2019-2020学年安徽省黄山市屯溪第一中学高二上学期期中考试数学试题 word版 10页

屯溪一中2019-2020学年高二第一学期期中考试数学试卷 一、选择题 ：(本大题共12小题 ，每小题5分，共60分) ‎ ‎1.已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝ (　　)．‎ ‎ A．－1 B．‎2 C．0或－2 D．－1或2‎ ‎2．如图，在斜三棱柱ABC－A1B‎1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)． ‎ A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 ‎3.设b、c表示两条直线，a、b 表示两个平面，下列命题中真命题是 A．若ba ,c∥a，则b∥c B．若ba,b∥c，则c∥a ‎ C．若c∥a，c⊥b，则a⊥b D．若c∥a，a⊥b，则c⊥b ‎ ‎4.已知直线、，平面、,给出下列命题:‎ ‎①若，且，则 ②若，且，则 ‎③若，且，则 ④若，且，则 其中正确的命题是(　　)‎ A..①③ B. ②④ C. ③④ D. ①④‎ ‎5．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是 (　　)．‎ ‎ A. B.∪ ‎ C．(－∞，1)∪ D．(－∞，－1)∪ ‎6.给出下面四个命题：其中正确的命题是(　　)‎ ‎ ①过平面外一点，作与该平面成角的直线一定有无穷多条 ‎ ②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行 ‎ ③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行 ‎ ④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 A. ②③ B. ②④ C. .①②③ D. ①②④‎ ‎7．已知—l—β是大小确定的一个二面角，若a、b是空间两条直线，则能使a、b所成角的为定值的一个条件是(　　)‎ A．a//且b//β B．a//且b⊥β C．a⊥且b//β D．a⊥且b⊥β ‎8. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于 (　　)．‎ A．1 B. C. D. ‎9.若二面角为，直线，直线，则直线与所成的角取值范围是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．正方体ABCD—的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（ ）‎ A．2 B．‎3 C. 4 D. 5 ‎ ‎11.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 ‎ 棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 (　　)‎ A．30° B．45° C. 60° D. 90° ‎ ‎12．某几何体的三视图如图所示，当a＋b取 最大值时，这个几何体的体积为 (　　)‎ A． B. C. D. 二. 填空题（本大题共4小题 ，每小题5分，共20分）‎ ‎13．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与 bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是________．‎ ‎14．点A(1，1)到直线xcosθ＋ysinθ－2＝0的距离的最大值是 .‎ ‎15．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点E为AA1的中点，在对角面BB1D1D上取一点M，使AM＋ME最小，其最小值为________．‎ ‎16.如图，正方体，则下列四个命题： ①在直线上运动时，三棱锥的体积不变；②在直线上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变;③在直线上运动时，二面角的大小不变；④M是平面上到点D 和距离相等的点，则M点的轨迹是过点的直线.‎ 其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号）.‎ 三．解答题（本大题共有6小题，总分70分）‎ ‎17.（本题满分10分）设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．‎ ‎(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；‎ ‎(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．‎ ‎18. （本题满分12分）有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．‎ A C B P ‎19. （本题满分12分）如图，在三棱锥中，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值。；‎ ‎20．（本题满分12分）如图，已知，在空间四边形中，，是的中点. ‎ ‎（1）求证：平面⊥平面；‎ ‎（2）若,求几何体的体积；‎ ‎（3）若为△的重心，试在线段上找一点，使得 ‎∥平面.‎ ‎21. （本题满分12分） 如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是菱形， PO ^ 底面 ABCD ，‎ O、E 分别是 AD、AB 的中点， AB = 6, AP = 5 ， ÐBAD = 60° .‎ ‎（1）求证：平面 PAC ^ 平面 POE ；‎ ‎（2）求直线 PB 与平面 POE 所成角的正弦值；‎ ‎（3）若 F 是边 DC 的中点，求异面直线 BF 与 PA 所成角的余弦值。‎ ‎22. （本题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得PM∥平面BCE？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；‎ ‎（III）求二面角的正切值。‎ 屯溪一中高二第一学期期中考试数学试卷参考答案 一、 选择题 ‎1.D 2.A 3.C 4.D 5.D 6.B 7.D 8.C 9.C 10.C 11.D 12.D 二. 填空题 ‎13.垂直 14. 15. 16. ①③④‎ ‎17.（本题满分10分）设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．‎ ‎(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；‎ ‎(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．‎ 解:(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，当然相等．‎ ‎∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.‎ 当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得＝a－2，即a＋1＝1，‎ ‎∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.‎ 综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.‎ (2) 将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，‎ 所以 或 故 综上可知a的取值范围是(－∞，－1]．‎ ‎18.（本题满分12分）有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．‎ 解　如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为r，则容器内水的体积为,V＝V圆锥－V球＝π(r)2·3r－πr3＝πr3，‎ 将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积为,‎ ‎，‎ 由V＝V′，得h＝r.‎ A C B P A C B D P ‎19. （本题满分12分）如图，在三棱锥中，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值；‎ 证明 ：（Ⅰ） 取中点，连结．‎ ‎∵PA=PB，．‎ ‎∵AC=BC，．‎ A C B E P 平面．Ì PC 平面，‎ ‎ ．‎ ‎（Ⅱ）解 ，，PC=PC ．‎ 又∵， ． 又∵，即，‎ 且， 平面．取中点．‎ 连结． ，．‎ 是在平面内的射影， ．‎ 是二面角的平面角．‎ 在直角三角形ACB中, ∵AB=BC=2, ,AB=. 在等边三角形ABP中,BE=,‎ 在中，，，BE= ，‎ ‎． ‎ 20. ‎（本题满分12分）（1）证明： 连接BD, ∵四边形ABCD 是菱形, AC ^ BD ，‎ 20. ‎ 又∵ OEBD,OE ^ AC ‎∵PO ^ 底面 ABCD, PO ^ AC, OE Ç OP = O， ‎ AC ^ 平面 POE, 又∵AC Ì 平面 PAC,‎ 平面 PAC ^ 平面 POE ‎（2）过点 B 作 BM ^ OE 于 M ， 易证 PO ^ BM,OE, OE Ç OP = O, BM ^ 平面 POE PM 是 PB 在平面 POE 上的射影,ÐBPM 即为所求。‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，由平几知识得BM= ,‎ 又AP=5,OA=3,在直角三角形POA中得OP=4,‎ ‎ 在直角三角形POB中，OB= ,OP=4, PB=,‎ 在中，,‎ ‎，所以 ‎(3)取PB的中点T,AB的中点H,连BF,DH,TH.易证 DH / / BF ,TH / / PA ÐDHT 即为异面直线 BF 与 PA 所成角或其补角,在三角形PDB中,PD=5,DB=6,PB=,‎ ‎ ,‎ ‎ 在三角形PDT中，‎ ‎ , ‎ 所以,在中，,,‎ ‎21．（本题满分12分）如图，已知，在空间四边形中，， 是 的中点. （1）求证：平面⊥平面；（2）若,求几何体的体积；（3）若为△的重心，试在线段上找一点，使得∥平面.‎ ‎ 证明：（1）∵BC=AC，E为AB的中点，∴AB⊥CE.‎ 又∵AD=BD，E为AB的中点∴AB⊥DE. ‎ ‎∵,∴AB⊥平面DCE ‎∵AB平面ABC，∴平面CDE⊥平面ABC.………4分 （2） ‎∵在△BDC中，DC=3，BC=5，BD=4，∴CD⊥BD，………… 5分,‎ 在△ADC中，DC=3，AD=BD=4，AC=BC=5，∴CD⊥AD，∵∴CD⊥平面ABD.所以线段CD的长是三棱锥C-ABD的高。…………6分,‎ 又在△ADB中，DE=,‎ ‎∴VC-ABD……8分 ‎（3）在AB上取一点F，使AF=2FE，则可得GF∥平面CDE…………………9分 ‎ 取DC的中点H，连AH、EH∵G为△ADC的重心，∴G在AH上，且AG=2GH，连FG，则FG∥EH………10分 又∵FG平面CDE， EH平面CDE，∴GF∥平面CDE …………12分 ‎22.如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相 垂直，△是等腰直角三角形，‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得PM∥平面BCE？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；‎ ‎（III）求二面角的正切值。‎ 解：（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，平面 平面，BC⊥AB,所以⊥平面所以⊥.‎ 因为为等腰直角三角形， ，所以 又因为，所以，即⊥,‎ BC Ç BE=B,所以⊥平面。 …………………………4分 ‎（Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面 .取BE的中点N，连接CN,MN，则MN∥＝∥＝PC，所以四边形PMNC为平行四边形，所以PM∥CN， 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内， 所以PM∥平面BCE . ……………………… 8分 另解：取AB的中点T, 连接MT,PT，证明平面MPT平行平面BCE,从而得到PM∥平面BCE .‎ ‎（Ⅲ）∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF平面ABCD =AB,EA平面ABEF,EA⊥AB, ‎ ‎∴ EA⊥平面ABCD，作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。‎ 从而，FG⊥平面ABCD，作GH⊥BD于H，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH，因此，∠FHG为二面角F-BD-A的平面角，‎ 因为FA=FE, ∠AEF=45°,所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.‎ 设AB=1,则AE=1,AF=.FG=AF·sinFAG=‎ 在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,GH=BG·sinGBH=·=‎ 在Rt△FGH中，tanFHG= = ‎ 故二面角F-BD-A的正切值为. ……………………………12分