2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练15+导数与函数的极值、最值 8页

课时分层训练(十五)　‎ 导数与函数的极值、最值 ‎ (对应学生用书第194页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．函数y＝ln x－x在x∈(0，e]上的最大值为(　　)‎ A．e　　 B．1‎ C．－1 D．－e C　[函数y＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)．‎ 又y′＝－1＝，令y′＝0得x＝1，‎ 当x∈(0,1)时，y′＞0，函数单调递增；‎ 当x∈(1，e]时，y′＜0，函数单调递减．‎ 当x＝1时，函数取得最大值－1.]　‎ ‎2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)‎ C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)‎ B　[∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，‎ 由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，‎ ‎∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，‎ ‎∴a＞6或a＜－3.]‎ ‎3．(2018·太原模拟)函数y＝f(x)导函数的图像如图2123所示，则下列说法错误的是(　　)‎ 图2123‎ A．函数y＝f(x)在区间(－1,3)上是增加的 B．函数y＝f(x)在区间(3,5)上是减少的 C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值 D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值 C　[由函数y＝f(x)导函数的图像可知：‎ 当x＜－1及3＜x＜5时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；‎ 当－1＜x＜3及x＞5时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．‎ 所以f(x)的单调减区间为(－∞，－1)，(3,5)；单调增区间为(－1,3)，(5，＋∞)，‎ f(x)在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，‎ 故选项C错误，故选C．]‎ ‎4．(2018·重庆模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于(　　)‎ ‎ 【导学号：00090075】‎ A．11或18 B．11‎ C．18 D．17或18‎ C　[f′(x)＝3x2＋2ax＋b，‎ ‎∴⇒⇒或.‎ ‎①当时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，∴在x＝1处不存在极值；‎ ‎②当时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)．‎ ‎∴x∈，f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)，f′(x)＞0，符合题意．‎ ‎∴，∴f(2)＝8＋16－22＋16＝18.]‎ ‎5．(2018·武汉模拟)已知a∈R，若f(x)＝ex在区间(0,1)上有且只有一个极值点，则a的取值范围是(　　)‎ A．a＜0 B．a＞0‎ C．a≤1 D．a≥0‎ B　[f′(x)＝(ax2＋x－1)，‎ 若f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，‎ 则f′(x)＝0在(0,1)上有且只有一个零点，‎ 显然＞0，问题转化为g(x)＝ax2＋x－1在(0,1)上有且只有一个零点，‎ ‎ 故g(0)·g(1)＜0，即，解得：a＞0，故选B．]‎ 二、填空题 ‎6．(2018·包头模拟)设函数f(x)＝x3－3x＋1，x∈[－2,2]的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.‎ ‎2　[由f(x)＝x3－3x＋1，得f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，‎ 当x∈(－2，－1)∪(1,2)时，f′(x)＞0，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0.‎ ‎∴函数f(x)的增区间为(－2，－1)，(1,2)；减区间为(－1,1)．‎ ‎∴当x＝－1时，f(x)有极大值3；当x＝1时，f(x)有极小值－1.‎ 又f(－2)＝－1，f(2)＝3.‎ ‎∴最大值为M＝3，最小值为m＝－1，‎ 则M＋m＝3－1＝2.]‎ ‎7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(－∞，－1)　[∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋A．‎ ‎∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，‎ 则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，‎ ‎∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.]‎ ‎8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．‎ ‎ 【导学号：00090076】‎ ‎30　23 000　[设该商品的利润为y元，由题意知，‎ y＝Q(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，‎ 则y′＝－3p2－300p＋11 700，‎ 令y′＝0得p＝30或p＝－130(舍)，‎ 当p∈(0,30)时，y′＞0，当p∈(30，＋∞)时，y′＜0，‎ 因此当p＝30时，y有最大值，ymax＝23 000.]‎ 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．‎ ‎(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围；‎ ‎(2)当a<0时，若函数满足y极大＝1，y极小＝－3，试求y＝f(x)的解析式．‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝－3x2＋2ax.‎ 依题意f′(x)≥0在(0,2)上恒成立，‎ 即2ax≥3x2.∵x＞0，∴2a≥3x，∴2a≥6，∴a≥3，‎ 即a的取值范围是[3，＋∞). 5分 ‎(2)∵f′(x)＝－3x2＋2ax＝x(－3x＋2a)．‎ ‎∵a＜0，当x∈时，f′(x)≤0，f(x)递减．‎ 当x∈时，f′(x)＞0，f(x)递增．‎ 当x∈[0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)递减. 8分 ‎∴⇒ ‎∴f(x)＝－x3－3x2＋1. 12分 ‎10．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0)．现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．‎ ‎(1)试将y表示为x的函数；‎ ‎(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．‎ ‎[解]　(1)设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为 eq f(kb,(18－x)2)，其中k为比例系数，且k>0，从而点C处受污染程度y＝＋.‎ ‎ 5分 ‎(2)因为a＝1，所以y＝＋，‎ y′＝k， 8分 令y′＝0，得x＝，‎ 又此时x＝6，解得b＝8，经验证符合题意，‎ 所以，污染源B的污染强度b的值为8. 12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝x2－aln x＋1在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是(　　)‎ A．0≤a＜1 B．－1＜a＜1‎ C．0＜a＜1 D．0＜a＜ C　[函数f(x)＝x2－aln x＋1，(a∈R)，f′(x)＝x－，‎ ‎∵函数f(x)在(0,1)内有最小值，‎ ‎∴f′(x)＝0在(0,1)上有解．函数有极小值也为最小值．‎ ‎∴x－＝0，x∈(0,1)⇔＜1，a∈(0,1)．‎ 并且x∈(0，)，f′(x)＜0，x∈(，1)，f′(x)＞0，‎ 即x＝时函数取得最小值，也是极小值．‎ ‎∴0＜a＜1.]‎ ‎2．(2018·郴州模拟)已知奇函数f(x)＝则函数h(x)的最大值为________．‎ ‎ 1－e　[先求出x＞0时，f(x)＝－1的最小值．当x＞0时，f′(x)＝，∴x∈(0,1)时，f′(x)＜0，函数单调递减，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，函数单调递增，∴x＝1时，函数取得极小值即最小值，为e－1，∴由已知条件得h(x)的最大值为1－e.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．‎ ‎ 【导学号：00090077】‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，‎ 故f′(x)＝3ax2＋B． 2分 由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，‎ 故有即 化简得解得 5分 ‎(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，‎ f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，‎ 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.‎ 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，‎ 故f(x)在(－∞，－2)上是增加的； 7分 当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，‎ 故f(x)在(－2,2)上是减少的； 8分 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，‎ 故f(x)在(2，＋∞)上是增加的．‎ 由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值，‎ f(－2)＝16＋c，‎ f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.‎ 由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12. 10分 此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，‎ f(2)＝－16＋c＝－4，‎ 因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4. 12分