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- 2021-06-23 发布
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第2课时 等差数列的性质及其应用
双基达标 (限时20分钟)
1.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于 ( ).
A.4 B.5 C.6 D.7
解析 由a2+a8=2a5=12得:a5=6,故选C.
答案 C
2.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…下列说法正确的是 ( ).
A.新数列不是等差数列
B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列
解析 ∵(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,
∴数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.
答案 C
3.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-a8的值为 ( ).
A.4 B.6 C.8 D.10
解析 由a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,
∴a6=16,∴a7-a8=(2a7-a8)=(a6+a8-a8)=a6=8.
答案 C
4.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=________.
解析 ∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105,a3=35.
∵a2+a4+a6=3a4=99.∴a4=33,∴d=a4-a3=-2.
∴a20=a4+16d=33+16×(-2)=1.
答案 1
5.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是________.
解析 设an=-24+(n-1)d,
由解得:0.
即从第25项开始各项为正数.
12.(创新拓展)已知数列{an}的通项公式为an=pn2+qn(常数p,q∈R).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列?
(2)求证:对任意的实数p和q,数列{an+1-an}都是等差数列.
(1)解 设数列{an}是等差数列,
则an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,
若2pn+p+q是一个与n无关的常数,
则2p=0,即p=0.
∴当p=0时,数列{an}是等差数列.
(2)证明 ∵an+1-an=2pn+p+q,
∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,
∴(an+2-an+1)-(an+1-an)=[2p(n+1)+p+q]-(2pn+p+q)=2p(常数).
∴对任意的实数p和q,数列{an+1-an}都是等差数列.