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- 2021-06-23 发布
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微专题 47 多变量表达式的范围——放缩消元法
一、基础知识:
在有些多变量表达式的题目中,所提供的条件为不等关系,则也可根据不等关系进行消
元,从而将多变量表达式转化为一元表达式,便于求得最值
1、放缩法求最值的理论基础:
不等式的传递性:若 ,则
2、常见的放缩消元手段:
(1)抓住题目中的不等关系,若含有两个变量间的不等关系,则可利用这个关系进行放缩消
元
(2)配方法:通过利用“完全平方式非负”的特性,在式子中构造出完全平方式,然后令其
等于 0,达到消元的效果
(3)均值不等式:构造能使用均值不等式的条件,利用均值不等式达到消元的效果
(4)主元法:将多元表达式视为某个变量(即主元)的函数,剩下的变量视为常数,然后利
用常规方法求得最值从而消去主元,达到消元的效果。
3、放缩消元过程中要注意的地方:
(1)在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系,例如:若求最小值,则对应的
不等号为“ ”;若求最大值,则对应的不等号为“ ”。放缩的方向应与不等号的方向一致
(2)对进行放缩消元后的式子,要明确是求其最大值还是最小值。放缩法求最值的基础是不
等式的传递性,所以在求最值时要满足其不等号的方向一致。若将关于 的表达式
进行放缩消去 ,得到 ,例如 ,则下一步需要求出 的最小值(记
为 ),即 ,通过不等式的传递性即可得到 。同理,若放缩
后 得 到 : , 则 需 要 求 出 的 最 大 值 ( 记 为 ), 即
,然后通过不等式的传递性得到
(3)在放缩的过程中,要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立,从而保证在不等式
中等号能够一直传递下去
, ,f x y g x g x m ,f x y m
,x y ,f x y
y g x ,f x y g x g x
m ,f x y g x m ,f x y m
,f x y g x g x M
,f x y g x M ,f x y M
二、典型例题:
例 1:设集合 中的最大元素与最小元素分别为 ,则 的值
为____________
思路:考虑分别求出 的最大值与最小值,先求 的最大值,只需 取最小, 取最
大: 即 ,再求 的最小值,由 可知利用 进行放
缩 , 从 而 消 去 , 可 得 : , 再 利 用 均 值 不 等 式 可 得 :
,所以 的最小值 ,从而
答案:
例 2:已知 是任意三点, ,则 的最小值是
_______
思路:因为 ,所以结合不等号的方向可将 消去,从而转化为关于 的表达式:
,然后可从 出发,构造出与第一项互为倒数的性质
以 便 于 利 用 均 值 不 等 式 解 出 最 值 : , 从 而 有 :
,所以
答案:
例 3:设实数 满足 ,则 的最大值为__________
思 路 : 由 可 联 想 到 与 的 关 系 , 即 , 所 以
, 然 后 可 利 用 进 一 步 放 缩 消 元 , 得
,在利用 即可得到最大值: ,
3 |1 2b a ba
,M m M m
3 ba 3 ba a b
3 3 2 51ba 5M 3 ba 1 a b b a
b 3 3b aa a
3 3 32 2 3b a aa a a 3 ba 2 3m 5 2 3M m
5 2 3
, ,A B C , ,BC a CA b AB c c by a b c
a b c a ,b c
2
c b c b c b
a b c b c b c b c c
b
c
1 2 1 2 1
2 2 2
b b b c
c c c
1 2 1 122 2 2 2
c b c
b c c
12 2
c by a b c
12 2
, ,a b c 2 2 1a b c a b c
a b c a b 2 2a b
2 2
2 2
a ba b
2 2
2 2
a ba b c c 2 2a b c
2 2
2 22
a ba b c c c c 1c 2 2 1c c
所以 的最大值为 ,其中等号成立条件为:
答案:
小炼有话说:本题也可从 入手,进行三角换元: ,由 可得
,然后根据不等号的方向进行连续放缩,消去 即可得到最值:
例 4:已知关于 的一元二次不等式 在实数集上恒成立,且 ,则
的最小值为( )
A. B. C. D.
思路:由不等式恒成立可得: ,结合所求表达式和不等号方向可知更易于消
去 ,即 ,所以 ,对于该其次分式可两边同时除以
,可得: ,令 由 可知 从而将问题转化为
求 的最小值。 ,从而
答案:D
小炼有话说:本题的关键之处在于选择消去的元,如果选择 ,则因分式中含 的项较多,
消元会比较复杂,不利于求得最值。所以处理多变量表达式的最值时,选择消去合适的元是
关键
例 5(2010,四川)设 ,则 的最小值为( )
a b c 2 1 2 2
2
2
11
a b
a ba b c
cc
2 1
2 2a b cos
sin
a r
b r
2 2a b c
r c , ,r c
cos sin 2 sin 2 2 2 14a b c r r c r c r c c c
x 2 0ax bx c a b
a b cT b a
0 1 2 3
2 4 0b ac
c
2
4
bc a
2
2 2
2
4 44
4 4
ba b a ab baT b a ab a
2a
2
4 41
4 1
b b
a aT b
a
bt a a b 1,t
2 4 4
1
t ty t
2 4 4 96 1 121 1
t ty tt t
1 34T y
,a b ,a b
0a b c
2 21 12 10 25a ac cab a a b
A. B. C. D.
思路:表达式含变量个数较多,且没有等量条件消元,所以考虑式子中是否存在不等关系来
减少变量个数,观察式子可发现存在完全平方式,即 ,从而
消去了 ,得 ,然后根据分母特征:
构造 ,由均值
不等式得: ,验证等
号成立条件: ,从而最小值为
答案:D
小 炼 有 话 说 : 本 题 在 处 理 的 最 值 时 还 可 以 从 分 式 入 手 :
, 从 而 对 分 母 利 用 均 值 不 等 式 :
消去 ,所以
例 6:已知正数 满足 ,则 的最小值是_______
思路:所求表达式涉及 3 个变量,首先确定主元,通过观察可发现分母中的 可与条件中
的 具备不等关系,而 可用 表示,且不等号的方向与所求一致,故考
虑利用不等式进行放缩消元,进而得到关于 的表达式求得最值
解: ,因为
2 4 2 5 5
22 210 25 5 0a ac c a c
c
2 2 21 1 1 12 10 25a ac c aab a a b ab a a b
2,ab a a b a ab
2 21 1 1 1a a ab abab a a b ab a a b
2 24
1 1 1 14 4a ab ab a ab abab a a b ab a a b
2
2
2
5 21 1 2
2
5
a
a c
ba ab ab ab a ab
c
4
2 1 1a ab a a b
1 1 1a b b
ab a a b ab a b b a b
2 2
2 4
b a b ab a b
b
2 2
2
1 1 4 4a aab a a b a
, ,x y z 2 2 2 1x y z 1
2
zs xyz
2xy
2 2x y 2 2 21x y z z
z
2 2 2 2 2 21 1x y z x y z 2 22xy x y
所以有
(等号成立条件: )
例 7:设 ,且 ,则 的最大值是____________
思路:本题虽然有 3 个变量,但可通过 进行消元,观察所求式子项的次数可知
消去 更方便,从而可得 。然后可使用“主元法”进
行处理,将 视为主元,即 但本题要注意 的取值范围与 相
关 , 即 , 通 过 配 方 ( 或 求 导 ) 可 知 的 最 大 值 在 边 界 处 取 得 , 即
, ,从而达到消去 的效果,再求出
中的最大值即可
解:
设
为 的极小值点
2 2 2
1 1 1
2 1xy x y z
222
1 1 1 1 1=2 1 11 1 1
4 2
z z zs xyz z z z z zz z z
21 1 1
4 2 4z 2
1 4
1 1
4 2
s
z
2 2 2
6
1 4
2 6
4
1 1
2
x
z
x y y
x y z
z
, , 0x y z 2x y z 2 22 3x y z
2x y z
y 2 2 2 22 3 2 3 2x y z x x z z
x 2 22 3 2f x x x z z x z
0,2x z f x
2 2
max max 3 2,5 8 8f x z z z z 0,2z x
2 2g max 3 2,5 8 8z z z z z
2x y z 2y x z
2 2 2 22 3 2 3 2x y z x x z z
2 22 3 2f x x x z z , , 0 0
2 2
x y z x
y x z x z
0 2x z
' 4 1f x x
1
4x f x
max max 0 , 2f x f f z
其中
设
若
可得:
例 8:已知函数
(1)求 的解析式及单调区间
(2)若不等式 恒成立,求 的最大值
解:(1) ,代入 可得:
,令 可得:
,可知
在 上单调递增 时,
时,
在 单调递减,在 单调递增
(2)恒成立的不等式为: 即
设
22 2 20 3 2, 2 2 2 3 5 8 8f z z f z z z z z
2 2
max max 3 2,5 8 8f x z z z z 0,2z
2 2max 3 2,5 8 8g z z z z z
2 2 33 2 5 8 8 22z z z z z
2
2
33 2, ,22
35 8 8, 0, 2
z z z
g z
z z z
max 2 12g z g
2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 max 3 2,5 8 8 2 12x y z x x z z z z z z g
' 1 211 0 2
xf x f e f x x
f x
21
2f x x ax b 1a b
' ' 11 0xf x f e f x 1x
' '1 1 0 1 0 1f f f f
' 1 211 2
xf x f e x x 0x
'
'10 1ff f ee
21
2
xf x e x x
' 1xf x e x ' 0 0f
'f x R ,0x ' 0f x
0,x ' 0f x
f x ,0 0,
2 21 1
2 2
xe x x x ax b 0xe x ax b
xg x e x ax b
min 0g x
,令 ,即解不等式
若 ,可解得
在 单调递减,在 单调递增
下面求 的最大值
令 ,设
令 ,可解得
在 单调递增,在 单调递减
当 时,可得
当 时, 为增函数
且 时, , ,与 恒成立矛盾
综上所述: 的最大值为
例 9:已知函数 ,求 的最小值
思路:在多元表达式中不易进行变形消元,观察到变量 存在二次函数的结构,所以考虑利用
“主元法”,将 视为自变量, 视为参数,通过配方,并利用完全平方数的特征消去 ,从而
得到关于 的函数,然后求得最小值即可。
解:
' 1xg x e a ' 0g x 1xe a
1 0a ln 1x a
g x ,ln 1a ln 1 ,a
min ln 1 1 ln 1 ln 1 0g x g a a a a a b
1 1 ln 1b a a a
2 21 1 1 ln 1a b a a a
2 21 1 ln 1a a a
21t a 1ln ln 02h t t t t t t t t
' 1 11 1 ln 1 ln2 2h t t t
' 0h t 0 t e
h t 0,e ,e
max
1
2h t h e e
1 2
ea b
1 0a 1 0 2
ea b
1 0a 1xg x e a x b g x
x 1a x g x 0g x
1a b 2
e
2 2 2, 2 2 1, ,x xf x t e t e x x t t R x R ,f x t
t
t x t
x
2
2
2 21, 2 2 12 2 2
x
x x xe x xf x t t e x t e xe
设
设 ,可知
在 单调递减,在 单调递增
恒成立
令 ,即解不等式
在 单调递减,在 单调递增
即 的最小值为
例 10:已知函数
(1)若 在 上的最大值和最小值分别记为 ,求
(2)设 ,若 对 恒成立,求 的取值范围
解:(1)
① 当 时,可得
在 单调递增
2 2
212 12 2 2
x
x xe x xt e xe
2
02
xe xt
2 21 1, 12 2
x xf x t e x xe
2 21 1 12 2
x xg x e x xe
' 2 1x x x x xg x e x e xe e x e
xh x e x ' 1xh x e
h x ,0 0,
0 1 0h x h 0xe x
' 0g x 1 0 0xe x
g x ,0 0,
30 2g x g
3, 2f x t g x
,f x t 3
2
3 3f x x x a a R
f x 1,1 ,M a m a M a m a
b R 2 4f x b 1,1x 3a b
3
3
3 3 ,
3 3 ,
x x a x af x
x x a x a
2
'
2
3 3,
3 3,
x x af x
x x a
1a x a
3 3 3f x x x a f x 1,1
1 4 3 , 1 4 3M a f a m a f a
② 当 时,
可得: 在 单调递减,在 单调递增
由 可知:
当 时,
当 时,
③ 当 时,
可得 在 单调递减
综上所述:
(2)不妨设
由 恒成立可知: 恒成立
即 对任意的 恒成立
且 即 且
8M a m a
1,1a
3
3
3 3 , ,1
3 3 , 1,
x x a x a
f x
x x a x a
2
'
2
3 3, ,1
3 3, 1,
x x a
f x
x x a
f x 1,a ,1a
3max 1 , 1 4 3 ,2 3 ,M a f f a a m a f a a
1 1 2 6f f a
11, 3a
31 , 4 3M a f M a m a a a
1,13a
31 , 2 3M a f M a m a a a
1a x a 3 3 3f x x x a
' 23 3f x x f x 1,1
1 2 3 , 1 2 3M a f a m a f a
4M a m a
3
3
8, 1
13 4, 1 3
13 2, 13
4, 1
a
a a a
M a m a
a a a
a
3
3
3 3 ,
3 3 ,
x x a b x ah x f x b
x x a b x a
2
' '
2
3 3,
3 3,
x x ah x f x
x x a
2 4f x b 2 4h x
2 2h x 1,1x
max 2h x min 2h x 2M a b 2m a b
① 当 时,由(1)可知
无解
② 当 ,
,即
即
另一方面:
设 恒成立
在 单调递增
③当 ,
,即
解得:
设 恒成立
在 单调递增
1a max min1 4 3 , 1 4 3h x h a b h x h a b
4 3 2 3 2
4 3 2 3 2
a b a b
a b a b
,a b
11, 3a
3
max min1 4 3 ,h x h a b h x h a a b
3 32 3 2 3
4 3 2 3 2 6
a b a b a a
a b a b a
3 3 2 3 6 2a a a b a
3 3 2 6 2a a a
3 23 0 3 0a a a a 10 3a
16 2 6 2 03a
3 ' 23 2 3 3 0t a a a t a a
t a 11, 3
0 2t a t
2 3 0a b
1,13a
3
max min1 3 2,h x h a b h x h a a b
3 32 3 2 3
3 2 2 3 0
a b a b a a
a b a b
3 3 2 3 0a a a b
3 3 2 0a a 2a
1,13a
3 ' 23 2 3 3 0t a a a t a a
t a 1,13
1 28
3 27t a t
④ 当 时,
综上所述:
28 3 027 a b
1a max min1 3 2, 1 3 2h x h a b h x h a b
3 2 2 3 0
3 2 2 3 0
a b a b
a b a b
3 0a b
3 2,0a b