专题4-3+两角和与差及二倍角的三角函数（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版） 8页

‎【考纲解读】‎ 内 容 要 求 备注 A　　‎ B　　‎ C　　‎ 基本初等函数Ⅱ（三角函数）、‎ 三角恒等变换 两角和（差）的正弦、余弦及正切 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．‎ ‎2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．‎ ‎3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦．‎ ‎4．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．‎ ‎5．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．‎ 二倍角的正弦、余弦及正切　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎【直击考点】‎ 题组一　常识题 ‎1．[教材改编] sin 75°＋cos 75°的值是________．‎ ‎【解析】sin 75°＋cos 75°＝2sin 75°＋·cos 75°＝2(sin 30°sin 75°＋cos 30°cos 75°)＝2cos(75°－30°)＝2cos 45°＝.‎ ‎2．[教材改编] 函数f(x)＝sin22x＋sin 4x(x∈R)的最小正周期是________．‎ ‎3．[教材改编] 已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan α·tan β的值为________．‎ 题组二　常错题 ‎4．若sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则cos 2θ＝________．‎ ‎【解析】由sin θ＋cos θ＝得(sin θ＋cos θ)2＝，所以sin θcos θ＝－<0.又因为sin θ＋cos θ＝>0，所以θ∈，所以2θ∈，所以cos 2θ＝－＝－.‎ ‎5．若sin 2α＝，则sin2α＝________．‎ ‎【解析】 由sin 2α＝得cos 2α＝±＝±，所以sin2α＝＝＝.‎ 题组三　常考题 ‎6． 若tan α＝3，则sin αcos α＝__________．‎ ‎【解析】sin αcos α＝＝＝＝.‎ ‎7． 已知sin 2α＝，则cos2＝________．‎ ‎【解析】cos2＝＝＝＝＝.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1．两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；‎ C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；‎ S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；‎ S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；‎ T(α＋β)：tan(α＋β)＝；‎ T(α－β)：tan(α－β)＝.‎ 变形公式：‎ tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；‎ ‎.‎ ‎2 二倍角公式的运用以及三角恒等式的证明 二倍角的正弦、余弦、正切公式：‎ S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；‎ C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ T2α：tan 2α＝.‎ 变形公式：‎ cos2α＝，sin2α＝ ‎1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 1. 本课主要题型有：①三角函数式的化简与求值；②三角函数式的简单证明．这部分知识难度已较以前有所降低，应适当控制其难度．‎ ‎2．灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换，进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容．‎ ‎3．以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状，求三角形的面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 两角和与差的三角函数公式的应用 ‎【1-1】设为锐角，若，‎ 则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于为锐角，则，则，因此，‎ 所以，‎ 所以 ‎.‎ ‎【1-2】求值：= ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【思想方法】‎ 应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．‎ ‎【温馨提醒】在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋(k∈Z)，可利用诱导公式化简．‎ 考点2 二倍角公式的运用 ‎【2-1】函数的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，‎ 所以当时函数取得最大值，最大值为．‎ ‎【2-2】已知，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎【思想方法】‎ 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：‎ ‎ （1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；‎ ‎（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；‎ ‎（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．‎ ‎【温馨提醒】求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选取．‎ 考点3 三角恒等式的证明 ‎【3-1】求证：＝sin 2α.‎ ‎【证明】∵左边＝＝＝＝ ‎ ＝cos αsincos＝sinαcos α ‎ ＝sin 2α＝右边．‎ ‎∴原式成立．‎ ‎【3-2】求证：＝－2cos(α＋β).‎ ‎【3-3】已知，，且，.‎ ‎ 证明：.‎ ‎【思想方法】‎ 三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．‎ ‎(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．‎ ‎(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．‎ ‎【温馨提醒】证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简、左右归一或变更论证．‎ ‎【易错试题常警惕】‎ ‎1.利用辅助角公式，asin x＋bcos x转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角.‎ ‎2.计算形如y＝sin(ωx＋φ), x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆.‎ ‎(1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成y＝Asin(ωx＋φ)，φ的确定一定要准确.‎ ‎(2)将ωx＋φ视为一个整体，设ωx＋φ＝t，可以借助y＝sin t的图象讨论函数的单调性、最值等.‎ ‎ ‎