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- 2021-06-23 发布
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- 1 -
微专题 43 线性规划——作图与求解
一、基础知识
1、相关术语:
(1)线性约束条件:关于变量 的一次不等式(或方程)组
(2)可行解:满足线性约束条件的解
(3)可行域:所有可行解组成的集合
(4)目标函数:关于 的函数解析式
(5)最优解:是目标函数取得最大值或最小值的可行解
2、如何在直角坐标系中作出可行域:
(1)先作出围成可行域的直线,利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点
(比如坐标轴上的点),以便快速做出直线
(2)如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧:一条曲线(或直线)将平面分成若干区
域,则在同一区域的点,所满足不等式的不等号方向相同,所以可用特殊值法,利用特殊点
判断其是否符合不等式,如果符合,则该特殊点所在区域均符合该不等式,具体来说有以下
三种情况:
① 竖直线 或水平线 :可通过点的横(纵)坐标直接进行判断
② 一般直线 :可代入 点进行判断,若符合不等式,则原点所在区域
即为不等式表示区域,否则则为另一半区域。例如:不等式 ,代入 符合
不等式,则 所表示区域为直线 的右下方
③ 过原点的直线 :无法代入 ,可代入坐标轴上的特殊点予以解决,或者
利用象限进行判断。例如: :直线 穿过一、三象限,二、四象限分居直线两侧。
考虑第四象限的点 ,所以必有 ,所以第四象限所在区域含在 表示的区
域之中。
(3)在作可行域时要注意边界是否能够取到:对于约束条件 (或 )
边界不能取值时,在图像中边界用虚线表示;对于约束条件 (或 )
,x y
,x y
,x y
x a y b
0y kx b kb 0,0
2 3 0x y 0,0
2 3 0x y 2 3 0x y
0y kx k 0,0
y x y x
0, 0x y y x y x
, 0F x y , 0F x y
, 0F x y , 0F x y
- 2 -
边界能取值时,在图像中边界用实线表示
3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤
(1)根据约束条件,在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域
(2)确定目标函数 在式子中的几何意义,常见的几何意义有:(设 为常数)
① 线性表达式——与纵截距相关:例如 ,则有 ,从而 的取值与
动直线的纵截距相关,要注意 的符号,若 ,则 的最大值与纵截距最大值相关;若 ,
则 的最大值与纵截距最小值相关。
② 分式——与斜率相关(分式):例如 :可理解为 是可行域中的点 与定点
连线的斜率。
③ 含平方和——与距离相关:例如 :可理解为 是可行域中的点
与定点 距离的平方。
(3)根据 的意义寻找最优解,以及 的范围(或最值)
4、线性目标函数影响最优解选取的要素:当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同
时,目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取。
例如:若变量 满足约束条件 ,则 的最大值等于_____
作出可行域如图所示,直线 的斜率 ,直线 的斜率 ,
目标函数的斜率 ,所以 ,所以在平移直线时,目标函数直线的倾斜程
度要介于两直线之间,从而可得到在 取得最优解。但在作图中如果没有考虑斜率间的
联系,平移的直线比 还要平,则会发现最优解在
处取得,以及若平移的直线比 还要陡,
则会发现最优解在 处取得,都会造成错误。所以在处
理目标函数与约束条件的关系时,要观察斜率的大小,并
确定直线间“陡峭”程度的不同。
z ,a b
z ax by a zy xb b z
b 0b z 0b
z
y bz x a
z ,x y
,a b
2 2z x a y b z
,x y ,a b
z z
,x y
0
0
3 2 12
2 8
x
y
x y
x y
3 4z x y
3 2 12x y 1
3
2k 2 8x y 2
1
2k
3
4k 2 1k k k
2,3A
2 8x y
0,4B 3 2 12x y
4,0C
- 3 -
(1)在斜率符号相同的情况下: 越大,则直线越“陡”
(2)在作图和平移直线的过程中,图像不必过于精确,但斜率符号相同的直线之间,陡峭程
度要与斜率绝对值大小关系一致,这样才能保证最优解选取的准确
(3)当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时,有可能达到最值的最优解有无
数多个(位于可行域的边界上)
(4)当目标函数的斜率含参时,涉及到最优解选取的分类讨论,讨论通常以约束条件中同符
号的斜率作为分界点。
二、典型例题:
例 1:若变量 满足约束条件 ,则 的最小值等于( )
A. B. C. D.
思路:按照约束条件作出可行域,可得图形为一个封
闭的三角形区域,目标函数化为: ,则 的
最小值即为动直线纵截距的最大值。目标函数的斜率大
于约束条件的斜率,所以动直线斜向上且更陡。通过平
移 可 发 现 在 点 处 , 纵 截 距 最 大 。 且
解 得 , 所 以
的最小值
答案:A
例 2:设变量 满足约束条件 ,则目标函数 的最小值为( )
A. B. C. D.
思路:作出目标函数的可行域,得到一个开放的区域,目标函
数 , 通 过 平 移 可 得 最 优 解 为
k
,x y
2 0
0
2 2 0
x y
x y
x y
2z x y
5
2 2 3
2 2
2y x z z
A
2 0: 2 2 0
x yA x y
11, 2A
2z x y min
1 52 1 2 2z
,x y
2 0
2 0
1
x y
x y
y
2z x y
2 3 4 5
1
2 2
zy x
- 4 -
,所以
答案:B
例 3:若变量 满足 ,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
思路:目标函数 可视为点到原点距离的平方,所 以
只需求出可行域里距离原点最远的点即可,作出可行域,观 察
可得最远的点为 ,所以
答案:D
例 4:设变量 满足约束条件 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
思路:所求 可视为点 与定点 连线
的斜率。从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可,可
得在 处的斜率最小,即 ,在
处的斜率最大,为 ,结合图像可得 的范围为
答案:D
例 5:若实数 满足条件 ,则 的最大值为
( )
A. B. C. D.
2 0: 1,11
x yA Ay
min 3z
,x y
1
2 0
x
x y
x y
2 2z x y
10 7 9 10
2 2z x y
1, 3A 2
max 10z OA
,x y
2 2 0
2 2 0
1 0
x y
x y
x y
1
1
ys x
31, 2
1 ,12
1,2 1 ,22
1
1
ys x
,x y 1, 1
1,0
min
0 1 1
1 1 2k
0,1
max
1 1 20 1k
1
1
ys x
1 ,22
,x y
0
1 0
0 1
x y
x y
x
3x y
6 5 4 3
- 5 -
思路:设 ,则可先计算出 的范围,即可求出 的最大值: ,则最
优解为 ,所以 ,则
答案:B
例 6 : 设 为 坐 标 原 点 , 点 的 坐 标 为 , 若 点 满 足 不 等 式 组
,则使 取得最大值的点 的个数有( )
A. 1 B. C. D. 无数个
思路:设 ,作出可行域,通过平移可发
现达到最大值时,目标函数与直线 重合,所以
有无数多个点均能使 取得最大值
答案:D
例 7:(2015,福建)变量 满足约束条件 ,
若 的最大值为 ,则实数 等于( )
A. B. C. D.
思路:本题约束条件含参,考虑先处理常系数不等式,
作出图像,直线 为绕原点旋转的直线,从图像
可 观 察 出 可 行 域 为 一 个 封 闭 三 角 形 , 目 标 函 数
, 若 最 大 则 动 直 线 的 纵 截 距 最 小 ,可 观 察 到 为 最 优 解 。
,则有 ,解得:
答案:C
小炼有话说:当线性约束条件含参数时,一方面可先处理常系数不等式,作出可行域的大致
范围,寻找参数变化时,可行域的共同特征;另一方面对含参数的直线确定是否过定点,在
变化中寻找区域的规律。找到共同的最优解所满足的方程,便可根据最值求出参数
3z x y z z 1 1
3 3y x z
1, 1 , 1,2A B 5,4z max 5z
O M 2,1 ,N x y
4 3 0
2 12 0
1
x y
x y
x
OM ON N
2 3
2z OM ON x y
2 12 0x y
OM ON
,x y
0
2 2 0
0
x y
x y
mx y
2z x y 2 m
2 1 1 2
y mx
2y x z z A
2 2 0 2 2: ,2 1 2 1
x y mA Ay mx m m
2 22 22 1 2 1
mz m m 1m
- 6 -
例 8:在约束条件 下,若目标函数 的最大值不超过 4,则实数
的取值范围是( )
A. B. C. D.
思路:先做出常系数直线,动直线 时注意到
,斜率为常数 1,且发现围成的区域恒为一个三角形。
目 标 函 数 , 通 过 图 像可 得 最 优 解 为
, 所 以
,则 解得:
答案:D
例 9:若变量 满足约束条件 ,若 的最大值为 4,则 ( )
A. B. C. D.
思路:如图作出可行域,目标函数为 ,由于 决定直线的方向,且约束条件中的
直线斜率有正有负。所以先考虑 的符号:
当 时,此时与 的斜率进行比较:
若 ,则 的最大值为 0,不符题意;
若 ,则最优解为 ,代入解得
与初始范围矛盾,故舍去;当 时,直线与
斜率进行比较:
若 ,则最优解为 ,代入解得 ,符合题意
若 ,可得 的最大值为 2,不符题意,舍去
若 ,则最优解为 ,代入解得 与初始范围矛盾,舍去
2
1
0
1 0
x
x y m
x y
2z x y m
3, 3 0, 3 3,0 3, 3
2 0x y m
2 0m
2y x z
2 2
2
1 0 1 1: ,2 20
x y m mA A
x y m
2 2
2
max
1 1 3 12 2 2 2 2
m mz m 23 1 42 2m 3, 3m
,x y
0
2
0
x y
x y
y
z ax y a
3 2 2 3
y ax z a
a
0 0a a y x
1 1a a z
0 1 1 0a a 1,1A
3a 0 0a a
2x y
1 1a a 2,0B 2a
1a z
0 1 0 1a a 1,1A 3a
- 7 -
综上所述:
答案:B
小炼有话说:(1)目标函数的直线陡峭程度不同,会导致最优解不同,所以当斜率含参时,
可在约束条件中寻找斜率与目标函数斜率同号的直线,则这些直线的斜率通常是分类讨论的
分界点。
(2)本题也可分别假设可行域 3 个顶点为最优解,求出 的值,再带入验证。
例 10:设 满足约束条件 ,若目标函数 的最大值
为 ,则 的最小值是( )
A. B. C. D.
思 路 : 先 做 出 可 行 域 , 目 标 函 数
, 由 可 得 直 线
的 斜 率 为 负 , 所 以 由 图 像 可 得 最 大 值 在 处 取 得 , 即 , 所 以
答案:C
小炼有话说:本题判断出斜率为负是解题的关键,从而能迅速通过平移直线得到最优解,而
后与均值不等式结合求出最值
三、历年好题精选
1、(2016,衡阳联考)如果实数 满足条件 ,则 的最小值为 ,
则正数 的值为__________
2、(2014,温州中学三月考)已知实数 满足 ,则 的最小值是_________
3、若点 在不等式组 所表示的平面区域内,则 的取值范围是
2a
a
,x y
3 2 0
0
0, 0
x y
x y
x y
0, 0z ax by a b
2 1 1
a b
25
6
8
3 2 4
a zz ax by y xb b 0, 0a b
1,1 max 2z a b
1 1 1 1 1 1 2 22 2
b aa ba b a b a b
,x y
2 0
1 0
2 0
x y
x
y
yz x a
1
2
a
,x y
1
3
5 4
y x
x
x y
2x
y
1,1
0
2 4 0
3 3
m nx y
mx ny
nx y m
2 2m n
- 8 -
_________
4、(2016,南昌二中四月考)已知实数 满足 ,则 的取值范
围是________
5、设实数 满足 ,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6、设实数 满足 ,则 为( )
A. 有最小值 2,最大值 3 B. 有最小值 2,无最大值
C. 有最大值 3,无最小值 D. 既无最小值,也无最大值
7、设 满足约束条件: ,则 的最小值是( )
A. B. C. D.
8、(2016,湖南师大附中月考)若实数 满足 ,设 ,
则 的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
9、(2015,北京)若 满足 ,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
,x y
2
0
5 0
1 1
4 4
x y
x y
y x
2 2
2 22
x y y
x y
yx,
2 0
2 5 0
2 0
x y
x y
y
y
x
x
yu
2,3
1
2,3
8
2
3,3
8
2
3,0
,x y
2 4
1
2 2
x y
x y
x y
z x y
,x y
0
4 3 12
x
y x
x y
2 3
1
x y
x
2 3 4 5
,x y
2 0
1 0
1
x y
y x
x
2 , 2u x y v x y
u
v
5
4
7
5
,x y
0
1
0
x y
x y
x
2z x y
0 1 3
2 2
- 9 -
10、(2015,广东)若变量 满足约束条件 ,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
11、(2015,新课标 I)若 满足约束条件 ,则 的最大值为________
答案:3
12、(2015,新课标 II)若 满足约束条件 ,则 的最大值为____
13、(2015,山东)已知 满足约束条件 ,若 的最大值为 ,则
( )
A. B. C. D.
14、(2014,北京)若 满足约束条件 ,且 的最小值为 ,则
的值为( )
A. B. C. D.
,x y
4 5 8
1 3
0 2
x y
x
y
3 2z x y
31
5 6 23
5 4
,x y
1 0
0
4 0
x
x y
x y
y
x
,x y
1 0
2 0
2 2 0
x y
x y
x y
z x y
,x y
0
2
0
x y
x y
y
z ax y 4 a
3 2 2 3
,x y
2 0
2 0
0
x y
kx y
y
z y x 4 k
2 2 1
2
1
2
- 10 -
习题答案:
1、答案:1
解析:根据约束条件画出可行域,可知 时, 即
2、答案:
解析:设 ,则有 ,则可知抛物线与不等式可行域有公共点,作出可行域,如图
可知当 与抛物线相切时,此时 取得最小值,联立方程 ,
所以判别式
3、答案:
解析:将 代入 可得: ,作出可行域, 可视为
点 到原点距离的平方。结合图像可知: 到原点距离最大,即 原
点到直线 的距离为 ,所以
4、答案:
解析: ,其中 可视为 与
连线的斜率,作出可行域,数形结合可得:直线 与
在 第 一 象 限 相 切 时 , 取 得 最 大 值 , 解 得 : ,
,而 时, ,
1
1
x
y
min
1
2z 1 1 11 2 aa
4
2xz y 2x zy
1y x z
2
2 0
1
x zy x zx z
y x
2 4 0 4z z z
9 ,6110
1,1
0
2 4 0
3 3
m nx y
mx ny
nx y m
1 0
2 4 0
3 3 0
m n
m n
m n
2 2m n
,m n 5,6 2 2
max
61m n
3 3 0m n 3 10
10 2 2
min
9
10m n
13 5,9 3
2 2
22 2 2 2
221 12 2 1 2
y
x y y xy xz x y x y y
x
yk x ,x y 0,0
y kx 21 1
4 4y x
k 1,2k
2
2 21 1 11 2 2
kz k k k
1,2k 1 92 3, 2k k
- 11 -
所以
5、答案:C
解析:令 ,作出可行域,可知 可视为 连线的斜率,
且 为 关于 的增函数,所以
6、答案:B
解析:作出可行域(为开放区域),再平移直线 即可得到 在 处达到最小值,
即 ,但没有最大值
7、答案:B
解析: ,则 可视为可行域中的点 与 连
线的斜率,作出可行域可得: ,所以 的最小值为 3
8、答案:C
解析:方法一: ,其中 为可行域中的点
与原点 连线斜率 的倒数,作出可行域可知: ,所以 ,从而可计算
出
方 法 二 : 由 可 得 : , 代 入 到 不 等 式 组 可 得 :
13 5,9 3z
yt x t , , 0,0x y 1,23t
1u t t 1,23t
t 8 3,3 2u
y x z z 2,0
min 2z
2 3 11 21 1
x y yu x x
1
1
yk x
,x y 1, 1
1,5k u
1 3
2 1 3 12 2
2 2 2 2 2 1
x y yu x y
xv x y x y
y
x
y ,x y
0,0 k 1,3k 1,13
x
y
71, 5
u
v
2
2
u x y
v x y
2
3
2
3
v ux
u vy
- 12 -
,作出可行域,所求 为 与 连线的
斜率,数形结合即可得到最大值为
9、答案:D
解析: ,作出可行域,可得最
优解为 时, 取得最大值
10、答案:C
解析:由 可得: ,数形结合可知 经过 时,
取得最小值
11、答案:3
解析:作出可行域(如图所示),所求分式 ,即可行域
中点与原点连线的斜率最大值,由图可知点 与原点连线斜
率最大,所以 的最大值为
12、答案:
解析:目标函数变为 ,即求动直线纵截距的最
大值,作出可行域,数形结合可得直线过 ,则
2 2 2 03 3 6
2 2 1 0 13 3 2 32 13
v u u v
u v
u v v u u v
v uv u
uk v ,v u 0,0
7
5
1 12 2 2z x y y x z
0,1 z 2
3 2z x y 3
2 2
zy x 3
2 2
zy x 41, 5A
z
min
4 233 1 2 5 5z
0
0
y y
x x
1,3A
y
x 3
3
2
y x z
11, 2D
x
y
–1–2–3–4 1 2 3 4
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
D
C
B
O
- 13 -
13、答案:B
解析:由 得 ,借助图形可知:当 ,即 时在 时
有 最 大 值 0 , 不 符 合 题 意 ; 当 , 即 时 在 时 有 最 大 值
,不满足 ;当 ,即 时在 时有最大值
, 不 满 足 ; 当 , 即 时 在 时 有 最 大 值
,满足 ,所以
14、答案:D
解析:目标函数变形为 ,由直线
可得该直线过定点 ,分
讨论,若 ,则由图可知 纵
截距的最小值在直线过 处取得,即 ,不
符题意;当 时,可知直线 纵截距的最小
值过 与 轴的交点 ,所以 ,解得
max
3
2z
z ax y y ax z 1a 1a 0x y
0 1a 1 0a 1x y
1 4, 3a a 1 0a 1 0a 0 1a 1x y
1 4, 3a a 0 1a 1a 1a 2, 0x y
2 4, 2a a 1a 2a
y x z
2 0kx y 0,2
0, 0k k 0k y x z
2,0 min 2z
0k y x z
2 0kx y x 2 ,0k
min
20 4z k
1
2k