数学卷·2018届河北省衡水市冀州中学高二上学期第四次月考数学试卷（理科） （解析版） 24页

‎2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第四次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共13个小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|x⊆A}，C={x|x⊆B}，则集合C中元素的个数为（　　）‎ A．4 B．8 C．16 D．20‎ ‎2．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，命题P：∀x∈A，2x∈B，则命题P的否定是（　　）‎ A．∃x∈A，2x∈B B．∃x∉A，2x∉B C．∃x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∉B ‎3．函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x﹣1）是奇函数，若f（0.5）=9，则f（8.5）等于（　　）‎ A．﹣9 B．9 C．﹣3 D．0‎ ‎4．现有4种不同的颜色为“严勤活实”四个字涂颜色，要求相邻的两个字涂色不同，则不同的涂色种数为（　　）‎ A．27 B．54 C．108 D．144‎ ‎5．一首小诗《数灯》，诗曰：“远望灯塔高7层，红光点点倍加增，顶层数来有4盏，塔上共有多少灯？”答曰（　　）‎ A．252 盏 B．256盏 C．508 盏 D．512盏 ‎6．在△ABC中AC=6，AC的垂直平分线交AB边所在直线于N点，则•的（　　）‎ A．﹣6 B．﹣15 C．﹣9 D．﹣18‎ ‎7．已知F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B．3 C． D．2‎ ‎8．已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（　　）‎ A．两条相交直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 ‎9．函数f（x）=Asin（2x+φ）（|φ|≤，A＞0）部分图象如图所示，且f（a）=f（b）=0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有f（x1+x2）=，则（　　）‎ A．f（x）在（﹣，）上是减函数 B．f（x）在（﹣，）上是增函数 C．f（x）在（，）上是减函数 D．f（x）在（，）上是增函数 ‎10．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f（﹣1）=（　　）‎ A．﹣2 B．2 C． D．‎ ‎11．某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该四棱锥的表面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．动点P（x，y）满足，点Q为（1，﹣1），O为原点，λ||=，则λ的最大值是（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．‎ ‎13．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点．设=m，则“0＜m＜2”是三棱锥C﹣ABE的体积不小于1的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　‎ 二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）‎ ‎14．过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为　　．‎ ‎15．已知正数a，b满足a+b=2，则的最小值为　　．‎ ‎16．已知双曲线C：的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M（0，2），则△PFM周长最小值为　　．‎ ‎17．已知直线y=x与双曲线﹣=1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A、B的点，当直线PA、PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA•kPB=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎18．已知p：2x2﹣3x+1＞0，q：，且￢p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．‎ ‎19．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosA，ccosA成等差数列．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若a=3，，求的最大值．‎ ‎20．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．‎ ‎21．已知首项为3的数列{an}满足： =3，且bn=．‎ ‎（1）求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎（2）求数列{2n•bn}的前n项和Tn．‎ ‎22．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．‎ ‎（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；‎ ‎（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．‎ ‎23．已知直线（1+3m）x﹣（3﹣2m）y﹣（1+3m）=0（m∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为3．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若，求直线l的斜率的取值范围．‎ ‎24．在平面直角坐标系中，已知，，P（x，y），M（x，﹣2），N（x，1），若实数λ使得（O为坐标原点），求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第四次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共13个小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|x⊆A}，C={x|x⊆B}，则集合C中元素的个数为（　　）‎ A．4 B．8 C．16 D．20‎ ‎【考点】元素与集合关系的判断．‎ ‎【分析】根据集合关系进行判断即可；注意B集合是以A的子集为元素的集合，C是以B的子集为元素的集合．‎ ‎【解答】解：∵A={x∈N|x≤1}={0，1}，B={x|x⊆A}，‎ ‎∴集合B中的元素是集合A的子集，‎ 则A的子集为∅，{0}，{1}，{0，1}，共4个，又C={x|x⊆B}，集合C中元素的个数为24=16；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，命题P：∀x∈A，2x∈B，则命题P的否定是（　　）‎ A．∃x∈A，2x∈B B．∃x∉A，2x∉B C．∃x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∉B ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，‎ ‎∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：‎ ‎￢p：∃x∈A，2x∉B．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x﹣1）是奇函数，若f（0.5）=9，则f（8.5）等于（　　）‎ A．﹣9 B．9 C．﹣3 D．0‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】由f（x﹣1）是奇函数、f（x）是偶函数，可得f（x）=f（x﹣4），从而求得f（8.5）=f（0.5），即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x﹣1）是奇函数，故有f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（﹣x）=﹣f（x﹣2）．‎ 又∵f（x）是偶函数，得f（x）=﹣f（x﹣2），‎ f（x﹣4）=f（x）对任意x∈R恒成立，可得f（x）的最小正周期为4，‎ ‎∴f（0.5）=f（8.5）=9．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．现有4种不同的颜色为“严勤活实”四个字涂颜色，要求相邻的两个字涂色不同，则不同的涂色种数为（　　）‎ A．27 B．54 C．108 D．144‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】首先给最左边一个字涂色，有4种结果，再给左边第二个字涂色有3种结果，以此类推第三个字也有3种结果，第四个字也有3种结果，根据分步计数原理得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，‎ 首先给最左边一个字涂色，有4种结果，‎ 再给左边第二个字涂色有3种结果，‎ 以此类推第三个字有3种结果，第四个字有3种结果，‎ ‎∴根据分步计数原理知共有4×3×3×3=108．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．一首小诗《数灯》，诗曰：“远望灯塔高7层，红光点点倍加增，顶层数来有4盏，塔上共有多少灯？”答曰（　　）‎ A．252 盏 B．256盏 C．508 盏 D．512盏 ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由已知可得：数列{an}为等比数列，a1=4，n=7，公比q=2．利用等比数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由已知可得：数列{an}为等比数列，a1=4，n=7，公比q=2．‎ ‎∴S7==508．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中AC=6，AC的垂直平分线交AB边所在直线于N点，则•的（　　）‎ A．﹣6 B．﹣15 C．﹣9 D．﹣18‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】先根据条件画出图形，并设AC的垂直平分线交AC于M，从而得出，这样进行数量积的运算便可求出的值．‎ ‎【解答】解：如图，设AC垂直平分线交AC于M，则：‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=﹣18+0‎ ‎=﹣18．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．已知F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B．3 C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为，则F2到渐近线的距离为=b．‎ 设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点 又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，‎ ‎∴△MF1F2为直角三角形，‎ ‎∴由勾股定理得4c2=c2+4b2‎ ‎∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，‎ ‎∴c=2a，∴e=2．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（　　）‎ A．两条相交直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】分别令f（x）=，g（x）=，他们的几何意义分别是点到定点和定直线的距离相等，利用抛物线的定义推断出答案．‎ ‎【解答】解：令f（x）=，则其几何意义为点（x，y）到（1，2）的距离，‎ 令g（x）=，其几何意义为（x，y）点到直线y=3x+4y+12的距离，‎ 依题意二者相等，即点到点（1，2）的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出P的轨迹为抛物线．‎ 故选B ‎　‎ ‎9．函数f（x）=Asin（2x+φ）（|φ|≤，A＞0）部分图象如图所示，且f（a）=f（b）=0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有f（x1+x2）=，则（　　）‎ A．f（x）在（﹣，）上是减函数 B．f（x）在（﹣，）上是增函数 C．f（x）在（，）上是减函数 D．f（x）在（，）上是增函数 ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】根据题意，得出函数f（x）的最小正周期，且b﹣a为半周期，再根据f（x1）=f（x2）时f（x1+x2）的值求出φ的值，从而写出f（x）的解析式，判断f（x）的单调性．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=Asin（2x+φ），∴函数最小正周期为T=π；‎ 由图象得A=2，且f（a）=f（b）=0，‎ ‎∴•=b﹣a，解得b﹣a=；‎ 又x1，x2∈[a，b]，且f（x1）=f（x2）时，有f（x1+x2）=，‎ ‎∴sin[2（x1+x2）+φ]=，即2（x1+x2）+φ=，‎ 且sin（2•+φ）=1，即2•+φ=，‎ 解得φ=，‎ ‎∴f（x）=2sin（2x+）；‎ 令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，‎ ‎∴﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，‎ 解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，‎ ‎∴函数f（x）在区间[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z上是单调增函数，‎ ‎∴f（x）在区间（﹣，）上是单调增函数．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f（﹣1）=（　　）‎ A．﹣2 B．2 C． D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据A、B两点之间的距离为=，求得T的值，可得ω的值，从而求得函数的解析式，从而求得f（﹣1）的值．‎ ‎【解答】解：由函数的图象可得2sinφ=1，可得sinφ=，再根据＜φ＜π，可得φ=．‎ 再根据A、B两点之间的距离为=，求得T=6，‎ 再根据T==6，求得ω=．‎ ‎∴f（x）=2sin（x+），f（﹣1）=2sin（﹣+）=2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该四棱锥的表面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】三视图复原的几何体是一个底面为边长为3的正方形，高为的四棱锥，求出几何体的表面积即可．‎ ‎【解答】解：几何体是一个底面为边长为3的正方形，高为的四棱锥，，‎ 故选D．√‎ ‎　‎ ‎12．动点P（x，y）满足，点Q为（1，﹣1），O为原点，λ||=，则λ的最大值是（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】根据向量的数量积公式将条件进行化简，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：：∵λ||==，‎ ‎∴λ=||cos＜＞，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图，‎ 则OQ，OA的夹角最小，‎ 由，解得，即A（3，1），‎ 则=（3，1），‎ 又，‎ 则cos＜＞===，‎ ‎∴λ的最大值是||cos＜＞=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎13．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点．设=m，则“0＜m＜2”是三棱锥C﹣ABE的体积不小于1的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】经过点E作EH⊥AD，垂足为H，可得EH⊥平面ABCD，利用三棱锥条件计算公式可得：VC﹣ABE=≥1，即EH，又PA=3，可得=m≤1，即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：经过点E作EH⊥AD，垂足为H，‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．‎ 则EH⊥平面ABCD，‎ ‎∵VC﹣ABE=VE﹣ABC，‎ ‎∴VC﹣ABE==×EH=≥1，‎ 则EH，‎ 又PA=3，，∴，∴ =m≤2﹣1=1，‎ ‎∴“0＜m＜2”是三棱锥C﹣ABE的体积不小于1的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）‎ ‎14．过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为　4　．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】如图：先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出cosα，二倍角公式求出cos∠PO1Q，三角形PO1Q中，‎ 用余弦定理求出|PQ|．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0 可化为 （x﹣3）2+（y﹣4）2 =5，‎ 圆心（3，4）到原点的距离为5．故cosα=，‎ ‎∴cos∠PO1Q=2cos2α﹣1=﹣，‎ ‎∴|PQ|2=（）2+（）2+2×（）2×=16．∴|PQ|=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎15．已知正数a，b满足a+b=2，则的最小值为　　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】正数a，b满足a+b=2，则a+1+b+1=4．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：正数a，b满足a+b=2，则a+1+b+1=4．‎ 则= [（a+1）+（b+1）] = ≥==，‎ 当且仅当a=，b=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知双曲线C：的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M（0，2），则△PFM周长最小值为　　．‎ ‎【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设双曲线的左焦点为F'，求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2，考虑P在左支上运动到与A，F'共线时，取得最小值，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，‎ 由双曲线C：可得a=1，b=，c=2，‎ 即有F（2，0），F'（﹣2，0），‎ ‎△PFM周长为|PM|+|PF|+|MF|=|PM|+|PF|+2，‎ 由双曲线的定义可得|PF|﹣|PF'|=2a=2，‎ 即有|PM|+|PF|=|PM|+|PF'|+2，‎ 当P在左支上运动到M，P，F'共线时，‎ ‎|PM|+|PF'|取得最小值|MF'|=2，‎ 则有△APF周长的最小值为2+2+2=2+4．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎17．已知直线y=x与双曲线﹣=1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A、B的点，当直线PA、PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA•kPB=　　．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】由，得A点（），B点（﹣，﹣），，，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：由，得=1，解得x=，‎ 设A点（），B点（﹣，﹣），‎ ‎∵P为双曲线上不同于A，B的点，设P（x，y），并且满足﹣=1，‎ ‎，，‎ ‎∴kPA•kPB=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎18．已知p：2x2﹣3x+1＞0，q：，且￢p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】解出二次不等式，由￢p是q的充分不必要条件，利用函数性质得出或不等式，解出即可得到范围 ‎【解答】解：¬p：．‎ 设，‎ 则或，‎ 解得．‎ ‎　‎ ‎19．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosA，ccosA成等差数列．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若a=3，，求的最大值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由等差数列的性质可得2bcosA=acosC+ccosA，由正弦定理，三角形内角和定理化简可得sinB=2sinBcosA，结合sinB≠0，可求，即可得解．‎ ‎（2）利用平面向量的运算，余弦定理可得，进而利用基本不等式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：（1）∵由题意知2bcosA=acosC+ccosA，‎ 由正弦定理知sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，‎ ‎∴sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，‎ 又∵sinB≠0，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴=（）=（c2+b2+2cbcosA）=（c2+b2+cb），‎ 又∵由余弦定理可得：a2=c2+b2﹣2cbcosA=c2+b2﹣cb=9，‎ ‎∴，‎ ‎∵由c2+b2﹣cb=9≥2cb﹣cb=cb，当且仅当c=b时取等号，‎ ‎∴，‎ ‎∴的最大值为．‎ ‎　‎ ‎20．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系D﹣xyz，分别求出平面BEF的法向量为和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．‎ 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，‎ 从而AC⊥平面BDE．…‎ ‎（Ⅱ）解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．‎ 因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，‎ 所以．‎ 由AD=3，可知DE=3，AF=．‎ 则A（3，0，0），F（3，0，），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），‎ 所以=（0，﹣3，），=（3，0，﹣2）．‎ 设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则 ‎，即．‎ 令z=，则=（4，2，）．‎ 因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量， =（3，﹣3，0）．‎ 所以cos．‎ 因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…‎ ‎　‎ ‎21．已知首项为3的数列{an}满足： =3，且bn=．‎ ‎（1）求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎（2）求数列{2n•bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差关系的确定．‎ ‎【分析】（1）计算bn+1﹣bn==；‎ ‎（2）求出bn的通项公式，得出Tn，使用错位相减法求和．‎ ‎【解答】解：（1）∵=3，∴ =，∴bn+1﹣bn=﹣==．‎ ‎∴数列{bn}是等差数列．‎ ‎（2）b1==，∴bn=+（n﹣1）=n+．‎ ‎∴Tn=2•+22•+23•+24•+…+2n•，①‎ ‎①×2得：2Tn=22•+23•+24•+25•+…+2n+1•，②‎ ‎①﹣②得：﹣Tn=1++++…+•2n﹣2n+1•=1﹣2n+1•+•=1﹣2n+1•+•（2n+1﹣4）=﹣﹣•2n+1．‎ ‎∴Tn=+•2n+1．‎ ‎　‎ ‎22．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．‎ ‎（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；‎ ‎（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；‎ ‎（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．‎ ‎【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；‎ ‎（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列 ‎∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）‎ ‎∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可 记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3‎ 由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==‎ ‎∴所求的分布列为 ‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎ 45‎ ‎ 42‎ ‎ P 数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46‎ ‎　‎ ‎23．已知直线（1+3m）x﹣（3﹣2m）y﹣（1+3m）=0（m∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为3．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若，求直线l的斜率的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（I）条件中给出一个直线系，需要先做出直线所过的定点，根据定点是椭圆的焦点，写出椭圆中三个字母系数要满足的条件，解方程组得到结果，写出椭圆的方程．‎ ‎（II）设出直线的方程和两个交点的坐标，把直线与圆锥曲线的方程联立写出判别式的条件和根与系数的关系，根据所给的条件，代入不等式求出k的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由（1+3m）x﹣（3﹣2m）y﹣（1+3m）=0得（x﹣3y﹣1）+m（3x+2y﹣3）=0，‎ 由，解得F（1，0）．‎ 设椭圆C的标准方程为，则 解得，‎ 从而椭圆C的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）　过F的直线l的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，‎ 因点F在椭圆内部必有△＞0，‎ 有，‎ ‎∴|FA|•|FB|=（1+k2）|（x1﹣1）（x2﹣1）|=（1+k2）|x1x2﹣（x1+x2）+1|=‎ 由，得1≤k2≤3，解得或，‎ ‎∴直线l的斜率的取值范围为．‎ ‎　‎ ‎24．在平面直角坐标系中，已知，，P（x，y），M（x，﹣2），N（x，1），若实数λ使得（O为坐标原点），求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】利用向量条件得到（1﹣λ2）x2+y2=2（1﹣λ2），分类讨论得到P点的轨迹类型．‎ ‎【解答】解：由条件知，，，，‎ ‎∴，λ2（x2﹣2）=（x2﹣2）+y2，‎ 化简得（1﹣λ2）x2+y2=2（1﹣λ2），‎ ‎（1）当λ=±1时，方程为y=0，轨迹为一条直线；‎ ‎（2）当λ=0时，方程为x2+y2=2，轨迹为圆；‎ ‎（3）当λ∈（﹣1，0）∪（0，1）时，方程为，轨迹为椭圆；‎ ‎（4）当λ∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，方程为，轨迹为双曲线．‎ ‎　‎