吉林省长春市东北师大附中2020届高三数学第五次模拟试题（Word版附答案） 7页

理科数学 第 1页（共 14页） 理科数学第 2页（共 14页） 本试卷共 23题，共 6页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码粘区. 2．选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字 体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在 草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．已知集合    2| 4 , 1,0,2,3A x x B    R ，则 A B I A． 2,3 B． 1,2,3 C． 1,0,2 D． 1,0,1,2,3 2．已知复数 z满足 (1 2i) 3 4iz    ，其中 i为虚数单位，则 | |z 为 A．1 B． 2 C． 5 D． 5 3．已知双曲线 2 2 1yx m   的焦距为 4，则该双曲线的渐近线方程为 A． 3 0x y  B．3 0x y  C． 3 0x y  D． 15 0x y  4．已知向量 ,a b   ， | | 1a   ， | | 2b   ， ( )a b a     ，则 | 2 |a b    A．4 B． 2 3 C．3 2 D．12 5．已知 , ,a b c是直线， 是平面，给出下列命题：①若 , //a b b c^ ，则 a c^ ；②若 ,a b b c^ ^ ， 则 //a c；③若 , //a b b ^ ，则 a ^ ；④若 , //a b ^ ，则 a b^ ，其中为真命题的是 A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④ 6．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、 庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥 叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配， 构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅癸酉、甲戌、乙亥、丙子 癸未、甲申、乙酉、丙戌癸巳癸亥，60年为一个纪年周期，周而复始， 循环记录．按照“干支纪年法”，今年（公元 2020年）是庚子年，则中华人民共和国成立 100周年（公元 2049年）是 A．己未年 B．辛巳年 C．庚午年 D．己巳年 7．已知 0.80.5a  ， 0.5log 0.8b  ， 0.8log 0.5c  ，则 , ,a b c的大小关系为 A． a b c  B． a c b  C．b a c  D．c b a  8．早在 17世纪人们就知道用事件发生的“频率”来估计事件的 “概率”．18世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率， 20世 纪 40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算 机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方 法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法. 如右图所示的程序 框图就是利用随机模拟方法估计圆周率，（其中 ()rand 是 产生[0,1]内的均匀随机数的函数， *kN ），则 π的值约 为 A． m k B． 2m k C． 4 m k  D． 4m k 9．函数 ( ) ln( 1) ln(1 )f x x x= + + - 的图象大致是 2019—2020 学年高三年级下学期 第五次模拟考试（数学）学科试卷 考试时间：120 分钟 试卷满分:150 分 x y O 1 x y O 1 x y O 1 x y O 1 理科数学 第 3页（共 14页） 理科数学第 4页（共 14页） A． B． C． D． 10．已知 π 2sin( ) 6 3   ，则 πsin( 2 ) 6   A． 1 9 B． 1 9  C． 5 9  D． 4 5 9 11．若函数 ( ) cos sinf x x a x= + 在区间 π π( , ) 4 2 是单调函数，则实数 a的取值范围是 A． ( ,0] B． ( ,1] C． ( , 2] D．[ 1,1] 12．如图，三棱柱 1 1 1ABC ABC 的所有棱长都为 4，侧棱 1AA 底面 ABC， , ,P Q R分别 在棱 1 1 1, ,AA AB BC 上， 12, 3AP AQ B R   ，过 , ,P Q R三点的平面将三棱柱分为 两部分，下列说法错误的是 A．截面是五边形 B．截面面积为3 15 C．截面将三棱柱体积平分 D．截面与底面所成的锐二面角大小为 π 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分. 13．甲、乙、丙三人参加知识竞赛．赛后，他们三个人预测名次的谈话如下： 甲：“我第二名，丙第一名”；乙：“我第二名，丙第三名”；丙：“我第二名，甲第三名”； 最后公布结果时，发现每个人的预测都只猜对了一半，则这次竞赛第一名的是 ． 14．在 ABC△ 中， 60A  ， 5, 7AB BC  ，则 AC  ． 15．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a b a b     的左、右顶点分别为 A B、 ，直线 l过点B且与 x 轴垂直，点 P 是椭圆 C 上异于 A B、 的动点，直线 AP 与直线 l交于点 M ，若 OM PB ，则椭圆的离心率是 ． 16．已知函数 2 2( ) (e 2 )e ( 4)x xf x ax a x    （e为自然对数的底数，aR ），当 1a  时，函数 ( )f x 有 个零点；若函数 ( )f x 有四个不同零点，则实数 a的取值范围 是 ． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 题～第 21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17．（本题满分 12分） 已知 nS 是数列{ }na 的前 n项和，满足 1 1a  ， 2 ( 1)n nS n a  ． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）求数列 1{ } nS 的前 n项和 nT ． 18．（本题满分 12分） 一次大型考试后，年级对某学科进行质量分析，随机抽取了 40名学生成绩分组为 [50, 60)， [60, 70)， [70, 80)， [80, 90)， [90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图． （1）从这 40名成绩在[50,60)，[90,100]之间的同学中，随机选择三名同学做进一步 调查分析，记 X 为这三名同学中成绩在[50,60)之间的人数，求 X 的分布列及期望 ( )E X ； （2）（i）求年级全体学生平均成绩 x 与标准差 s的估计值（同一组中的数据用该组区 间的中点值为代表）；（精确到1） （ii）如果年级该学科的成绩服从正态分布 2( , )N   ，其中 ， 分别近似为（i）中 的 x ， s . 若从年级所有学生中随机选三名同学做分析，求这三名同学中恰有两名同学成 绩在区间 (62,95)的概率.(精确到 0.01 ) 附： 29 5.385 . 若 2( , )N   ， 则 ( ) 0.68,P          理科数学 第 5页（共 14页） 理科数学第 6页（共 14页） ( 2 2 ) 0.96P          19．（本题满分 12分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD，底面 ABCD为菱形， 4AB  ， 60ABC  ． （1）求证： PC BD ； （2）若 PB PD ，求二面角 A PD C  的余弦值． 20．（本题满分 12分） 已知动圆M 过定点 (4,0)N ，且截 y 轴所得弦长为8，设圆心M 的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）若 ,A B为曲线C上的两个动点，且线段 AB的中点 P到 y 轴距离 4d  ，求 | |AB 的最大值，并求此时直线 AB方程． 21．（本题满分 12分） 已知函数 21( ) cos 2 f x x x  ． （1）求 ( )f x 的最小值； （2）若不等式 cos 2xe x ax   对任意的 0x  恒成立，求实数a的取值范围． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第 一题记分. 22．（本题满分 10分） [选修 4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 51 5 2 54 5 x t y t         （ t为参数），以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 cos 2 4ρ θ  ． （1）求直线 l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； （2）曲线C与直线 l交于点 ,A B，点 (1, 4)M  ，求 MA MB 的值． 23．（本小题满分 10分）[选修 4—5：不等式选讲] 已知函数 ( ) 2 | | 1f x x a x    . （1）当 1a  时，解不等式 ( ) 0f x  ； （2）若对任意 0x  ， ( ) 0f x  恒成立，求实数a的取值范围． 理科数学 第 7页（共 14页） 理科数学第 8页（共 14页） 2019—2020 学年高三年级第五次模拟考试 理科数学参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共计 60 分） （1）A （2）C （3）C （4）B （5）B （6）D （7）C （8）D （9）C （10）A （11）B （12）D 二、填空题（每小题 5 分，共计 20 分） （13） 丙 （14）8 （15） 2 2 （16）3 ； e 2a   三、解答题 17．解：（1） 2 ( 1)n nS n a  ， 1 12 n nS na  2)(n≥ ， 相减得 12 ( 1)n n na n a na    ， 1( 1) n nn a na   ， 1 1 1 1 1 n na a a n n       ， na n ． （2） 2 ( 1) ( 1)n nS n a n n    ， 1 2 1 12( ) ( 1) 1nS n n n n      ， 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 22(1 ) 2 2 3 1 1n n nT S S S n n n                 ． 18．解：(1)由直方图，40名同学中成绩在[50,60)，(90,100]之间的同学的人数均为 4， X 的所有可能取值为 0，1，2，3 3 4 3 8 1( 0) 14 CP X C    ， 1 2 4 4 3 8 3( 1) 7 C CP X C    2 1 4 4 3 8 3( 2) 7 C CP X C    ， 3 4 3 8 1( 3) 14 CP X C    X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 14 3 7 3 7 1 14 1 6 6 1( ) 0 1 2 3 1.5 14 14 14 14 E X          ． (2)(i) 55 0.1 65 0.3 75 0.4 85 0.1 95 0.1 73x            (分), 2 2 2 2 2(55 73) 0.1 (65 73) 0.3 (75 73) 0.4 (85 73) 0.1 (95 73) 0.1 116 2 29 11 s                   (ii)由（i）, 1 1(62 95) ( 2 ) 0.68 0.96 0.82 2 2 P P                 ， 记“三名同学中恰有两名同学成绩在区间（62，95）”为事件 A， 则 2 2 3( ) 0.82 0.18 0.36P A C    ． 19．解：（1）证明：连接 AC 交 BD于点O． 因为 ABCD为菱形，所以 AC BD ． 因为 PA 平面 ABCD， BD 平面 ABCD， 所以 PA BD ．又由于 PA AC A ， PA平面 PAC ， AC 平面 PAC ， 理科数学 第 9页（共 14页） 理科数学第 10页（共 14页） 所以 BD 平面 PAC ，又因为 PC 平面 PAC ， 所以 PC BD ． （2）解：因为 PA 平面 ABCD，AD 平面 ABCD，AB 平面 ABCD，所以 PA AD ， PA AB ，所以 PAB PAD△ △ ，即 PB PD ． 在菱形 ABCD中， 60ABC  ，得 120BAC  ，则 4 3BD  ，又因为 PB PD ，所以 2 6PB PD  ．在Rt PAB△ 中， 2 2PA  ． 取 PC中点 E，连接 EO．在 PAC△ 中，AC中点O，所以 EO // PA．又因为 PA  平面 ABCD，所以 EO 平面 ABCD．在菱形 ABCD中， AC BD ． 如图，以点O为坐标原点，分别以向量OB  ，OC  ，OE  的方向为 x轴，y轴，z轴 的正方向建立空间直角坐标系O xyz ． 由题意知， (0,2,0)C ， (0, 2,0)A  ， ( 2 3,0,0)D  ， (0, 2,2 2)P  ， 所以 (0,0,2 2)AP   ， ( 2 3,2,0)AD    ， (2 3,2,0)DC   ， (0, 4,2 2)CP    ． 设平面 PAD的法向量为 ( , , )m x y z  ， 则 0, 0, AP m AD m           即 0, 3 0. z x y      所以可取 (1, 3,0)m   ． 设平面 PCD的法向量为 ( , , )n x y z  ， 则 0, 0, DC n CP n           即 3 0, 2 2 0. x y y z        所以可取 ( 1, 3, 6)n    ． 所以 | | 10cos , 10 m nm n m n          ．所以二面角 A PD C  的余弦值为 10 10 ． 20．解：（1）设动圆圆心  ,M x y ，则  2 2 2 24 4x y x    ， 化简整理得 2 8y x ，故曲线C的轨迹方程为 2 8y x ． （2）设直线 AB方程为 x my n  ， 由 2 8 x my n y x     消去 x得 2 8 8 0y my n   , 所以 2 2=64 32 0,2 0m n m n     ， 1 2 1 28 , 8y y m y y n    ， 21 2 1 2 4 4 2 2P x x y yx m n m n        ， 24 4n m  ， 2 22 4 2 0m n m      ， 2 2m  。 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4 1 64 32AB m y y m y y y y m m n          2 2 2 2 12(1 )(128 64 ) 8 (1 )(2 )m m m m      ≤ , 当且仅当 2 21 2m m   ，即 2 1 2 m  （满足 2 2m  ）时，取得最大值， 此时 2 , 2 2 m n   ，直线 2: 2 0 2 AB x y   ． 21．解：（1） 21( ) cos , ( ) ( ) sin , ( ) 1 cos 0 2 f x x x h x f x x x h x x         ， ( ) sinf x x x   在 ( , )  上为增函数，又 (0) 0f   ， O P A B D Cx y z E 理科数学 第 11页（共 14页） 理科数学第 12页（共 14页）  ( ,0)x  ， (0) 0f   ， ( )f x 单调递减； (0, )x  ， (0) 0f   ， ( )f x 单调递增， min( ) (0) 1f x f  ． （2）方法 1：①当 1a  时， 2 2 cos 2 1 2 1 2 2 x x xx xe x ax e ax e x            ， 设 2 ( ) 1 2 x xg x e x    ，则 ( ) ( ) 1xp x g x e x    ， ( ) 1xp x e   ， 0x  ， ( ) 1 0xp x e    ， ( )g x 单调递增， 又 (0) 0g  ， ( ) 1 0xg x e x     ， ( )g x 单调递增， 又 (0) 0g  ， ( ) 0g x  ， cos 2 ( ) 0xe x ax g x      ， cos 2xe x ax   ， ②当 1a  时， cos 2 1 2 1x x xe x ax e ax e ax          ， 设 ( ) 1xh x e ax   ，则 ( ) xh x e a   ，令 ( ) 0, lnxh x e a x a     ， (0, ln )x a ， ( ) 0xh x e a    ， ( )h x 单调递减， 又 (0) 0h  ， (0, ln )x a  ， ( ) 1 0xh x e ax    ，  cos 2 0xe x ax    ，不合题意． 由①②知实数 a的取值范围是 1a  ． 方法 2：（分离参数法） 当 0x  时， 0 cos0 2 0e a    成立， 当 0x  ， cos 2cos 2 x x e xe x ax a x        ， 设 cos 2( ) xe xF x x    ( 0x  ) 2 2 ( sin ) ( cos 2) ( 1) sin cos 2( ) x x xe x x e x x e x x xF x x x           设 ( ) ( 1) sin cos 2xG x x e x x x     ，( 0x  )， ( ) cos ( cos ) (1 cos ) 0x xG x xe x x x e x x x        ( )G x 单调递增， 又 (0) 0G  ， ( ) 0G x  ， ( ) 0F x  ， ( )F x 单调递增， 0 ( ) lim ( ) x F x F x    ． 0 0 0 cos 2 sinlim ( ) lim lim 1 1 x x x x x e x e xF x x         ， 1a  ． 方法 3：设 ( ) cos 2 ( 0)xg x e x ax x     ， 则 ( ) ( ) sinxp x g x e x a    ， ( ) cosxp x e x   ， 0x  ， ( ) 0p x  ， ( )p x 单调递增， ①当 1a  时， ( ) (0)=1 0p x p a   ，即 ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增， ( ) (0) 0g x g  恒成立， ②当 1a  时， (0) 1 0p a   ， (ln( 1)) 1 sin(ln( 1)) 0p a a     , 0 (0, ln( 1)]x a   ,使 0 0( ) ( ) 0p x g x  ， 0(0, ),x x ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减， ( ) (0) 0g x g  ，不合题意。 由①②知实数a的取值范围是 1a  ． 22．解：（1）曲线 2 2 2 22 2: cos 2 4, (c 4os sin ) 4,C ρ θ θ yρ xθ     ； 直线 l的普通方程为 2 6 0x y   ，极坐标方程为 2 cos sin 6 0ρ θ ρ θ   ． （2）将 51 5 2 54 5 x t y t         代入 2 2 4x y  中，得 23 18 5 95 0t t   ， 1 2 1 2 + 6 5 95 3 t t t t       ， 1 2,t t 均为正，则 1 2= 6 5MA MB t t   ． 23．解：（1）当 1a  时， ( ) 2 | | 1 0f x x x     ， 理科数学 第 13页（共 14页） 理科数学第 14页（共 14页） 原不等式等价于 2 2 1 0 x x x       或 20 2 1 0 x x x        或 0 2 1 0 x x x       ， 解得 3 2 x  ，解集为 3{ | } 2 x x  ． （2）当0 2x  时， ( ) 2 1 3 ( 1)f x x ax a x       ， 依题意有 ( 1) 3 0a x   恒成立，则有2( 1) 3 0a    ， 1 2 a  ， 当 2x  时， ( ) 2 1 (1 ) 1f x x ax a x       ， 依题意有 (1 ) 1 0a x   恒成立，则有1 0a  ，且 2(1 ) 1 0a   ， 1 2 a  ， 综上， a的取值范围是 1( , ] 2  ．