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  • 2021-06-23 发布

高中数学 1_5_1-2 曲边梯形的面积与汽车行驶的路程同步练习 新人教A版选修2-2

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选修2-2 ‎1.5.1‎曲边梯形的面积、1.5.2汽车行驶的路程 ‎ 一、选择题 ‎1.和式(yi+1)可表示为(  )‎ A.(y1+1)+(y5+1)‎ B.y1+y2+y3+y4+y5+1‎ C.y1+y2+y3+y4+y5+5‎ D.(y1+1)(y2+1)…(y5+1)‎ ‎[答案] C ‎[解析] (yi+1)=(y1+1)+(y2+1)+(y3+1)+(y4+1)+(y5+1)=y1+y2+y3+y4+y5+5,故选C.‎ ‎2.在求由x=a,x=b(a0),y=0所围成的曲边梯形的面积时,将区间[0,t]等分成n个小区间,则第i-1个区间为(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] D ‎[解析] 在[0,t]上等间隔插入(n-1)个分点,把区间[0,t]等分成n个小区间,每个小区间的长度均为,故第i-1个区间为,故选D.‎ ‎5.由直线x=1,y=0,x=0和曲线y=x3所围成的曲边梯形,将区间4等分,则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案] D ‎[解析] s=× ‎==.‎ ‎6.在等分区间的情况下,f(x)=(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是(  )‎ A.·]‎ B.·]‎ C. D.·n]‎ ‎[答案] B ‎[解析] 将区间[0,2]进行n等分每个区间长度为,故应选B.‎ 二、填空题 ‎7.直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2+1围成的曲边梯形,将区间[0,2]5等分,按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.‎ ‎[答案] 3.92 5.52‎ ‎8.已知某物体运动的速度为v=t,t∈[0,10],若把区间10等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为________.‎ ‎[答案] 55‎ 三、解答题 ‎9.求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成曲边梯形的面积.‎ ‎[分析] 按分割,近似代替,求和,取极限四个步骤进行.‎ ‎[解析] 将区间[0,2]分成n个小区间,则第i个小区间为.‎ 第i个小区间的面积ΔSi=f·,‎ ‎∴Sn=· ‎==(i-1)2‎ ‎=[02+12+22+…+(n-1)2]‎ ‎=· ‎=.‎ S=Sn= =,‎ ‎∴所求曲边梯形面积为.‎ ‎[点评] 注意求平方和时,用到数列中的一个求和公式.12+22+…+n2=.不要忘记对Sn求极限.‎ ‎10.汽车以速度v做匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路程s=vt.如果汽车做变速直线运动,在时刻t的速度为v(t)=t2+2(单位:km/h),那么它在1≤t≤2(单位:h)这段时间行驶的路程是多少?‎ ‎[分析] 汽车行驶路程类似曲边梯形面积,根据曲边梯形面积思想,求和后再求极限值.‎ ‎[解析] 将区间[1,2]等分成n个小区间,第i个小区间为.‎ ‎∴Δsi=f·.‎ sn=· ‎= ‎= ‎=3n+[02+12+22+…+(n-1)2]+[0+2+4+6+…+2(n-1)]‎ ‎=3++.‎ s=sn= =.‎ ‎∴这段时间行驶的路程为km.‎ ‎11.求物体自由落体的下落距离:已知自由落体的运动速度v=gt,求在时间区间[0,t]内物体下落的距离.‎ ‎[分析] →→→→ ‎[解析] (1)分割:将时间区间[0,t]分成n等份.‎ 把时间[0,t]分成n个小区间(i=1,2,…,n),‎ 每个小区间所表示的时间段Δt=-t=,在各小区间物体下落的距离记作Δsi(i=1,2,…,n).‎ ‎(2)近似代替:在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程.‎ 在上任取一时刻ξi(i=1,2,…,n),可取ξi使v(ξi)=gt近似代替第i个小区间上的速度,因此在每个小区间上自由落体Δt=内所经过的距离可近似表示为Δsi≈g·(i=1,2,…,n).‎ ‎(3)求和:sn=si ‎=· ‎=[0+1+2+…+(n-1)]‎ ‎=gt2.‎ ‎(4)取极限:s= gt2=gt2.‎ ‎12.求由直线x=1、x=2、y=0及曲线y=围成的图形的面积S.‎ ‎[解析] (1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:‎ ,,…,,记第i个区间为(i=1,2,…,n),其长度为 Δx=-=.‎ 分别过上述n-1个分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如下图),它们的面积记作:ΔS1,ΔS2,…,ΔSn,则小区边梯形面积的和为S=Si.‎ ‎(2)近似代替 记f(x)=.当n很大,即Δx很小时,在区间上,可以认为f(x)=的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它等于f().从图形上看,就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边.这样,在区间上,用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi,即在局部小范围内“以直代曲”,则有ΔSi≈ΔSi′=fΔx=·=(i=1,2,…,n).‎ ‎(3)求和 小曲边梯形的面积和Sn=Si≈Si′‎ ‎==++…+ ‎=n-+-+…+- ‎=n=.从而得到S的近似值S≈Sn=.‎ ‎(4)取极限 分别将区间[1,2]等分成8,16,20,…等份时,Sn越来越趋向于S,从而有S=Sn=.‎ ‎∴由直线x=1,x=2,y=0及曲线y=围成的图形的面积S为.‎ ‎ ‎

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