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- 2021-06-23 发布
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2019-2020学年江苏省南通市通州区、海安县高二上学期期末数学试题
一、单选题
1.函数在[0,π]上的平均变化率为( )
A.1 B.2 C.π D.
【答案】C
【解析】根据平均变化率的公式,计算出平均变化率.
【详解】
平均变化率为.
故选:C
【点睛】
本小题主要考查平均变化率的计算,属于基础题.
2.命题:“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】D
【解析】根据全称命题的否定是特称命题的知识选出正确选项.
【详解】
由于原命题是全称命题,其否定是特称命题,注意到否定结论而不是否定条件,所以AC选项错误,D选项正确.
故选:D
【点睛】
本小题主要考查全称命题与特称命题,考查全称命题的否定,属于基础题.
3.已知直线l的方向向量=(﹣1,1,2),平面的法向量=(,,﹣1).若l∥,则实数的值为( )
A.﹣2 B. C. D.
【答案】C
【解析】由于线面平行,所以,利用向量数量积的坐标运算列方程,解方程求得的值.
【详解】
由于,所以,即,解得.
故选:C
【点睛】
本小题主要考查线面平行的向量表示,考查空间向量数量积的坐标运算,属于基础题.
4.椭圆以坐标轴为对称轴,经过点(3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的标准方程为( )
A. B.
C.或 D.或
【答案】C
【解析】分成或两种情况,求得椭圆的标准方程.
【详解】
当椭圆焦点在轴上时,,则,所以椭圆方程为.
当椭圆焦点在轴上时,,则,所以椭圆方程为.
故选:C
【点睛】
本小题主要考查椭圆方程的求法,考查椭圆长轴、短轴关系.
5.已知a,b为互不相等的正实数,则下列四个数中最大的数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令,代入选项,由此判断出最大的数.
【详解】
令,则,其中最大.
由于为互不相等的正实数,所以所以.而,所以.而.所以最大.
故选:B
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式比较大小,属于基础题.
6.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分, 光源放在焦点F处.己知灯口直径为60cm,光源距灯口的深度为40cm,则光源到反射镜的顶点的距离为( )
A.5cm B.10cm C.15cm D.20cm
【答案】A
【解析】建立平面直角坐标系,求得抛物线的方程,由此求得光源到反射镜的顶点的距离.
【详解】
以抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示,设,则抛物线上一点的坐标为,代入抛物线方程得,解得,所以光源到反射镜的顶点的距离为.
故选:A
【点睛】
本小题主要考查抛物线的标准方程,考查数形结合的数学思想方法,考查数学在实际生活中的应用,属于基础题.
7.直线能作为下列函数图象的切线的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对四个选项逐一分析函数的导函数的值能否为,由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项,,切线的斜率不可能为,故A选项错误.
对于B选项,,切线的斜率不可能为,故B选项错误.
对于C选项,,故切线的斜率可能为,故C选项正确.
对于D选项,,切线的斜率不可能为,故D选项错误.
故选:C
【点睛】
本小题主要考查函数导数的运算,考查切线的斜率,属于基础题.
8.已知x,y均为正实数,且x+y=1,若的最小值为9,则正实数a的值为( )
A.2 B.4 C.8 D.80
【答案】B
【解析】利用“的代换”的方法,利用基本不等式,以
的最小值为9列式,由此求得的值.
【详解】
依题意,,解得.
故选:B
【点睛】
本小题主要考查基本不等式求最值,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.
9.设U是全集,A,B均是非空集合,则“存在非空集合C,使得CA,BC”是“AB=”成立的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】将两个条件相互推导,根据能否推导的情况判断充分、必要条件.
【详解】
当“存在非空集合C,使得CA,BC”时,如,但,所以不能推出“AB=”.
当“AB=”时,则的非空子集的补集,必包含,也即“存在非空集合C,使得CA,BC”.
故“存在非空集合C,使得CA,BC”是“AB=”成立的必要不充分条件.
故选:C
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查集合子集、补集等知识的运用,属于基础题.
10.设等比数列共有2n+1()项,奇数项之积为S,偶数项之积为T,若S,T{100,120},则=( )
A. B. C.20 D.或
【答案】A
【解析】分别求得奇数项之积,偶数项之积,由此求得的值.
【详解】
设等比数列的首项为,公比为.则
,
,
由于,所以,而为正整数,所以,,即,所以.
故选:A
【点睛】
本小题主要考查等比数列的通项公式,考查分析、思考与解决问题的能力,考查运算求解能力,属于中档题.
二、多选题
11.设,,是空间一个基底,则( )
A.若⊥,⊥,则⊥
B.则,,两两共面,但,,不可能共面
C.对空间任一向量,总存在有序实数组(x,y,z),使
D.则+,+,+一定能构成空间的一个基底
【答案】BCD
【解析】根据基底的概念,对选项逐一分析,由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项,与都垂直,夹角不一定是,所以A选项错误.
对于B选项,根据基底的概念可知,,两两共面,但,,不可能共面.
对于C选项,根据空间向量的基本定理可知,C选项正确.
对于D选项,由于,,是空间一个基底,所以,,不共面.假设+,+,+共面,设,化简得,即,所以,,共面,这与已知矛盾,所以+,+,+
不共面,可以作为基底.所以D选项正确.
故选:BCD
【点睛】
本小题主要考查平面向量基本定理,考查基底的概念,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.
12.已知双曲线C:,则( )
A.双曲线C的离心率等于半焦距的长
B.双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C.双曲线C的一条准线被圆x2+y2=1截得的弦长为
D.直线y=kx+b(k,bR)与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2
【答案】ACD
【解析】根据双曲线的几何性质,直线和双曲线的位置关系,直线和圆的位置关系等知识对选项逐一分析,由此确定正确选项.
【详解】
双曲线焦点在轴上,且,渐近线为,准线方程为.
对于A选项,双曲线的离心率为,所以A选项正确.
对于B选项,双曲线的渐近线为,与曲线的渐近线不相同,故B选项错误.
对于C选项,双曲线的一条准线方程为代入,解得,所以弦长为,所以C选项正确.
对于D选项,直线与双曲线的公共点个数可能为,故D选项正确.
故选:ACD
【点睛】
本小题主要考查双曲线的几何性质,考查直线和圆相交所得弦的弦长,考查直线和双曲线的位置关系,属于基础题.
13.设等差数列的前n项和为,公差为d.已知,,,则( )
A. B.
C.时,n的最小值为13 D.数列中最小项为第7项
【答案】ABCD
【解析】将已知条件化简,根据判断出.由此判断A是否正确.
利用将已知条件转化为的形式列不等式组,解不等式组求得的取值范围.由此判断B是否正确.
利用,判断出时,的最小值,由此判断C是否正确.
根据数列中项的符号和分子分母的变化规律,判断D是否正确.
【详解】
依题意得,而,所以,A选项正确.且,解得,B选项正确.由于,而,所以时,的最小值为.由上述分析可知,时,,时,;当时,,当时,.所以当时,,,且当时,为递增数列,为正数且为递减数列,所以数列中最小项为第7项.
故选:ABCD
【点睛】
本小题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式,考查数列的单调性,考查分析、思考与解决问题的能力,属于中档题.
三、填空题
14.已知函数,是函数的导函数.若,则实数a的值为_______.
【答案】
【解析】利用列方程,解方程求得的值.
【详解】
依题意,,由得.
故答案为:
【点睛】
本小题主要考查导数的计算,属于基础题.
15.已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点的距离之和为3m,则该椭圆的离心率为_______.
【答案】
【解析】根据题意求得,由此求得椭圆的离心率.
【详解】
依题意可知,所以椭圆离心率为.
故答案为:
【点睛】
本小题主要考查椭圆离心率的计算,属于基础题.
16.今年10月,宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组,最高时速为160km/h.假设“绿巨人”开出站一段时间内,速度v(m/s)与行使时间t(s)的关系v=0.4t+0.6t2,则出站后“绿巨人”速度首次达到24m/s时加速度为_______(m/s2).
【答案】
【解析】先求得时对应的时间,然后利用导数求得此时的加速度.
【详解】
当时,,解得(负根舍去).,当时,.
故答案为:
【点睛】
本小题主要考查导数的计算,考查数学在实际生活中的应用,属于基础题.
17.如图,△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=30°.△ABD中,∠ADB=90°,∠ABD=45°,且AC=1.将△ABD沿边AB折叠后,
(1)若二面角C—AB—D为直二面角,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为_______;
(2)若二面角C—AB—D的大小为150°,则线段CD的长为_______.
【答案】
【解析】作出二面角的平面角.
(1)当二面角为直角时,判断出直线与平面所成的角,解直角三角形求得线面角的正切值.
(2)当二面角大小为时,结合余弦定理进行解三角形,由此求得的长.
【详解】
依题意ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=30°.△ABD中,∠ADB=90°,∠ABD=45°,且AC=1.所以,.设分别是的中点,所以,
,所以是二面角的平面角,.
(1)当二面角为直角时,由于,根据面面垂直的性质定理可知平面,所以是直线与平面所成的角.在中.
(2)当二面角大小为时,即,在三角形中,由余弦定理得.在三角形和三角形中,,由余弦定理得,,.
故答案为:(1). (2).
【点睛】
本小题主要考查根据二面角求线面角、线段长度,考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查余弦定理,属于中档题.
四、解答题
18.已知命题p:方程表示焦点在y轴的椭圆;命题q:关于x
的不等式x2﹣mx≤2m2(m>0)的解集中恰有两个正整数解.
(1)若p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)判断p是q成立什么条件?并说明理由.
【答案】(1);(2)命题是命题成立的必要不充分条件,理由见解析.
【解析】(1)利用焦点在轴上的椭圆的条件,求得为真命题时,的取值范围.
(2)求得命题中的取值范围,由此判断是成立的必要不充分条件.
【详解】
(1)由于方程表示焦点在y轴的椭圆,所以,记得.所以当为真命题时,.
(2)不等式,即,由于,所以不等式解得,由于不等式的解集中恰有两个正整数解,所以,解得.所以当为证明题时,.所以命题是命题成立的必要不充分条件.
【点睛】
本小题主要考查椭圆的焦点与标准方程,考查一元二次不等式的解法,考查充分、必要条件的段,属于基础题.
19.已知数列满足:,前n项和,.
(1)求实数p的值及数列的通项公式;
(2)在等比数列中,,.若的前n项和为,求证:数列为等比数列.
【答案】(1).(2)详见解析.
【解析】(1)利用求得的值.利用求得数列的通项公式.
(2)利用基本元的思想求得等比数列的首项和公比,由此求得,进而证得是等比数列.
【详解】
(1)依题意,所以.所以.当时,.也符合上式,所以.
(2)设等比数列的公比为,由,得①,由,得②,联立①②解得,所以,所以.所以当时,,又,所以数列是以为首项,为公比的等比数列.
【点睛】
本小题主要考查已知求,考查等比数列通项公式的基本量计算,考查等比数列前项和公式,考查等比数列的证明,属于中档题.
20.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的焦点F在y轴上,其准线与双曲线的下准线重合.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设A(,)(>0)是抛物线上一点,且AF=,B是抛物线的准线与y轴的交点.过点A作抛物线的切线l,过点B作l的平行线l′,直线l′与抛物线交于点M,N,求△AMN的面积.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)根据双曲线的下准线求得抛物线的准线方程,由此求得抛物线的标准方程.
(2)根据抛物线的定义求得点的坐标,由此求得切线的方程,求得点的坐标,进而求得直线的方程,由此求得弦长,利用点到直线距离公式求得到直线的距离,进而求得三角形的面积.
【详解】
(1)双曲线的下准线方程为.设抛物线的标准方程为,由题意,,所以,所以抛物线的标准方程为.
(2)由,得,所以.由即,得,所以抛物线在点处的切线的斜率为,所以直线的方程为,即.因为抛物线的准线与轴的交点的坐标为,所以直线的平行线的方程为,由消去得.设的横坐标分别为,则,所以.点到直线的距离为,所以.
【点睛】
本小题主要考查双曲线的准线方程,考查抛物线的定义和标准方程,考查抛物线的切线方程的求法,考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线中的三角形面积的求法,属于中档题.
21.如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,N为AD的中点.
(1)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(2)点M在线段PC上且满足,直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求实数的值.
【答案】(1);(2).
【解析】以为空间坐标原点建立空间直角坐标系.
(1)利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.
(2)由求得,结合平面的法向量,利用直线与平面所成角的正弦值列方程,解方程求得的值.
【详解】
(1)因为平面,平面,所以,又因为,所以两两垂直.以为空间坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.由,为的中点,得,.所以,设异面直线与所称的角的大小为,则.所以异面直线与所成角的余弦值为.
(2)设平面的法向量,因为,由得,取,得,所以.
因为,所以,所以.依题意
,化简得,解得或,由于在线段上,所以.
【点睛】
本小题主要考查线线角的求法,考查根据线面角求参数值,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.
22.设等差数列的公差d大于0,前n项的和为.已知=18,,,成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)若对任意的,都有k(+18)≥恒成立,求实数k的取值范围;
(3)设().若s,t,s>t>1,且,求s,t的值.
【答案】(2);(2);(3)
【解析】(1)结合等比中项的性质列方程,将已知条件转化为的形式列方程组,解方程组求得,由此求得的通项公式.
(2)由(1)求得,将不等式分离常数,利用换元法,结合基本不等式,求得的取值范围.
(3)求得的表达式,利用判断出数列的项的大小关系,由此确定的值.
【详解】
(1)由于成等比数列,所以,依题意有
,由于,故方程组解得,所以.即的通项公式为.
(2)由(1)得,由于对任意的,都有恒成立,所以对任意的恒成立.
设,令,则.因为,当且仅当时等号成立,所以的最大值为,即的最大值为,此时,所以实数的取值范围是.
(3)由条件,,则,所以.因为,所以.即符合条件的的值分别为.
【点睛】
本小题主要考查等比中项的性质,考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算,考查不等式恒成立问题的求解,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.
23.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:(a>b>0)的离心率为,且椭圆E的短轴的端点到焦点的距离等于2.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)己知A,B分别为椭圆E的左、右顶点,过x轴上一点P(异于原点)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆E相交于C,D两点,且直线AC与BD相交于点Q.①若k=1,求线段CD中点横坐标的取值范围;②判断是否为定值,并说明理由.
【答案】(1);(2)①;②为定值,理由见解析
【解析】(1)根据离心率和短轴的端点到焦点的距离列方程组,解方程组求得的值,由此求得椭圆的标准方程.
(2)①当时,设直线的方程为,联立直线的方程和椭圆的方程,利用判别式列不等式求得的取值范围.利用韦达定理以及中点坐标公式求得中点的横坐标,根据的取值范围,求得中点的横坐标的取值范围.
②将两点的坐标并代入椭圆方程进行化简.设直线的方程为,求得点的坐标,联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理.利用直线和直线的方程进行化简,求得点的横坐标,由此求得
【详解】
(1)由于椭圆离心率为,且椭圆E的短轴的端点到焦点的距离等于2,所以,解得,所以椭圆的标准方程为.
(2)①当时,设直线的方程为,,中点坐标为,由,得.所以.由,解得.故中点横坐标为,当时,即的中点为原点时,与重合,不满足条件.所以线段中点横坐标的取值范围是.
②为定值,理由如下:因为分别为椭圆的左右顶点,所以,因为在椭圆上,所以,所以,所以.
设直线的方程为,则.由得,所以,,也是要,又直线与直线的方程分别为与,两方程相除得,解得,所以为定值.
【点睛】
本小题主要考查椭圆的离心率和标准方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查直线和椭圆交点坐标,考查直线和直线交点坐标,考查椭圆中的定值问题,考查运算求解能力,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.