2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题12 概率与统计（测）（解析版） 11页

概率统计单元—测 ‎【满分：100分 时间：90分钟】‎ 一、选择题(12*5=60分)‎ ‎1、某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于(　　)‎ A．9　 B．10　 C．12　 D．13‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意得＝，故n＝13。‎ ‎2、设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1。设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件。故选A。‎ ‎3、已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为＝0.95x＋a，则a＝(　　)‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ A．3.25　 B．2.6　 C．2.2　 D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知得＝2，＝4.5，因为回归直线经过点(，)，所以a＝4.5－0.95×2＝2.6。故选B。‎ ‎4、为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论：‎ ‎①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；‎ ‎②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；‎ ‎③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；‎ ‎④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差。‎ 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为(　　)‎ A．①③　 　 B．①④　 　C．②③　 　 D．②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为甲＝＝29，乙＝＝30，所以甲<乙，又s＝＝，s＝＝2，所以s甲>s乙。故可判断结论①④正确。故选B。‎ ‎5、从区间随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知，∴，故选C．‎ ‎6．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为( )(附：若随机变量服从正态分布，则，)‎ A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%‎ ‎【答案】B ‎【解析】．‎ ‎7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A．0．8 B．0．75 C．0．6 D．0．45‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据条件概率公式，可得所求概率为．‎ ‎8、已知定义在区间[－3，3]上的单调函数f(x)满足：对任意的x∈[－3,3]，都有f(f(x)－2x)＝6，则在[－3,3]上随机取一个实数x，使得f(x)的值不小于4的概率为(　　)‎ A．　 B．　 C．　 D． ‎【答案】C ‎【解析】由题意设对任意的x∈[－3,3]，都有f(x)－2x＝a，其中a为常数，且a∈[－3,3]，则f(a)＝6，‎ f(a)－2a＝a，所以6－2a＝a，得a＝2，故f(x)＝2x＋2，由f(x)≥4得x≥1，因此所求概率为＝。‎ ‎9．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】5个点中任取2个点共有10种方法，若2个点之间的距离小于边长，则这2个点中必须有1个为中心点，有4种方法，于是所求概率．‎ ‎10．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是 A．成绩在分的考生人数最多 B．不及格的考生人数为1000人 C．考生竞赛成绩的平均分约70.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分 ‎【答案】D ‎【解析】由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，故B正确；由频率分布直方图可得：平均分等于，故C正确；因为成绩在的频率为，由的频率为，所以中位数为，故D错误．故选D．‎ ‎11．设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】不等式组表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内的点的坐标为，则随机事件：在区域D内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为．‎ ‎12、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】记三个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”共3个，因此．‎ 二、填空题(4*5=20分)‎ ‎13．随机变量的取值为0,1,2，若，，则__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意设的分布列如下 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 由，可得，所以．‎ ‎14、右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为，，，，，.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿. ‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.‎ ‎15、某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率， 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．‎ ‎15、在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆的圆心为，半径，故由直线与圆相交可得，即，整理得，得．‎ ‎16、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以．‎ 二、解答题(6*12=70分)‎ ‎17．【天津市南开中学2020届高三模拟试题】《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：‎ 分组(年龄)‎ 频数(人)‎ ‎(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；‎ ‎(2)在(1)中抽出的人中，任选人参加一对一的对抗比赛，求这人来自同一年龄组的概率．‎ ‎【答案】(1)，，；(2)．‎ ‎【分析】(1)先求出样本容量与总体个数的比，由此利用分层抽样的方法能求出从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；(2)从分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，这三个不同年龄组[7，20)，[20，40)，[40，80)中分别抽取的挑战者的人数分别为1，3，2．从抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，基本事件总数，这2人来自同一年龄组包含的基本事件个数为，由此能求出这2人来自同一年龄组的概率．‎ ‎【解析】(1)∵样本容量与总体个数的比是，∴样本中包含3个年龄段落的个体数分别是：‎ 年龄在[7，20)的人数为18＝1，年龄在[20，40)的人数为54＝3，‎ 年龄在[40，80)的人数为36＝2，‎ ‎∴从这三个不同年龄组[7，20)，[20，40)，[40，80)中分别抽取的挑战者的人数分别为1，3，2．‎ ‎(2)从分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，这三个不同年龄组[7，20)，[20，40)，‎ ‎[40，80)中分别抽取的挑战者的人数分别为1，3，2．从抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，基本事件总数为，这2人来自同一年龄组包含的基本事件个数为，∴这2人来自同一年龄组的概率．‎ ‎18、已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．‎ ‎(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 ‎(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求的分布列和均值(数学期望)．‎ ‎【解析】(1)记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件．．‎ ‎(2)的可能取值为．‎ ‎．．‎ ‎．‎ 故的分布列为 ‎．‎ ‎19、某教师为了分析所任教班级某次考试的成绩，将全班同学的成绩作成统计表和频率分布直方图为 分组 频数 频率 ‎[50,60)‎ ‎3‎ ‎0.06‎ ‎[60,70)‎ m ‎0.10‎ ‎[70,80)‎ ‎13‎ n ‎[80,90)‎ p q ‎[90,100]‎ ‎9‎ ‎0.18‎ 总计 t ‎1‎ ‎(1)求表中t，q及图中a的值。‎ ‎(2)该教师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进行谈话，设X表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X的分布列和数学期望。‎ ‎【解析】(1)由表格可知，全班总人数t＝＝50，则m＝50×0.10＝5，n＝＝0.26，‎ 所以a＝＝0.026，3＋5＋13＋9＋p＝50，即p＝20，所以q＝＝0.4。‎ ‎(2)成绩在[50,60)内的有3人，[60,70)内的有5人。‎ 由题意得X可能的取值为0,1,2,3，P(X＝k)＝，‎ 所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝。‎ 随机变量X的分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝。‎ ‎20、高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力，某移动支付公司在某市随机抽取了100名移动支付用户进行调查，得到如下数据：‎ 每周移动 支付次数 ‎1次 ‎2次 ‎3次 ‎4次 ‎5次 ‎6次及以上 男 ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎30‎ 女 ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎20‎ 合计 ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎11‎ ‎14‎ ‎50‎ ‎(1)在每周使用移动支付超过3次的样本中，按性别用分层抽样的方法随机抽取5名用户。‎ ‎①求抽取的5名用户中男、女用户各多少人；‎ ‎②从这5名用户中随机抽取2名用户，求抽取的2名用户中既有男用户又有女用户的概率。‎ ‎(2)如果认为每周使用移动支付次数超过3次的用户“喜欢使用移动支付”，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为“喜欢使用移动支付”与性别有关？‎ 附表及公式：‎ K2＝ P(K2≥k0)‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解　(1)①由图表可知，样本中每周使用移动支付超过3次的男用户有45人，女用户有30人，从75人中按分层抽样方法抽取5名用户。男用户有：5×＝3(人)，女用户有：5×＝2(人)。‎ ‎②记抽取的3名男用户分别为A、B、C,2名女用户分别为d，e，‎ 从5名用户中随机抽取2名用户，共有(A，B)，(A，C)，(A，d)，(A，e)，(B，C)，(B，d)，(B，e)，(C，d)，(C，e)，(d，e)10种可能，其中既有男用户又有女用户共有(A，d)，(A，e)，(B，d)，(B，e)，(C，d)，(C，e)6种可能。所以既有男用户又有女用户的概率为P＝＝。‎ ‎(2)由图表可得列联表 不喜欢移动支付 喜欢移动支付 合计 男 ‎10‎ ‎45‎ ‎55‎ 女 ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 将数据代入公式得 k＝≈3.03<3.841。‎ 所以在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用移动支付”与性别有关。‎ ‎21、如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：‎ 时间(分钟)‎ ‎10~20‎ ‎20~30‎ ‎30~40‎ ‎40~50‎ ‎50~60‎ 的频率 ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 的频率 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．‎ ‎(Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？‎ ‎(Ⅱ)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(Ⅰ)的选择方案，求的分布列和数学期望。‎ ‎【解析】(Ⅰ)表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”，表示事件“乙选择路径时，50分钟内赶到火车站”，=1,2．用频率估计相应的概率可得 ‎=0.1+0.2+0.3=0.6，=0.1+0.4=0.5，＞，甲应选择．‎ ‎=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，=0.1+0.4+0.4=0.9，＞，乙应选择．‎ ‎(Ⅱ)A,B分别表示针对(Ⅰ)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(Ⅰ)知,又由题意知，A,B独立，‎ ‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.04‎ ‎0.42‎ ‎0.54‎ ‎22、甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是。假设各局比赛结果相互独立。‎ ‎(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率。‎ ‎(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分。求乙队得分X的分布列。‎ ‎【解析】(1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A，B，C，‎ 则P(A)＝××＝，P(B)＝C2××＝，P(C)＝C2×2×＝。‎ ‎(2)X的可能的取值为0,1,2,3。则P(X＝0)＝P(A)＋P(B)＝，P(X＝1)＝P(C)＝，‎ P(X＝2)＝C×2×2×＝，P(X＝3)＝3＋C2××＝。‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P