数学文卷·2018届河北省衡水中学高二上学期期中考试（2016-11） 11页

河北省衡水中学2016-2017学年高二上学期期中考试 ‎ 数学试卷（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2.甲乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，分别表示甲乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，分别表示甲乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（ ）‎ A．， B．， ‎ C．， D．，‎ ‎3.某程序框图如图所示，若输出的,则判断框内为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.若非空集合满足,则（ ）‎ A．,有 B．,有 ‎ C. ,使得 D．,使得 ‎5.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.若实数满足，，且，则称为与互补，记，那么是与互补的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7.已知直线与平行，则的值是（ ）‎ A．0或1 B．1或 C. 0或 D．‎ ‎8. 若,命题；命题直线与圆相交，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9.已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ）‎ A． B． C. D．1‎ ‎10.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，,则( )‎ A． B． C. D．‎ ‎11.椭圆的左焦点为，为上顶点，为长轴上任意一点，且在原点的右侧，若的外接圆圆心为，且，则椭圆离心率的范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）‎ A．2 B．3 C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若“”是“函数的图像不过第三象限”的必要不充分条件，则实数能取的最大整数为 ．‎ ‎14.在区间中随机地取出两个数，则两数之和大于的概率是 ．‎ ‎15.设分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为 ．‎ ‎16.设为抛物线上相异两点，则的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知，，.‎ ‎（1）是的什么条件？‎ ‎（2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围. ‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知中心在原点的椭圆的左焦点，右顶点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若斜率为的直线与椭圆交于两点，求弦长的最大值及此时 的直线方程.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图.‎ ‎（1）求分数在之间的频率及全班人数；‎ ‎（2）求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高；‎ ‎（3）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图所示，抛物线，其焦点为，上的一点满足，‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过点作不经过原点的两条直线，分别于抛物线和圆相切于点，试判断直线是否经过焦点.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在与椭圆交于两点的直线，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上，设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）试判断圆与轴的位置关系；‎ ‎（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过定点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. -1 14. 15.15 16.‎ 三、解答题 ‎17.(1)，或，‎ 或，，‎ ‎，即，或，‎ ‎，‎ 是的充分不必要条件…………………5分，‎ ‎（2），，‎ 或，‎ 是的必要非充分条件，‎ ‎，或，或，‎ ‎（2）设直线的方程为，由可得，‎ 与椭圆交于两点，，即，……6分 设，，则，‎ 弦长，……8分 ‎，，‎ 当即的直线方程为时，弦长的最大值为…………12分.‎ ‎19.(1)分数在的频率为，…………2分 由茎叶图知，分数在之间的频数为2，所以全班人数为，…………4分 ‎（2）分数在之间的频数为25-22=3，‎ 频率分布直方图中间的矩形的高为，………7分 ‎（3）将之间的3个分数编号为，之间的2个分数编号为，……8分 在之间的试卷中任取两份的基本事件为：，，，，，‎ ‎，，，，共10个，…………10分，‎ 其中，至少有一个在之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在之间的概率是，…………12分.‎ ‎20.(1)抛物线的准线方程为，‎ 所以，又因为，所以，解得：，‎ 所以抛物线的标准方程为，…………4分 ‎（2）设，联立，消去得：，‎ 因为与相切，所以，解得，‎ 所以,,得,…………7分 设:，联立，消去得，，‎ 因为与圆相切，所以，‎ 因为与圆相切，所以，即，‎ 所以,，得,……………10分 ‎ 所以直线的斜率，‎ 可得直线的方程为，经过焦点………12分.‎ ‎21.(1)设椭圆的方程为（），半焦距为，依题意，‎ 由右焦点到右顶点的距离为1，得，解得，所以，‎ 所以椭圆的标准方程为，………4分，‎ ‎（2）存在直线，使得成立，理由如下：‎ 由得，‎ ‎，化简得，………6分，‎ 设，，则，，‎ 若，所以，即，‎ ‎，‎ ‎，‎ 化简得，，………8分 将代入中，，‎ 解得：，又由，，‎ 解得或，‎ 所以实数的取值范围是…………12分.‎ ‎22.(1)利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得 ‎，解得；………2分 ‎（2）由（1）得抛物线的方程为，从而抛物线的准线方程为，………3分 由得方程为，‎ 由直线与抛物线相切，得，………4分 且，从而，即，‎ 由，解得，………6分 的中点的坐标为，‎ 圆心到轴距离，‎ ‎，‎ ‎，……8分 当时，，圆与轴相切，‎ 当时，，圆与轴相交，‎ ‎（或以线段为直径圆的方程为:）‎ 令得，‎ ‎，‎ 当时，，圆与轴相切，‎ 当时，，圆与轴相交，‎ ‎（3）方法一：假设平面内存在定点满足条件，由抛物线对称性知点在轴上，设点的坐标为，‎ 由（2）知，，‎ ‎，‎ 由,得， ‎ 所以，即或 ‎ 所以平面上存在定点,使得圆恒过定点…………12分.‎ 证法二：由（2）知，，的中点的坐标为 所以圆的方程为，……10分 整理得，‎ 上式对任意均成立 当且仅当，解得：，‎ 所以平面上存在定点,使得圆恒过定点…………12分.‎