专题18+导数及其应用++导数的应用2-2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试 8页

‎2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试　‎ ‎18 导数及其应用 导数的应用2（恒成立及存在性问题、导数的综合应用） ‎ ‎ 【考点讲解】‎ 一、 具本目标：‎ 1. 导数在研究函数中的应用：‎ ‎①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。‎ ‎②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）.‎ ‎2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。‎ 考点透析：‎ ‎1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； ‎ ‎2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；‎ ‎3.适度关注生活中的优化问题.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；‎ ‎(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.‎ 二、知识概述：‎ 一）函数的单调性：‎ ‎1.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果，则函数y=f(x)为增函数；如果f ' (x)<0，则函数y＝f(x)为减函数；如果恒有f ' ( x)＝0，则y=f(x)为常函数.‎ ‎ 2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．‎ ‎3.f(x)在区间I上可导，那么是f(x)为增函数的充分条件，例如f(x)=x3是定义于R的增函数，‎ 但 f '(0)=0，这说明f '(x)>0非必要条件．为增函数，一定可以推出，但反之不一定．‎ ‎4. 讨论可导函数的单调性的步骤：‎ ‎（1）确定的定义域；‎ ‎（2）求，令，解方程求分界点；‎ ‎（3）用分界点将定义域分成若干个开区间；‎ ‎（4）判断在每个开区间内的符号，即可确定的单调性.‎ ‎5.我们也可利用导数来证明一些不等式．如f(x)、g(x)均在[a、b]上连续，(a，b)上可导，那么令 h(x)＝f(x)－g(x)，则h(x)也在[a，b]上连续，且在(a，b)上可导，若对任何x∈(a，b)有h '(x)>0且 h(a)≥0，则当x∈(a，b)时 h(x)>h(a)=0，从而f(x)>g(x)对所有x∈(a，b)成立．‎ 二）函数的极、最值：‎ ‎1．函数的极值 ‎ (1)函数的极小值：‎ 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．‎ ‎(2)函数的极大值：‎ 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．‎ 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．‎ ‎2．函数的最值 ‎ (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．‎ ‎(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．‎ ‎【真题分析】‎ ‎1.【优选题】若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.‎ ‎ ‎ ‎【答案 】 ‎ ‎2.【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．‎ ‎【解析】本题考点是函数的零点、函数的单调性与最值的综合应用.‎ 由题意可求得原函数的导函数为解得，因为函数在上有且只有一个零点，且有，所以有，因此有，函数在上单调递增，在上单调递减，所以有，，. ‎ 令，∴.‎ ‎，‎ ‎∴在上单调递减， ‎ ‎∴得，．‎ ‎7.【2018山东模拟】设函数 ‎（Ⅰ）当曲线处的切线斜率.‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；‎ ‎（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且.若对任意的，恒成立，求m的取值范围.‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 极大值 在和内减函数，在内增函数。‎ 函数在处取得极大值，且=.‎ 函数在处取得极小值，且=.‎ ‎（3） 由题设， ‎ 所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得 因为.‎ 若，而，不合题意 若则对任意的有 则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得 .‎ 综上，m的取值范围是. ‎ ‎【答案】D ‎3.若函数有两个零点，则的取值范围（ ）‎ A. 　 B. C. 　 　 D.‎ ‎【解析】考查函数，则问题转化为曲线与直线有两个公共点，‎ 则，则，‎ 当时，，‎ 当时，，，，则，‎ 当，，，，则，‎ 此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 同理，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 因此函数在处取得极小值，亦即最小值，即，‎ 由于函数有两个零点，‎ 结合图象知，解得，故选A.‎ ‎【答案】A ‎4.设函数 ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.‎ ‎（Ⅱ）由，得，‎ ‎ 若，则当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ ‎ 若，则当时，，函数单调递增，‎ ‎ 当时， ，函数单调递减，‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，‎ 即时，函数内单调递增，‎ 若，则当且仅当，‎ 即时，函数内单调递增，‎ 综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.‎ ‎5.已知函数，其中.‎ 若在x=1处取得极值，求a的值；‎ 求的单调区间；（Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围.‎ ‎①当时，在区间∴的单调增区间为 ‎②当时，‎ 由 ‎∴‎ ‎（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）①知，‎ 当时，由（Ⅱ）②知，在处取得最小值 综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是 ‎6.设．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若当时恒成立，求的取值范围 ‎【解析】‎ ‎（2）根据上一步知函数在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，又，所以在区间上 要使恒成立，只需即可.‎ ‎【答案】（1）增区间为， 单调减区间为（2） ‎