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  • 2021-06-23 发布

高中数学 第二章 推理与证明综合检测 新人教A版选修2-2

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第二章 推理与证明综合检测 时间120分钟,满分150分。‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.锐角三角形的面积等于底乘高的一半;‎ 直角三角形的面积等于底乘高的一半;‎ 钝角三角形的面积等于底乘高的一半;‎ 所以,凡是三角形的面积都等于底乘高的一半.‎ 以上推理运用的推理规则是(  )‎ A.三段论推理     ‎ B.假言推理 C.关系推理 ‎ D.完全归纳推理 ‎[答案] D ‎[解析] 所有三角形按角分,只有锐角三角形、Rt三角形和钝角三角形三种情形,上述推理穷尽了所有的可能情形,故为完全归纳推理.‎ ‎2.数列1,3,6,10,15,…的递推公式可能是(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] B ‎[解析] 记数列为{an},由已知观察规律:a2比a1多2,a3比a2多3,a4比a3多4,…,可知当n≥2时,an比an-1多n,可得递推关系(n≥2,n∈N*).‎ ‎3.有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”,结论显然是错误的,因为(  )‎ A.大前提错误 ‎ B.小前提错误 C.推理形式错误 ‎ D.不是以上错误 ‎[答案] C ‎[解析] 大小前提都正确,其推理形式错误.故应选C.‎ ‎4.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*)时,验证n=1,左边应取的项是(  )‎ A.1 ‎ B.1+2‎ C.1+2+3 ‎ D.1+2+3+4‎ ‎[答案] D ‎[解析] 当n=1时,左=1+2+…+(1+3)=1+2+…+4,故应选D.‎ ‎5.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x都成立,则(  )‎ A.-1<a<1 ‎ B.0<a<2‎ C.-<a< ‎ D.-<a< ‎[答案] C ‎[解析] 类比题目所给运算的形式,得到不等式(x-a)⊗(x+a)<1的简化形式,再求其恒成立时a的取值范围.‎ ‎(x-a)⊗(x+a)<1⇔(x-a)(1-x-a)<1‎ 即x2-x-a2+a+1>0‎ 不等式恒成立的充要条件是 Δ=1-4(-a2+a+1)<0‎ 即‎4a2-‎4a-3<0‎ 解得->0,>>0,‎ 所以+>+>0,所以a时,f(2k+1)-f(2k)=________.‎ ‎[答案] ++…+ ‎[解析] f(2k+1)=1+++…+ f(2k)=1+++…+ f(2k+1)-f(2k)=++…+.‎ ‎15.观察①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=;‎ ‎②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________.‎ ‎[答案] sin2α+cos2(30°+α)+sinαcos(30°+α)= ‎[解析] 观察40°-10°=30°,36°-6°=30°,‎ 由此猜想:‎ sin2α+cos2(30°+α)+sinαcos(30°+α)=.‎ 可以证明此结论是正确的,证明如下:‎ sin2α+cos2(30°+α)+sinα·cos(30°+α)‎ ‎=++[sin(30°+2α)-sin30°]=1+[cos(60°+2α)-cos2α]+sin(30°+2α)- ‎=1+[-2sin(30°+2α)sin30°]+sin(30°+2α)- ‎=-sin(30°+2α)+sin(30°+2α)=.‎ ‎16.设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a、b∈P,都有a+b、a-b、ab、∈P(除数b≠0),则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;数集F={a+b|a,b∈Q}也是数域.有下列命题:‎ ‎①整数集是数域;‎ ‎②若有理数集Q⊆M,则数集M必为数域;‎ ‎③数域必为无限集;‎ ‎④存在无穷多个数域.‎ 其中正确命题的序号是________.(把你认为正确命题的序号都填上)‎ ‎[答案] ③④‎ ‎[解析] 考查阅读理解、分析等学习能力.‎ ‎①整数a=2,b=4,不是整数;‎ ‎②如将有理数集Q,添上元素,得到数集M,则取a=3,b=,a+b∉M;‎ ‎③由数域P的定义知,若a∈P,b∈P(P中至少含有两个元素),则有a+b∈P,从而a+2b,a+3b,…,a+nb∈P,∴P中必含有无穷多个元素,∴③对.‎ ‎④设x是一个非完全平方正整数(x>1),a,b∈Q,则由数域定义知,F={a+b|a、b∈Q}必是数域,这样的数域F有无穷多个.‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本题满分12分)已知:a、b、c∈R,且a+b+c=1.‎ 求证:a2+b2+c2≥.‎ ‎[证明] 由a2+b2≥2ab,及b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.‎ 三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.‎ ‎∴3(a2+b2+c2)≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2.‎ 由a+b+c=1,得3(a2+b2+c2)≥1,‎ 即a2+b2+c2≥.‎ ‎18.(本题满分12分)证明下列等式,并从中归纳出一个一般性的结论.‎ ‎2cos=,‎ ‎2cos=,‎ ‎2cos=,‎ ‎……‎ ‎[证明] 2cos=2·= ‎2cos=2=2· ‎= ‎2cos=2 ‎=2= ‎…‎ ‎19.(本题满分12分)已知数列{an}满足a1=3,an·an-1=2·an-1-1.‎ ‎(1)求a2、a3、a4;‎ ‎(2)求证:数列是等差数列,并写出数列{an}的一个通项公式.‎ ‎[解析] (1)由an·an-1=2·an-1-1得 an=2-,‎ 代入a1=3,n依次取值2,3,4,得 a2=2-=,a3=2-=,a4=2-=.‎ ‎(2)证明:由an·an-1=2·an-1-1变形,得 ‎(an-1)·(an-1-1)=-(an-1)+(an-1-1),‎ 即-=1,‎ 所以{}是等差数列.‎ 由=,所以=+n-1,‎ 变形得an-1=,‎ 所以an=为数列{an}的一个通项公式.‎ ‎20.(本题满分12分)已知函数f(x)=ax+(a>1).‎ ‎(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;‎ ‎(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负根.‎ ‎[解析] (1)证法1:任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x10,且ax1>0,‎ 又∵x1+1>0,x2+1>0,‎ ‎∴f(x2)-f(x1)=- ‎= ‎=>0,‎ 于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+->0,‎ 故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.‎ 证法2:f′(x)=axlna+=axlna+ ‎∵a>1,∴lna>0,∴axlna+>0,‎ f′(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,‎ 即f(x)在(-1,+∞)上为增函数.‎ ‎(2)解法1:设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0‎ 则ax0=-,且00,ax0>0,‎ ‎∴f(x0)>0.‎ 综上,x<0(x≠-1)时,f(x)<-1或f(x)>0,即方程f(x)=0无负根.‎ ‎21.(本题满分12分)我们知道,在△ABC中,若c2=a2+b2,则△ABC是直角三角形.现在请你研究:若cn=an+bn(n>2),问△ABC为何种三角形?为什么?‎ ‎[解析] 锐角三角形 ∵cn=an+bn (n>2),∴c>a, c>b,‎ 由c是△ABC的最大边,所以要证△ABC是锐角三角形,只需证角C为锐角,即证cosC>0.‎ ‎∵cosC=,‎ ‎∴要证cosC>0,只要证a2+b2>c2,①‎ 注意到条件:an+bn=cn,‎ 于是将①等价变形为:(a2+b2)cn-2>cn.②‎ ‎∵c>a,c>b,n>2,∴cn-2>an-2,cn-2>bn-2,‎ 即cn-2-an-2>0,cn-2-bn-2>0,‎ 从而(a2+b2)cn-2-cn=(a2+b2)cn-2-an-bn ‎=a2(cn-2-an-2)+b2(cn-2-bn-2)>0,‎ 这说明②式成立,从而①式也成立.‎ 故cosC>0,C是锐角,△ABC为锐角三角形.‎ ‎22.(本题满分14分)(2010·安徽理,20)设数列a1,a2,…an,…中的每一项都不为0.‎ 证明{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何n∈N+,都有++…+=.‎ ‎[分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识,考查推理论证、运算求解能力.‎ 解题思路是利用裂项求和法证必要性,再用数学归纳法或综合法证明充分性.‎ ‎[证明] 先证必要性.‎ 设数列{an}的公差为d.若d=0,则所述等式显然成立.‎ 若d≠0,则 ++…+ ‎= ‎= ‎== ‎=.‎ 再证充分性.‎ 证法1:(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N+都成立.首先,在等式+= 两端同乘a‎1a2a3,即得a1+a3=‎2a2,所以a1,a2,a3成等差数列,记公差为d,则a2=a1+d.‎ 假设ak=a1+(k-1)d,当n=k+1时,观察如下两个等式 ++…+=,①‎ ++…++=②‎ 将①代入②,得 +=,‎ 在该式两端同乘a1akak+1,得(k-1)ak+1+a1=kak.‎ 将ak=a1+(k-1)d代入其中,整理后,得ak+1=a1+kd.‎ 由数学归纳法原理知,对一切n∈N,都有an=a1+(n-1)d,所以{an}是公差为d的等差数列.‎ 证法2:(直接证法)依题意有 ++…+=,①‎ ++…++=.②‎ ‎②-①得 =-,‎ 在上式两端同乘a1an+1an+2,得a1=(n+1)an+1-nan+2.③‎ 同理可得a1=nan-(n-1)an+1(n≥2)④‎ ‎③-④得2nan+1=n(an+2+an)‎ 即an+2-an+1=an+1-an,‎ 由证法1知a3-a2=a2-a1,故上式对任意n∈N*均成立.所以{an}是等差数列.‎

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