.数学归纳法 ‎(1)应用范围:作为一种证明方法,用于证明一些与正整数n有关的数学命题;‎ ‎(2)基本要求:它的证明过程必须是两步,最后还有结论,缺一不可;‎ ‎(3)注意点:在第二步归纳递推时,从n=k到n=k+1必须用上归纳假设.‎ 题型一 利用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明不等式,首先要清楚由n=k到n=k+1时不等式两边项的变化;其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法,利用归纳假设证明n=k+1时的结论.‎ 例1 已知数列{bn}的通项公式为bn=2n,求证:对任意的n∈N+,不等式··…·>都成立.‎ 证明 由bn=2n,得=,‎ 所以··…·=···…·.‎ 下面用数学归纳法证明不等式··…·=···…·>成立.‎ ‎(1)当n=1时,左边=,右边=,因为>,所以不等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时不等式成立,‎ 即··…·=···…·>成立.‎ 则当n=k+1时,左边=··…··=···…·· ‎> ·= = ‎> = ‎= ‎==.‎ 所以当n=k+1时,‎ 不等式也成立.‎ 由(1)、(2)可得不等式··…·=···…·>对任意的n∈N+都成立.‎ 反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑:一凑归纳假设;二凑证明目标.在凑证明目标时,比较法、综合法、分析法都可选用.‎ 跟踪训练1 用数学归纳法证明+++…+<1-(n≥2,n∈N+).‎ 证明 (1)当n=2时,左式==,右式=1-=,‎ 因为<,所以不等式成立.‎ ‎(2)假设n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式成立,‎ 即+++…+<1-成立,‎ 则当n=k+1时,‎ +++…++<1-+ ‎=1-=1-<1- ‎=1-,‎ 所以当n=k+1时,不等式也成立.‎ 由(1)(2)可得,对任意n≥2的正整数,不等式都成立.‎ 题型二 利用数学归纳法证明整除问题 例2 求证:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,n∈N+.‎ 证明 (1)当n=1时,a1+1+(a+1)2×1-1=a2+a+1,‎ 命题显然成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k∈N+)时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,则 当n=k+1时,‎ ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2·(a+1)2k-1‎ ‎=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a+1)2·(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1‎ ‎=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)·(a+1)2k-1.‎ 由归纳假设,上式中的两项均能被a2+a+1整除,‎ 故n=k+1时命题成立.‎ 由(1)(2)知,对任意n∈N+,命题成立.‎ 反思与感悟 证明整除性问题的关键是“凑项”,先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,凑成n=k时的情形,再利用归纳假设使问题获证.‎ 跟踪训练2 证明:x2n-1+y2n-1(n∈N+)能被x+y整除.‎ 证明 (1)当n=1时,x2n-1+y2n-1=x+y,能被x+y整除.‎ ‎(2)假设当n=k(k∈N+)时,命题成立,‎ 即x2k-1+y2k-1能被x+y整除.‎ 那么当n=k+1时,x2(k+1)-1+y2(k+1)-1‎ ‎=x2k+1+y2k+1=x2k-1+2+y2k-1+2‎ ‎=x2·x2k-1+y2·y2k-1+x2·y2k-1-x2·y2k-1‎ ‎=x2(x2k-1+y2k-1)+y2k-1(y2-x2).‎ ‎∵x2k-1+y2k-1能被x+y整除,‎ y2-x2=(y+x)(y-x)也能被x+y整除,‎ ‎∴当n=k+1时,x2(k+1)-1+y2(k+1)-1能被x+y整除.‎ 由(1),(2)可知原命题成立.‎ 题型三 利用数学归纳法证明几何问题 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k个变成k+1个时,所证的几何量将增加多少,还需用到几何知识或借助于几何图形来分析,实在分析不出来的情况下,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可,这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧.‎ 例3 平面内有n(n∈N+,n≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明:交点的个数f(n)=.‎ 证明 (1)当n=2时,两条直线的交点只有一个,‎ 又f(2)=×2×(2-1)=1,‎ ‎∴当n=2时,命题成立.‎ ‎(2)假设n=k(k∈N+,n≥2)时,命题成立,‎ 即平面内满足题设的任何k条直线交点个数 f(k)=k(k-1),‎ 那么,当n=k+1时,‎ 任取一条直线l,除l以外其他k条直线交点个数为 f(k)=k(k-1),‎ l与其他k条直线交点个数为k,‎ 从而k+1条直线共有f(k)+k个交点,‎ 即f(k+1)=f(k)+k=k(k-1)+k ‎=k(k-1+2)‎ ‎=k(k+1)=(k+1)[(k+1)-1],‎ ‎∴当n=k+1时,命题成立.‎ 由(1)(2)可知,对任意n(n∈N+,n≥2)命题都成立.‎ 反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题时,一要注意数形结合,二要注意有必要的文字说明.‎ 跟踪训练3 有n个圆,其中每两个圆相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2部分.‎ 证明 (1)n=1时,分为2块,f(1)=2,命题成立;‎ ‎(2)假设n=k(k∈N+)时,被分成f(k)=k2-k+2部分;‎ 那么当n=k+1时,依题意,‎ 第k+1个圆与前k个圆产生2k个交点,第k+1个圆被截为2k段弧,每段弧把所经过的区域分为两部分,所以平面上净增加了2k个区域.‎ 所以f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k ‎=(k+1)2-(k+1)+2,‎ 即n=k+1时命题成立,由(1)(2)知命题成立.‎ ‎[呈重点、现规律]‎ ‎1.数学归纳法证明与正整数有关的命题,包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等.‎ ‎2.证明问题的初始值n0是不确定的,可根据题目要求和问题实际确定n0.‎ ‎3.从n=k到n=k+1要搞清“项”的变化,不论是几何元素,还是式子;一定要用到归纳假设.‎ 一、基础过关 ‎1.用数学归纳法证明1+++…+1)时,第一步应验证不等式(  )‎ A.1+<2 B.1++<2‎ C.1++<3 D.1+++<3‎ 答案 B 解析 ∵n>1且n∈N+,∴n取的第一个值n0=2.∴第一步应验证:1++<2,选B.‎ ‎2.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的自然数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取(  )‎ A.2 B.3 C.5 D.6‎ 答案 C 解析 当n取1、2、3、4时2n>n2+1不成立,当n=5时,25=32>52+1=26,第一个能使2n>n2+1的n值为5,故选C.‎ ‎3.已知f(n)=1+++…+(n∈N+),证明不等式f(2n)>时,f(2k+1)比f(2k)多的项数是(  )‎ A.2k-1项 B.2k+1项 C.2k项 D.以上都不对 答案 C 解析 观察f(n)的表达式可知,右端分母是连续的正整数,‎ f(2k)=1++…+,‎ 而f(2k+1)=1++…++++…+.‎ 因此f(2k+1)比f(2k)多了2k项.‎ ‎4.用数学归纳法证明不等式++…+>(n∈N+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,下列说法正确的是(  )‎ A.增加了一项 B.增加了两项和 C.增加了B中的两项,但又减少了一项 D.增加了A中的一项,但又减少了一项 答案 C 解析 当n=k时,不等式左边为++…+,‎ 当n=k+1时,不等式左边为++…+++,故选C.‎ ‎5.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开(  )‎ A.(k+3)3 B.(k+2)3‎ C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3‎ 答案 A 解析 假设当n=k时,原式能被9整除,‎ 即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.‎ 当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.‎ ‎6.k(k≥3,k∈N+)棱柱有f(k)个对角面,则(k+1)棱柱的对角面个数f(k+1)为______________.‎ 答案 f(k)+k-1‎ 解析 三棱柱有0个对角面,四棱柱有2个对角面[0+2=0+(3-1)];五棱柱有5个对角面[2+3=2+(4-1)];六棱柱有9个对角面[5+4=5+(5-1)];….猜想:若k棱柱有f(k)个对角面,则(k+1)棱柱有f(k)+k-1个对角面.‎ ‎7.已知正数数列{an}(n∈N+)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+,用数学归纳法证明:an=-.‎ 证明 (1)当n=1时,a1=S1=(a1+),‎ ‎∴a=1(an>0),‎ ‎∴a1=1,又-=1,∴n=1时,结论成立.‎ ‎(2)假设n=k(k∈N+)时,结论成立,即ak=-.‎ 当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk ‎=(ak+1+)-(ak+)‎ ‎=(ak+1+)-(-+)‎ ‎=(ak+1+)-.‎ ‎∴a+2ak+1-1=0,‎ 解得ak+1=-(an>0),‎ ‎∴n=k+1时,结论成立.‎ 由(1)(2)可知,对n∈N+都有an=-.‎ 二、能力提升 ‎8.对于不等式≤n+1 (n∈N+),某学生的证明过程如下:①当n=1时,≤1+1,不等式成立.‎ ‎②假设n=k (n∈N+)时,不等式成立,即≤k+1,则n=k+1时,=<==(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立,上述证法(  )‎ A.过程全部正确 B.n=1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 答案 D 解析 从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,不符合数学归纳法的证题要求.‎ ‎9.用数学归纳法证明1+++…+1)时,在第二步证明从n=k到n=k+1不等式成立时,左边增加的项数为________.‎ 答案 2k 解析 项数为2k+1-2k=2k.‎ ‎10.证明:62n-1+1能被7整除(n∈N+).‎ 证明 (1)当n=1时,62-1+1=7能被7整除.‎ ‎(2)假设当n=k(k∈N+)时,62k-1+1能被7整除.‎ 那么当n=k+1时,62(k+1)-1+1=62k-1+2+1‎ ‎=36×(62k-1+1)-35.‎ ‎∵62k-1+1能被7整除,35也能被7整除,‎ ‎∴当n=k+1时,62(k+1)-1+1能被7整除.‎ 由(1),(2)知命题成立.‎ ‎11.求证:++…+>(n≥2,n∈N+).‎ 证明 (1)当n=2时,左边=+++>,‎ 不等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时命题成立,‎ 即++…+>.‎ 则当n=k+1时,‎ ++…++++=++…++(++-)>+(++-)>+(3×-)=,‎ 所以当n=k+1时不等式也成立.‎ 由(1)和(2)可知,原不等式对一切n≥2,n∈N+均成立.‎ ‎12.已知数列{an}中,a1=-,其前n项和Sn满足an=Sn++2(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法加以证明.‎ 解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=Sn++2.‎ ‎∴Sn=-(n≥2).‎ 则有S1=a1=-,‎ S2=-=-,‎ S3=-=-,‎ S4=-=-,‎ 由此猜想:Sn=-(n∈N+).‎ 用数学归纳法证明:‎ ‎(1)当n=1时,S1=-=a1,猜想成立.‎ ‎(2)假设n=k(k∈N+)时猜想成立,‎ 即Sk=-成立,‎ 那么n=k+1时,Sk+1=- ‎=- ‎=-=-.‎ 即n=k+1时猜想成立.‎ 由(1)(2)可知,对任意正整数n,猜想均成立.‎ 三、探究与拓展 ‎13.已知递增等差数列{an}满足:a1=1,且a1,a2,a4成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若不等式(1-)·(1-)·…·(1-)≤对任意n∈N+恒成立,试猜想出实数m的最小值,并证明.‎ 解 (1)设数列{an}公差为d(d>0),‎ 由题意可知a1·a4=a,即1(1+3d)=(1+d)2,‎ 解得d=1或d=0(舍去).所以an=1+(n-1)·1=n.‎ ‎(2)不等式等价于···…·≤,‎ 当n=1时,m≥;当n=2时,m≥;‎ 而>,所以猜想m的最小值为.‎ 下面证不等式···…·≤对任意n∈N+恒成立.‎ 下面用数学归纳法证明:‎ ‎(1)当n=1时,≤=,命题成立.‎ ‎(2)假设当n=k时,不等式···…·≤成立,‎ 当n=k+1时,···…··≤·,‎ 只要证·≤ ,‎ 只要证≤,‎ 只要证≤2k+2,‎ 只要证4k2+8k+3≤4k2+8k+4,只要证3≤4,显然成立.‎ 所以,对任意n∈N+,不等式···…·≤恒成立.‎

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