数学理（A）卷·2018届北京人大附中高三上学期期末考试仿真卷（2018 20页

‎2017-2018学年上学期高三期末考试仿真测试卷 理科数学（A）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2017·洛阳统考]若（，，是虚数单位），则等于（ ）‎ A．3 B．2 C．0 D．‎ ‎2．[2017·西工大附中]已知高峰期间某地铁始发站的发车频率为5分钟1班，由于是始发站，每次停靠1分钟后发车，则小明在高峰期间到该站后1分钟之内能上车的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．[2017·衡水模拟]已知条件：，条件：，则是成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．[2017·合肥八中]函数对任意x都有，则等于（ ）‎ A．或 B．或 C． D．或0‎ ‎5．[2017·定州中学]如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．[2017·甘肃联考]设是一个正整数，的展开式中第四项的系数为，记函数与的图像所围成的阴影部分为，任取，，则点恰好落在阴影区域内的概率为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．[2017·铜仁一中]执行如图所示的程序框图，输出，那么判断框内应填（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．[2017·河南联考]古代数学名著《九章算术》中的“盈不足”问题之两鼠穿垣．今有垣厚5尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？题意是：由垛厚五尺（旧制长度单位，尺=寸）的墙壁，大小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞．大鼠第一天打进尺，以后每天的速度为前一天的倍；小鼠第一天也打进尺，以后每天的进度是前一天的一半．它们多久可以相遇？（ ）‎ A．天 B．天 C．天 D．天 ‎9．[2017·漯河高级中学]四面体的四个顶点都在球的表面上，，，，平面，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．[2017·黄冈中学]已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，记椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．[2017·上高二中]如图所示，在平面四边形中，，，‎ 为正三角形，则面积的最大值为（ ）‎ ‎ ‎ A．2 B． C． D．‎ ‎12．[2017·长春第150中]若函数的图象上存在两个点，关于原点对称，则称点对为的“友情点对”，点对与可看作同一个“友情点对”，若函数恰好有两个“友情点对”，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2017·旅顺中学]某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：‎ 广告费用（万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售额（万元）‎ ‎10‎ ‎26‎ ‎35‎ ‎49‎ 根据上表可得回归方程的约等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为________万元．‎ ‎14．[2017·朝阳第80中]已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，设，则的最大值为____________．‎ ‎15．[2017·天津联考]在平行四边形中，已知，，点 是的中点，与相交于点，若，则__________．‎ ‎16．[2017·长春第150中]在中，内角、、所对的边长分别为、、，且，，若，则__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．[2017·新津中学]设数列满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．[2017·贵阳一中]随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视．为此贵阳市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送20积分，当积分为0时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费，具体扣分标准如下：‎ ‎①租用时间不超过1小时，免费；‎ ‎②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；‎ ‎③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；‎ ‎④租用时间超过3小时，按每小时扣2分收费（不足1小时的部分按1小时计算）．‎ 甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是和；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是和．‎ ‎（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；‎ ‎（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量，求的分布列和数学期望．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．[2017·合肥调研]平面四边形中，，，为等边三角形，现将沿翻折得到四面体，点，，，，分别为，，，的中点．‎ ‎（1）求证：四边形为矩形；‎ ‎（2）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．[2017·河南师范附中]已知抛物线：，焦点，为坐标原点，直线（不垂直轴）过点且与抛物线交于两点，直线与的斜率之积为．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若为线段的中点，射线交抛物线于点，求证：．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．[2017·寻乌中学]已知为常数，，函数，（其中是自然对数的底数）．‎ ‎（1）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；‎ ‎（2）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．[2017·武邑中学]选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）射线与曲线的交点为，与曲线的交点为，求线段的长．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．[2017·金伦中学]选修4-5：不等式选讲 已知，，，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2017-2018学年上学期高三年级期末考试仿真测试卷 理科数学（A）答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】，因为，，故，，所以，选A．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】根据已知，从上一班车发出后开始的分钟内，只要小明在第分祌到第分祌之间的任一时刻到达均能在到该站后分祌之内能上车，由几何概率公式得：小明在高峰期间到该站后分钟之内能上车的概率为，故选D．‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】，，则，解得，，解集为，故是成立的充分不必要条件，故选A．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】因为函数对任意都有，所以该函数图象关于直线对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以或，故选B．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，几何体的体积为，故选C．‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】由二项式定理得，得，解得或（舍去），由，得或，由定积分的几何意义得阴影部分的面积，任取，，点对应的区域为，由几何概型的概率计算公式得，故答案为C．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】因为，所以，因为输出，所以此时，故选C．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】由于前两天大鼠打尺，小鼠打尺，因此前两天两鼠共打．第三天，大鼠打尺，小鼠打尺，因此第三天相遇．设第三天，大鼠打尺，小鼠打尺，则，，因为第三天大鼠速度是4尺，故第三天进行了天，所以共进行天，故选A．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】如图，‎ ‎ ‎ ‎∵，，∴底面为等边三角形，取中点为，连接，‎ ‎∴的外心在上，设为，取中点，连接，在中，由，，得，又在中，得，过作的平行线与的中垂线交于，则 为四面体的外接球的球心，即，∵平面，∴，在中，求得，∴球的表面积为，故选D．‎ ‎10．【答案】A ‎【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为，，，，由于是以为底边的等腰三角形．若，即有，，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，即有，，，再由三角形的两边之和大于第三边，可得，可得，即有由离心率公式可得，由于，则有．则的取值范围为．故选：A．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】在中，设，，由余弦定理得：‎ ‎，∵为正三角形，∴，‎ 由正弦定理得：，，，‎ ‎∵，‎ ‎∵，∴为锐角，，∴‎ 当时，，故选D．‎ ‎12．【答案】B ‎【解析】由题意可知：在上有两解，即在上有两解，设，则，‎ 令，得，即在上是减函数，令，得或，即在和上是增函数，∴当时，取得极大值，当时，取得极小值，作出的函数图象如图所示：‎ ‎ ‎ ‎∵在上有两解，∴，故选B．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】57‎ ‎【解析】，，所以，，则，所以时，，所以销售额约为57．‎ ‎14．【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 作出不等式对应的平面区域如图所示，则，得，平移直线，由图象可以知道当直线的截距最大时，此时最大．此时直线经过点，故的最大值为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，由，得，‎ ‎，．‎ ‎16．【答案】3‎ ‎【解析】∵，∴由正弦定理可得：，，‎ 即可解得，∵，∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，当时，，则，∵，∴，，即；当时，，即，∵‎ ‎，∴，即，∴，即；综上，，故答案为3．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）， ①‎ 当时，， ②‎ ‎①－②，得，，在①中，令，得也满足上式，．‎ ‎（2），，‎ ‎， ③‎ ‎， ④‎ ‎④-③，得，‎ 即，．‎ ‎18．【答案】（1）甲、乙两人所扣积分相同的概率为，（2）的数学期望．‎ ‎【解析】（1）分别记“甲扣0，1，2分”为事件，，，它们彼此互斥，‎ 且，，．‎ 分别记“乙扣0，1，2分”为事件，，，它们彼此互斥，‎ 且，，．‎ 由题知，，，与，，相互独立，‎ 记甲、乙两人所扣积分相同为事件，则，‎ 所以 ‎．‎ ‎（2）的可能取值为：，，，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 的数学期望．‎ 答：甲、乙两人所扣积分相同的概率为，的数学期望．‎ ‎19．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵点，，，分别为，，，的中点，‎ ‎∴且，‎ ‎∴四边形为平行四边形．‎ 取的中点，连结，．‎ ‎∵为等腰直角三角形，为正三角形，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴平面．‎ 又∵平面，∴，‎ 由且可得，‎ ‎∴四边形为矩形．‎ ‎ ‎ ‎（2）由平面，‎ 分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 依题意，设，则，，，，，，∴，，．‎ 设为平面的一个法向量，则有 令，则．‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值，‎ ‎．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】∵直线过点且与抛物线交于，两点，，‎ 设，，直线（不垂直轴）的方程可设为．‎ ‎∴，，‎ ‎∵直线与的斜率之积为，‎ ‎∴，∴，得，‎ 由，化为，‎ 其中，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，抛物线．‎ ‎（2）证明：设，，∵为线段的中点，‎ ‎∴，，‎ ‎∴直线的斜率为，‎ 直线的方程为，代入抛物线的方程，‎ 得，∴，‎ ‎∵，∴．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）（），‎ 所以切线的斜率，‎ 整理得，显然，是这个方程的解，‎ 又因为在上是增函数，‎ 所以方程有唯一实数解，故．‎ ‎（2），，‎ 设，则，‎ 易知在上是减函数，从而．‎ ‎①当，即时，，在区间上是增函数，‎ ‎∵，∴在上恒成立，即在上恒成立．‎ ‎∴在区间上是减函数，所以满足题意．‎ ‎②当，即时，设函数的唯一零点为，‎ 则在上递增，在上递减，‎ 又∵，∴，‎ 又∵，‎ ‎∴在内有唯一一个零点，‎ 当时，，当时，．‎ 从而在递减，在递增，与在区间上是单调函数矛盾．‎ ‎∴不合题意．综上①②得，．‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．【答案】（1），，；（2）．‎ ‎【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数，），‎ 普通方程为（），‎ 极坐标方程为，，曲线的参数方程为（为参数），‎ 普通方程；‎ ‎（2），，即；‎ 代入曲线的极坐标方程，可得，即，‎ ‎∴．‎ ‎23．【答案】见解析 ‎【解析】（1）‎ ‎．‎ ‎（2）因为 ‎，所以，因此．‎ ‎ ‎