2021版新高考数学一轮复习单元质检卷五平面向量数系的扩充与复数的引入新人教A版 1 7页

单元质检卷五　平面向量、数系的扩充与复数的引入 ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)‎ ‎1.(2019福建漳州质检二,1)‎2+i‎1-i=(　　)‎ A.‎1+3i‎2‎ B.‎3+i‎2‎ ‎ C.‎3-i‎2‎ D.‎‎-1+3i‎2‎ ‎2.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2OA‎+OB+‎OC=0,则有(　　)‎ A.AO=2OD ‎ B.‎AO‎=‎OD C.AO=3OD ‎ D.2‎AO‎=‎OD ‎3.(2019浙江嘉兴一中期中)已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(2m,m+1).若AB‎∥‎OC,则实数m的值为(　　)‎ A.‎1‎‎5‎ B.-‎3‎‎5‎ C.-3 D.-‎‎1‎‎7‎ ‎4.(2019安徽皖西南联盟联考)设向量a与向量b垂直,且a=(2,k),b=(6,4),则下列向量与向量a+b共线的是(　　)‎ A.(1,8) B.(-16,-2) ‎ C.(1,-8) D.(-16,2)‎ 7‎ ‎5.(2019四川成都检测)已知向量a=(‎3‎,1),b=(-3,‎3‎),则向量b在向量a方向上的投影为(　　)‎ A.-‎3‎ B.‎3‎ C.-1 D.1‎ ‎6.已知菱形ABCD的边长为m,∠ABC=60°,则BD‎·‎CD=(　　)‎ A.-‎3‎‎2‎m2 B.-‎3‎‎4‎m2 ‎ C.‎3‎‎4‎m2 D.‎3‎‎2‎m2‎ ‎7.(2019湖南衡阳八中期中)已知向量a=(3,-4),|b|=2,若a·b=5,则a与b的夹角为(　　)‎ A.‎2π‎3‎ B.π‎3‎ C.π‎4‎ D.‎π‎6‎ ‎8.(2019湖南长沙一中模拟一)已知i为虚数单位,复数z满足(1+2i)z=(1+i)(2-i),则|z|=(　　)‎ A.‎10‎‎5‎ B.‎2‎‎2‎ ‎ C.‎2‎ D.‎‎10‎ ‎9.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上存在一点P使AP‎·‎BP有最小值,则P点的坐标是(　　)‎ A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)‎ ‎10.(2019湖南长沙一中期中)已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=(　　)‎ A.‎7‎‎9‎‎,‎‎7‎‎3‎ ‎ B.‎-‎7‎‎3‎,-‎‎7‎‎9‎ ‎ C.‎7‎‎3‎‎,‎‎7‎‎9‎ ‎ 7‎ D.‎‎-‎7‎‎9‎,-‎‎7‎‎3‎ ‎11.(2019天津高考模拟)在△ABC中,AB=2AC=6,BA‎·BC=‎BA‎2‎,点P是△ABC所在平面内的一点,当PA‎2‎‎+PB‎2‎+‎PC‎2‎取得最小值时,AP‎·‎BC=(　　)‎ A.‎3‎‎5‎ B.-9 ‎ C.7 D.-‎‎2‎‎5‎ ‎12.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(‎2‎cos α,‎2‎sin α),则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是(　　)‎ A.0,π‎4‎ ‎ B.‎π‎4‎‎,‎‎5π‎12‎ C.‎5π‎12‎‎,‎π‎2‎ ‎ D.‎π‎12‎‎,‎‎5π‎12‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)‎ ‎13.(2019四川绵阳模拟)已知向量a=(sin 2α,1),b=(cos α,1),若a∥b,0<α<π‎2‎,则α=　　　　　. ‎ ‎14.(2019河南名校联盟压轴卷四,14)已知向量a=(2,-1),b=(-4,2),c=(2,3),则c在a+b上的投影是　　　　　. ‎ ‎15.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则AE‎·‎AF的最大值为　　　　　. ‎ 7‎ ‎16.(2019江西景德镇一中期中)以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使A=90°,则AB的坐标为　　　　　. ‎ 参考答案 单元质检卷五　平面向量、数系的 扩充与复数的引入 ‎1.A　‎2+i‎1-i‎=‎(2+i)(1+i)‎‎(1-i)(1+i)‎=‎2+3i+‎i‎2‎‎2‎=‎1‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎i.故选A.‎ ‎2.B　由2OA‎+OB+‎OC=0,得OB‎+‎OC=-2OA=2AO,即OB‎+‎OC=2OD=2AO,所以OD‎=‎AO,故选B.‎ ‎3.C　因为AB‎∥OC,‎AB=(3,1),OC=(2m,m+1),所以3×(m+1)=2m,∴m=-3.故选C.‎ ‎4.B　因为向量a与向量b垂直,所以2×6+4k=0,解得k=-3,所以a+b=(8,1),则向量(-16,-2)与向量a+b共线,故选B.‎ ‎5.A　向量b在向量a方向上的投影为|b|·cos,∴|b|·cos=a·b‎|a|‎‎=‎‎3‎‎·(-3)+‎‎3‎‎3+1‎=-‎3‎,故选A.‎ ‎6.D 7‎ ‎　如图,设BA=a,BC=b.‎ 则BD‎·‎CD=(BA‎+‎BC)‎·‎BA=(a+b)·a=a2+a·b=m2+m·m·cos60°=m2+‎1‎‎2‎m2=‎3‎‎2‎m2.‎ ‎7.B　由a=(3,-4)得|a|=‎9+16‎=5,‎ ‎∴a·b=|a||b|cos=5×2cos=5,解得cos=‎1‎‎2‎,‎ ‎∴a与b的夹角为π‎3‎,故选B.‎ ‎8.C　由题意得,z=‎(1+i)(2-i)‎‎1+2i‎=‎‎(3+i)(1-2i)‎‎(1+2i)(1-2i)‎=1-i,|z|=‎1‎‎2‎‎+‎‎(-1)‎‎2‎‎=‎2‎.‎故选C.‎ ‎9.C　设P点坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1).‎ AP‎·‎BP‎=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.‎ 当x=3时,AP‎·‎BP有最小值1.∴点P坐标为(3,0).‎ ‎10.D　设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),a+b=(3,-1).‎ ‎∵(c+a)∥b,∴2(y+2)=-3(x+1),①‎ ‎∵c⊥(a+b),∴3x-y=0.②‎ 联立①②两式,得x=-‎7‎‎9‎,y=-‎7‎‎3‎,故选D.‎ ‎11.B　‎∵BA·‎BC=|BA|·|BC|cosB=|BA|2,∴|BC|·cosB=|BA|,‎ ‎∴CA⊥‎AB‎,∠CAB=π‎2‎,以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,‎ 7‎ 则B(6,0),C(0,3).设P(x,y),则PA‎2‎‎+PB‎2‎+‎PC‎2‎=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-3)2=3x2-12x+3y2-6y+45=3[(x-2)2+(y-1)2+10],‎ 所以当x=2,y=1时PA‎2‎‎+PB‎2‎+‎PC‎2‎取最小值,此时AP‎·‎BC=(2,1)·(-6,3)=-9.故选B.‎ ‎12.D　由题意得OA‎=OC+‎CA=(2+‎2‎cosα,2+‎2‎sinα),‎ 所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量OA与向量OB的夹角分别达到最大、最小值,故选D.‎ ‎13‎.‎π‎6‎　向量a=(sin2α,1),b=(cosα,1),若a∥b,则sin2α-cosα=0,‎ 即2sinαcosα=cosα.‎ 又∵0<α<π‎2‎,∴cosα≠0,∴sinα=‎1‎‎2‎,∴α=‎π‎6‎‎.‎ ‎14.-‎5‎‎5‎　a+b=(-2,1),(a+b)·c=-1,所以,c在a+b上的投影是‎(a+b)·c‎|a+b|‎‎=‎‎-1‎‎5‎=-‎‎5‎‎5‎‎.‎ ‎15‎.‎‎9‎‎2‎　以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,‎ 则E2,‎1‎‎2‎.设F(x,y),则0≤x≤2,0≤y≤1,则AE‎·‎AF=2x+‎1‎‎2‎y,‎ 7‎ 令z=2x+‎1‎‎2‎y,当z=2x+‎1‎‎2‎y过点(2,1)时,AE‎·‎AF取最大值‎9‎‎2‎‎.‎ ‎16.(-2,5)或(2,-5)　设B(x,y),OA=(5,2),AB=(x-5,y-2),因为△OAB是等腰直角三角形,且A=90°,‎ 所以OA‎·‎AB=0,|OA|=|AB|,‎ 即‎5(x-5)+2(y-2)=0,‎‎(x-5‎)‎‎2‎+(y-2‎‎)‎‎2‎‎=‎29‎.‎ 解方程组得x=3,‎y=7,‎或x=7,‎y=-3,‎所以AB=(2,-5)或AB=(-2,5).‎ 7‎