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- 2021-06-23 发布
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理科数学 第 1页(共 14页) 理科数学第 2页(共 14页)
本试卷共 23题,共 6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码粘区.
2.选择题必须使用 2B铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字
体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在
草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合 2| 4 , 1,0,2,3A x x B R ,则 A B I
A. 2,3 B. 1,2,3 C. 1,0,2 D. 1,0,1,2,3
2.已知复数 z满足 (1 2i) 3 4iz ,其中 i为虚数单位,则 | |z 为
A.1 B. 2 C. 5 D. 5
3.已知双曲线
2
2 1yx
m
的焦距为 4,则该双曲线的渐近线方程为
A. 3 0x y B.3 0x y C. 3 0x y D. 15 0x y
4.已知向量 ,a b
, | | 1a
, | | 2b
, ( )a b a
,则 | 2 |a b
A.4 B. 2 3 C.3 2 D.12
5.已知 , ,a b c是直线, 是平面,给出下列命题:①若 , //a b b c^ ,则 a c^ ;②若 ,a b b c^ ^ ,
则 //a c;③若 , //a b b ^ ,则 a ^ ;④若 , //a b ^ ,则 a b^ ,其中为真命题的是
A.①③ B.①④ C.②④ D.①③④
6.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、
庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥
叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按照干支顺序相配,
构成了“干支纪年法”,其相配顺序为:甲子、乙丑、丙寅癸酉、甲戌、乙亥、丙子
癸未、甲申、乙酉、丙戌癸巳癸亥,60年为一个纪年周期,周而复始,
循环记录.按照“干支纪年法”,今年(公元 2020年)是庚子年,则中华人民共和国成立
100周年(公元 2049年)是
A.己未年 B.辛巳年 C.庚午年 D.己巳年
7.已知 0.80.5a , 0.5log 0.8b , 0.8log 0.5c ,则 , ,a b c的大小关系为
A. a b c B. a c b C.b a c D.c b a
8.早在 17世纪人们就知道用事件发生的“频率”来估计事件的
“概率”.18世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率,
20世 纪 40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算
机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能,这种模拟方
法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法. 如右图所示的程序
框图就是利用随机模拟方法估计圆周率,(其中 ()rand 是
产生[0,1]内的均匀随机数的函数, *kN ),则 π的值约
为
A.
m
k
B.
2m
k
C. 4 m
k
D.
4m
k
9.函数 ( ) ln( 1) ln(1 )f x x x= + + - 的图象大致是
2019—2020 学年高三年级下学期
第五次模拟考试(数学)学科试卷
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分
x
y
O 1 x
y
O 1
x
y
O 1
x
y
O 1
理科数学 第 3页(共 14页) 理科数学第 4页(共 14页)
A. B. C. D.
10.已知
π 2sin( )
6 3
,则
πsin( 2 )
6
A.
1
9
B.
1
9
C.
5
9
D. 4 5
9
11.若函数 ( ) cos sinf x x a x= + 在区间
π π( , )
4 2
是单调函数,则实数 a的取值范围是
A. ( ,0] B. ( ,1] C. ( , 2] D.[ 1,1]
12.如图,三棱柱 1 1 1ABC ABC 的所有棱长都为 4,侧棱 1AA 底面 ABC, , ,P Q R分别
在棱 1 1 1, ,AA AB BC 上, 12, 3AP AQ B R ,过 , ,P Q R三点的平面将三棱柱分为
两部分,下列说法错误的是
A.截面是五边形
B.截面面积为3 15
C.截面将三棱柱体积平分
D.截面与底面所成的锐二面角大小为
π
3
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5分,共 20 分.
13.甲、乙、丙三人参加知识竞赛.赛后,他们三个人预测名次的谈话如下:
甲:“我第二名,丙第一名”;乙:“我第二名,丙第三名”;丙:“我第二名,甲第三名”;
最后公布结果时,发现每个人的预测都只猜对了一半,则这次竞赛第一名的是 .
14.在 ABC△ 中, 60A , 5, 7AB BC ,则 AC .
15.已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a b
a b
的左、右顶点分别为 A B、 ,直线 l过点B且与 x
轴垂直,点 P 是椭圆 C 上异于 A B、 的动点,直线 AP 与直线 l交于点 M ,若
OM PB ,则椭圆的离心率是 .
16.已知函数 2 2( ) (e 2 )e ( 4)x xf x ax a x (e为自然对数的底数,aR ),当 1a
时,函数 ( )f x 有 个零点;若函数 ( )f x 有四个不同零点,则实数 a的取值范围
是 .
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 题~第 21 题为必
考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17.(本题满分 12分)
已知 nS 是数列{ }na 的前 n项和,满足 1 1a , 2 ( 1)n nS n a .
(1)求数列{ }na 的通项公式;
(2)求数列
1{ }
nS
的前 n项和 nT .
18.(本题满分 12分)
一次大型考试后,年级对某学科进行质量分析,随机抽取了 40名学生成绩分组为
[50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从这 40名成绩在[50,60),[90,100]之间的同学中,随机选择三名同学做进一步
调查分析,记 X 为这三名同学中成绩在[50,60)之间的人数,求 X 的分布列及期望 ( )E X ;
(2)(i)求年级全体学生平均成绩 x 与标准差 s的估计值(同一组中的数据用该组区
间的中点值为代表);(精确到1)
(ii)如果年级该学科的成绩服从正态分布 2( , )N ,其中 , 分别近似为(i)中
的 x , s . 若从年级所有学生中随机选三名同学做分析,求这三名同学中恰有两名同学成
绩在区间 (62,95)的概率.(精确到 0.01 )
附: 29 5.385 .
若 2( , )N ,
则 ( ) 0.68,P
理科数学 第 5页(共 14页) 理科数学第 6页(共 14页)
( 2 2 ) 0.96P
19.(本题满分 12分)
如图,在四棱锥 P ABCD 中, PA 平面 ABCD,底面 ABCD为菱形, 4AB ,
60ABC .
(1)求证: PC BD ;
(2)若 PB PD ,求二面角 A PD C 的余弦值.
20.(本题满分 12分)
已知动圆M 过定点 (4,0)N ,且截 y 轴所得弦长为8,设圆心M 的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若 ,A B为曲线C上的两个动点,且线段 AB的中点 P到 y 轴距离 4d ,求 | |AB
的最大值,并求此时直线 AB方程.
21.(本题满分 12分)
已知函数
21( ) cos
2
f x x x .
(1)求 ( )f x 的最小值;
(2)若不等式 cos 2xe x ax 对任意的 0x 恒成立,求实数a的取值范围.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第
一题记分.
22.(本题满分 10分) [选修 4—4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系 xOy中,直线 l的参数方程为
51
5
2 54
5
x t
y t
( t为参数),以坐标原点
O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为 2 cos 2 4ρ θ .
(1)求直线 l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)曲线C与直线 l交于点 ,A B,点 (1, 4)M ,求 MA MB 的值.
23.(本小题满分 10分)[选修 4—5:不等式选讲]
已知函数 ( ) 2 | | 1f x x a x .
(1)当 1a 时,解不等式 ( ) 0f x ;
(2)若对任意 0x , ( ) 0f x 恒成立,求实数a的取值范围.
理科数学 第 7页(共 14页) 理科数学第 8页(共 14页)
2019—2020 学年高三年级第五次模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共计 60 分)
(1)A (2)C (3)C (4)B (5)B (6)D
(7)C (8)D (9)C (10)A (11)B (12)D
二、填空题(每小题 5 分,共计 20 分)
(13) 丙 (14)8 (15) 2
2
(16)3 ; e 2a
三、解答题
17.解:(1) 2 ( 1)n nS n a , 1 12 n nS na 2)(n≥ ,
相减得 12 ( 1)n n na n a na , 1( 1) n nn a na ,
1 1 1
1 1
n na a a
n n
, na n .
(2) 2 ( 1) ( 1)n nS n a n n ,
1 2 1 12( )
( 1) 1nS n n n n
,
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 22(1 )
2 2 3 1 1n
n
nT
S S S n n n
.
18.解:(1)由直方图,40名同学中成绩在[50,60),(90,100]之间的同学的人数均为 4,
X 的所有可能取值为 0,1,2,3
3
4
3
8
1( 0)
14
CP X
C
,
1 2
4 4
3
8
3( 1)
7
C CP X
C
2 1
4 4
3
8
3( 2)
7
C CP X
C
,
3
4
3
8
1( 3)
14
CP X
C
X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
1
14
3
7
3
7
1
14
1 6 6 1( ) 0 1 2 3 1.5
14 14 14 14
E X .
(2)(i) 55 0.1 65 0.3 75 0.4 85 0.1 95 0.1 73x (分),
2 2 2 2 2(55 73) 0.1 (65 73) 0.3 (75 73) 0.4 (85 73) 0.1 (95 73) 0.1
116 2 29 11
s
(ii)由(i),
1 1(62 95) ( 2 ) 0.68 0.96 0.82
2 2
P P ,
记“三名同学中恰有两名同学成绩在区间(62,95)”为事件 A,
则
2 2
3( ) 0.82 0.18 0.36P A C .
19.解:(1)证明:连接 AC 交 BD于点O.
因为 ABCD为菱形,所以 AC BD .
因为 PA 平面 ABCD, BD 平面 ABCD,
所以 PA BD .又由于 PA AC A ,
PA平面 PAC , AC 平面 PAC ,
理科数学 第 9页(共 14页) 理科数学第 10页(共 14页)
所以 BD 平面 PAC ,又因为 PC 平面 PAC ,
所以 PC BD .
(2)解:因为 PA 平面 ABCD,AD 平面 ABCD,AB 平面 ABCD,所以 PA AD ,
PA AB ,所以 PAB PAD△ △ ,即 PB PD .
在菱形 ABCD中, 60ABC ,得 120BAC ,则 4 3BD ,又因为
PB PD ,所以 2 6PB PD .在Rt PAB△ 中, 2 2PA .
取 PC中点 E,连接 EO.在 PAC△ 中,AC中点O,所以 EO // PA.又因为 PA
平面 ABCD,所以 EO 平面 ABCD.在菱形 ABCD中, AC BD .
如图,以点O为坐标原点,分别以向量OB
,OC
,OE
的方向为 x轴,y轴,z轴
的正方向建立空间直角坐标系O xyz .
由题意知, (0,2,0)C , (0, 2,0)A ,
( 2 3,0,0)D , (0, 2,2 2)P ,
所以 (0,0,2 2)AP
, ( 2 3,2,0)AD
,
(2 3,2,0)DC
, (0, 4,2 2)CP
.
设平面 PAD的法向量为 ( , , )m x y z
,
则
0,
0,
AP m
AD m
即
0,
3 0.
z
x y
所以可取 (1, 3,0)m
.
设平面 PCD的法向量为 ( , , )n x y z
,
则
0,
0,
DC n
CP n
即
3 0,
2 2 0.
x y
y z
所以可取 ( 1, 3, 6)n
.
所以
| | 10cos ,
10
m nm n
m n
.所以二面角 A PD C 的余弦值为
10
10
.
20.解:(1)设动圆圆心 ,M x y ,则 2 2 2 24 4x y x ,
化简整理得
2 8y x ,故曲线C的轨迹方程为
2 8y x .
(2)设直线 AB方程为 x my n ,
由 2 8
x my n
y x
消去 x得 2 8 8 0y my n ,
所以
2 2=64 32 0,2 0m n m n ,
1 2 1 28 , 8y y m y y n ,
21 2 1 2 4 4
2 2P
x x y yx m n m n
,
24 4n m ,
2 22 4 2 0m n m ,
2 2m 。
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4 1 64 32AB m y y m y y y y m m n
2 2 2 2 12(1 )(128 64 ) 8 (1 )(2 )m m m m ≤ ,
当且仅当
2 21 2m m ,即
2 1
2
m (满足
2 2m )时,取得最大值,
此时
2 , 2
2
m n ,直线
2: 2 0
2
AB x y .
21.解:(1) 21( ) cos , ( ) ( ) sin , ( ) 1 cos 0
2
f x x x h x f x x x h x x ,
( ) sinf x x x 在 ( , ) 上为增函数,又 (0) 0f ,
O
P
A
B
D
Cx y
z
E
理科数学 第 11页(共 14页) 理科数学第 12页(共 14页)
( ,0)x , (0) 0f , ( )f x 单调递减;
(0, )x , (0) 0f , ( )f x 单调递增,
min( ) (0) 1f x f .
(2)方法 1:①当 1a 时,
2 2
cos 2 1 2 1
2 2
x x xx xe x ax e ax e x ,
设
2
( ) 1
2
x xg x e x ,则 ( ) ( ) 1xp x g x e x , ( ) 1xp x e ,
0x , ( ) 1 0xp x e , ( )g x 单调递增,
又 (0) 0g , ( ) 1 0xg x e x , ( )g x 单调递增,
又 (0) 0g , ( ) 0g x , cos 2 ( ) 0xe x ax g x ,
cos 2xe x ax ,
②当 1a 时, cos 2 1 2 1x x xe x ax e ax e ax ,
设 ( ) 1xh x e ax ,则 ( ) xh x e a ,令 ( ) 0, lnxh x e a x a ,
(0, ln )x a , ( ) 0xh x e a , ( )h x 单调递减,
又 (0) 0h , (0, ln )x a , ( ) 1 0xh x e ax ,
cos 2 0xe x ax ,不合题意.
由①②知实数 a的取值范围是 1a .
方法 2:(分离参数法)
当 0x 时,
0 cos0 2 0e a 成立,
当 0x ,
cos 2cos 2
x
x e xe x ax a
x
,
设
cos 2( )
xe xF x
x
( 0x )
2 2
( sin ) ( cos 2) ( 1) sin cos 2( )
x x xe x x e x x e x x xF x
x x
设 ( ) ( 1) sin cos 2xG x x e x x x ,( 0x ),
( ) cos ( cos ) (1 cos ) 0x xG x xe x x x e x x x ( )G x 单调递增,
又 (0) 0G , ( ) 0G x , ( ) 0F x ,
( )F x 单调递增,
0
( ) lim ( )
x
F x F x
.
0 0 0
cos 2 sinlim ( ) lim lim 1
1
x x
x x x
e x e xF x
x
, 1a .
方法 3:设 ( ) cos 2 ( 0)xg x e x ax x ,
则 ( ) ( ) sinxp x g x e x a ,
( ) cosxp x e x ,
0x , ( ) 0p x , ( )p x 单调递增,
①当 1a 时, ( ) (0)=1 0p x p a ,即 ( ) 0g x ,
( )g x 单调递增, ( ) (0) 0g x g 恒成立,
②当 1a 时, (0) 1 0p a , (ln( 1)) 1 sin(ln( 1)) 0p a a ,
0 (0, ln( 1)]x a ,使 0 0( ) ( ) 0p x g x ,
0(0, ),x x ( ) 0g x , ( )g x 单调递减,
( ) (0) 0g x g ,不合题意。
由①②知实数a的取值范围是 1a .
22.解:(1)曲线 2 2 2 22 2: cos 2 4, (c 4os sin ) 4,C ρ θ θ yρ xθ ;
直线 l的普通方程为 2 6 0x y ,极坐标方程为 2 cos sin 6 0ρ θ ρ θ .
(2)将
51
5
2 54
5
x t
y t
代入
2 2 4x y 中,得
23 18 5 95 0t t ,
1 2
1 2
+ 6 5
95
3
t t
t t
, 1 2,t t 均为正,则 1 2= 6 5MA MB t t .
23.解:(1)当 1a 时, ( ) 2 | | 1 0f x x x ,
理科数学 第 13页(共 14页) 理科数学第 14页(共 14页)
原不等式等价于
2
2 1 0
x
x x
或
20
2 1 0
x
x x
或
0
2 1 0
x
x x
,
解得
3
2
x ,解集为
3{ | }
2
x x .
(2)当0 2x 时, ( ) 2 1 3 ( 1)f x x ax a x ,
依题意有 ( 1) 3 0a x 恒成立,则有2( 1) 3 0a ,
1
2
a ,
当 2x 时, ( ) 2 1 (1 ) 1f x x ax a x ,
依题意有 (1 ) 1 0a x 恒成立,则有1 0a ,且 2(1 ) 1 0a ,
1
2
a ,
综上, a的取值范围是
1( , ]
2
.