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- 2021-06-23 发布
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第一章集合与常用逻辑用语
1.1集合的概念与运算
专题2
集合的基本运算
■(2015河北石家庄二中一模,集合的基本运算,选择题,理1)已知全集U=R,集合A={x|y=lg(x-1)},集合B={y|y=x2+2x+5},则A∩(∁UB)=( )
A.[1,2] B.[1,2)
C.(1,2] D.(1,2)
解析:由x-1>0得x>1,所以A={x|x>1}.
因为x2+2x+5=(x+1)2+4≥2,
所以B={y|y≥2},所以∁UB={y|y<2},
所以A∩(∁UB)={x|10},则A∩(∁UB)等于( )
A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2}
C.{x|00}=(1,+∞),A∩B=(1,2],故选B.
答案:B
■(2015江西九校高三联考,集合的基本运算,选择题,理1)已知集合A={x||x|≤2,x∈Z},B=x1x+1>0,x∈R,则A∩B=( )
A.(-1,2] B.[0,2]
C.{-1,0,1,2} D.{0,1,2}
解析:依题意得A={-2,-1,0,1,2},B={x|x>-1},因此A∩B={0,1,2},故选D.
答案:D
■(2015江西南昌一模,集合的基本运算,选择题,理2)若集合A={x|1≤3x≤81},B={x|log2(x2-x)>3},则A∩B=( )
A.(2,4] B.[2,4]
C.(-∞,0)∪[0,4] D.(-∞,-1)∪[0,4]
解析:解不等式1≤3x≤81得0≤x≤4,所以A=[0,4].解不等式log2(x2-x)>1得x2-x>2,x<-1或x>2,所以B=(-∞,-1)∪(2,+∞),所以A∩B=(2,4],故选A.
答案:A
■(2015江西南昌二模,集合的基本运算,选择题,理2)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|log2(x+1)<1},则A∩B等于( )
A.(-∞,0) B.(2,+∞)
C.(0,1) D.(-1,0)
解析:由x2-2x>0得x>2或x<0,由log2(x+1)<1得01},集合A={x|x2-4x+3<0},则∁UA=( )
A.(1,3) B.(-∞,1)∪[3,+∞)
C.(-∞,-1)∪[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
解析:先求出集合U与集合A,然后再计算∁UA.
因为U={x|x>1或x<-1},A={x|10”的否定是“∀x∈R,x2-x≤0”
C.“x>3”是“x>2”的充分不必要条件
D.命题“p或q”为真命题,则命题p和q均为真命题
解析:若am20,则a3必有x>2,但x>2未必有x>3,所以C正确;命题“p或q”为真命题,只需命题p,q有一个为真命题即可,所以D错误,故选D.
答案:D
■(2015江西南昌一模,四种命题及其关系,命题真假的判定,选择题,理9)给出下列命题:
①若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=32;
②α,β,γ是三个不同的平面,则“γ⊥α,γ⊥β”是“α∥β”的充分条件;
③已知sinθ-π6=13,则cosπ3-2θ=79.
其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:逐一判断.在(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中,令x=0,解得a0=1,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=25=32,又|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=-a1+a2-a3+a4-a5=31,①错误;“γ⊥α,γ⊥β”是“α∥β”的必要不充分条件,②错误;cosπ3-2θ=cos2θ-π6=1-2sin2θ-π6=1-2×19=79,③正确,所以正确命题的个数是1,故选B.
答案:B
■(2015江西南昌二模,四种命题及其关系,命题真假的判定,选择题,理3)下列结论错误的是( )
A.命题:“若x2-3x+2=0,则x=2”的逆否命题为“若x≠2,则x2-3x+2≠0”
B.“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件
C.命题:“∃x∈R,x2-x>0”的否定是“∀x∈R,x2-x≤0”
D.若“p∨q”为假命题,则p,q均为假命题
解析:由逆否命题的定义知A项正确;若a>b,当c=0时,ac2=bc2,反之,若ac2>bc2成立,一定可以得到a>b,所以a>b是ac2>bc2的必要不充分条件,B错误;存在性命题的否定是将存在量词改为全称量词且否定结论,C正确;因为p∨q为假命题,所以p,q均为假命题,D正确,故选B.
答案:B
专题2
充分条件和必要条件
■(2015河北保定一模,充分条件和必要条件,选择题,理2)已知p:α是第一象限角,q:α<π2,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:当α=7π3>π2时,α在第一象限,充分性不成立;当α=-π3<π2时,α在第四象限,必要性不成立,所以p是q的既不充分也不必要条件,故选D.
答案:D
■(2015河北衡水中学二模,充分条件和必要条件,选择题,理5)“m>0”是“函数f(x)=m+log2x(x≥1)不存在零点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:因为“若m>0,则函数f(x)=m+log2x(x≥1)不存在零点”是真命题,充分性成立;而“若函数f(x)=m+log2x(x≥1)不存在零点,则m>0”也是真命题,必要性成立,故选C.
答案:C
1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
专题1
含有简单逻辑联结词的命题的真假
■(2015河北石家庄二中一模,含有简单逻辑联结词的命题的真假,选择题,理3)有甲、乙、丙、丁四位同学参加歌唱比赛,其中只有一位获奖.有同学走访这四位同学,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖了”.若四位同学中只有两人说的话是对的,则获奖的同学是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
解析:若甲获奖了,则四位同学说的都是错的,不符合题意;若乙获奖了,则甲、乙、丁说的是对的,丙说的是错的,不符合题意;若丙获奖了,则甲、丙说的是对的,乙、丁说的是错的,符合题意;若丁获奖了,则甲、丙、丁说的都是错的,乙说的是对的,不符合题意.综上所述,丙获奖了,故选C.
答案:C
■(2015河北唐山一模,含有简单逻辑联结词的命题的真假,选择题,理4)命题p:∃x∈N,x3log13x;
p3:∀x∈(0,+∞),12x>log12x;
p4:∀x∈0,13,12x0时,2-x3-x=32x>1,即有2-x>3-x,因此命题p1是假命题;当x=12∈(0,1)时,log1212=1>log1312=log32,因此命题p2是真命题;x=12时,12x=220,则x>sin x恒成立;
②命题“若x-sin x=0,则x=0”的逆命题为“若x≠0,则x-sin x≠0”;
③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件;
④命题“∀x∈R,x-ln x>0”的否定是“∃x0∈R,x0-ln x0≤0”.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:记f(x)=x-sinx,x>0,则f'(x)=1-cosx≥0,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,因此当x>0时,f(x)>f(0),即x-sinx>0,x>sinx,①正确;命题“若x-sinx=0,则x=0”的逆命题为“若x=0,则x-sinx=0”,②不正确;由命题“p∨q”为真不能得出命题“p∧q”为真;反过来,由命题“p∧q”为真命题可得出命题“p∨q”为真,因此命题“p∨q”为真是命题“p∧q”为真的必要不充分条件,③不正确;命题“∀x∈R,x-lnx>0”的否定是“∃x0∈R,x0-lnx0≤0”,④正确.综上所述,其中正确结论的个数是2,故选B.
答案:B
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