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- 2021-06-23 发布
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大庆一中高三年级上学期期末考试
数学(理)试卷
出题人:巩玲 审题人:许昊宁
一、选择题: 本大题共12小题, 每小题5分, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 如果复数是实数,则实数( )
A. B. 1 C. D.
2. 集合,,则( )
A. B. C. D.
3. 已知向量 若,则( )
A. 1 B. C. D.2
4. 已知 则( )
A. B. C. D.
5. 要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有点的( )
A. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
B.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
6. 已知等比数列中,各项都是正数,且成等差数列,则( )
A. B. C. D.
7. 曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D. 1
8. 给出下列说法,其中正确的个数是( )
① 命题“∀x∈R,x2+x+1>0”的否定是:“∃x0∈R,x02+x0+10”;
② 命题“若x = y,则sinx = siny”的否命题是:“若x = y,则sinxsiny”;
③ “7<k<9”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件;
④ “”是“与平行”的充要条件.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2,点P是C1与C2的一个公共点,是一个以为底边的等腰三角形,, 椭圆C1的离心率为,则双曲线C2的离心率是( )
A. 2 B. 3 C. D.
10. 已知是单位圆上的两点(为圆心),,点是线段上不与重合的动点.是圆的一条直径,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11. 函数是定义在R上的奇函数,对任意两个不相等的正数,都有,记,则( )
A. B. C. D.
12. 已知函数的两个极值点分别为x1,x2,且,,记分别以m,n为横、纵坐标的点表示的平面区域为D,若函数
的图象上存在区域D内的点,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13. 函数,则的值为 ___ ___ .
14. 已知M是抛物线上一点,F为其焦点,点A在圆C:上,则的最小值为 .
15. 已知定义在R上的奇函数f (x)满足数列前n项和为,且,则= .
16. 函数,关于x的方程的实根个数为 个.
三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知向量,,函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间;
(2)已知分别为内角的对边,其中为锐角,,且,
求的面积.
18.(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{an }满足,且是的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若, 且是数列{bn}的前n项和,求使成立的最小正整数n的值.
19.(本小题满分12分)四棱锥中,底面,且,,.
(1)求证:平面平面;
(2) 若M为线段PC上一点,且,求线段AM与
平面PBC所成角的正弦值.
20.(本小题满分12分)已知 分别是椭圆C:的左、右焦点,P在椭圆上且到两个焦点 的距离之和为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如图,动直线与椭圆C有且仅有一个公共点,作 分别交直线于M、N两点,求四边形的面积S的最大值.
21.(本小题满分12分)已知函数
(1)若函数满足,且在定义域内恒成立,求实数b的取值范围;
(2)若函数在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围;
(3)当时,试比较与的大小.
选考题:请考生从第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,已知点,直线 ( t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,直线和曲线C的交点为A、B.
(1)求直线和曲线C的普通方程;
(2)求的值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)若=1,求不等式的解集;
(2)若关于x的不等式恒成立,求实数的取值范围.
高三年级上学期期末数学(理)试卷——答案
一. 选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
D
C
A
A
B
B
A
C
B
二.填空题:13. 14. 5 15. 3 16. 10
三.解答题:
17.解析:(1)
17.
周期为T=
令 ,解得
所以f(x)的单调递减区间为:
(2),因为, 所以,
又由余弦定理得:,则, 从而.
18.解析:解:(1)∵an+12-an+1an-2an2=0,∴(an+1+an)(an+1-2an)=0,
∵数列{an}的各项均为正数, ∴an+1+an>0, ∴an+1-2an=0,
即an+1=2an,所以数列{an}是以2为公比的等比数列.
∵a3+2是a2,a4的等差中项,
∴a2+a4=2a3+4, ∴2a1+8a1=8a1+4,
∴a1=2,
∴数列{an}的通项公式an=2n.
(2)由(1)及得,bn=—n•2n,
;①
;②
①-②得,Sn=2+22+23+24+25++2n-n•2n+1
即
要使Sn+n•2n+1>50成立,只需2n+1-2>50成立,即2n+1>52,即
∴使Sn+n•2n+1>50成立的正整数n的最小值为5.
19.证明:(1)取为侧棱中点
如图,取的中点,连、、BQ
,为的中位线,
∴且,
∴四边形为平行四边形,则.
只需证平面PCD
∵底面,∴.
又∵,,∴平面.
∵平面,∴
∵,为中点,∴
∵,∴由得平面.
∵,∴平面.
∵平面,∴平面平面.
(2) 如图所示建立空间直角坐标系,
设,则
,B(0,1,0),C(1,2,0),P(0,0,1)
则,.
设平面的法向量为,则
由,.
由,有M
设所求线面角为,则. ∴所求线面角的正弦值为.
20.解析:(1)由
(2)联立,得
直线l和椭圆C有且仅有一个公共点,
即
设
①当k=0时,四边形F1F2NM为矩形,此时S=2
②当时,过F2作F1M的垂线,垂足为P,则
则
同理:
即
综上所述,,即S的最大值为2
21.解析:(1) 由f(1)=2 可知a=1;若恒成立,则恒成立.
令,
,可得在(0,1)上递减,在上递增,
所以 即
(2)
若f(x)在定义域内单增,则 恒成立,即 恒成立
(3)由(I)知在(0,1)上单调递减
∴当时,即
22.解析:(1)直线(t为参数),消去t,可得直线l的普通方程为x﹣y﹣3=0;
曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ,即为ρ2sin2θ=2ρcosθ,
由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得曲线C的普通方程为 y2=2x;
(2)将直线l的标准参数方程代入曲线C:y2=2x中,
可得t2﹣t+4=0,即有t1+t2=,t1t2=4,由于t1>0, t2>0
则|PA|+|PB|= |t1|+|t2| = t1+t2 =.
23.解析:(1)当a=1时,不等式f(x)+|2x-3|>0,化为:|x-1|+|2x-3|>2.
当x≥时,3x>6.解得x>2;当x∈(1,)时,可得-x+2>2,不等式无解;
当x≤1时,不等式化为:4-3x>2,解得x<.则不等式的解集为:
(2)关于x的不等式f(x)<|x-3|恒成立,可得|x-a|-2<|x-3|
设g(x)=|x-a|-|x-3|,即g(x)<2恒成立, 只需令g(x)的最大值小于2即可
|x-a|-|x-3|≤|a-3|,g(x)max=|a-3| 即令:|a-3|<2
a的取值范围为(1,5)