2014版高中数学人教版a版选修4-5教学课件：第一讲 一 3 三个正数的算术——几何平均不等式 25页

3 ．三个正数的算术 — 几何平均不等式 a ＝ b ＝ c 算术平均 几何平均 a ， b ， c 均为正 数 a ＝ b ＝ c a 1 ＝ a 2 ＝ … ＝ a n (1) 不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析． (2) 运用三个正数的平均值不等式证明不等式时，仍要注意 “ 一正、二定、三相等 ” ，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在 “ 相等 ” 条件相同时，才能取到等号． 2 ．已知 a 1 ， a 2 ， … ， a n 都是正数，且 a 1 a 2 … a n ＝ 1 ，求证： (2 ＋ a 1 )(2 ＋ a 2 )…(2 ＋ a n )≥3 n . (1) 利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为 “ 积定和最小，和定积最大 ” ． (2) 应用平均不等式定理，要注意三个条件 “ 即一正二定三相等 ” 同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等． 答案： D 4 ．已知 x ， y ∈ R ＋ 且 x 2 y ＝ 4 ，试求 x ＋ y 的最小值及达到最 小值时 x 、 y 的值． 5 ．已知长方体的表面积为定值 S ，试问这个长方体的长、 宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．