假期培优解决方案+寒假专题突破练+高二文科数学（选修1-1必修5）（通用版）专题1+正弦定理与余弦定理x 9页

专题1　正弦定理与余弦定理 ‎1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.‎ ‎2．余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．‎ 即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，‎ c2＝a2＋b2－2abcos C. ‎ 例1　已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于(　　)‎ A. B．2‎ C. D. 变式1　在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C的大小为________．‎ 例2　已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则C的大小为________．‎ 变式2　在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.‎ 例3　在△ABC中，若＝＝，则△ABC是(　　)‎ A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 变式3　在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是(　　)‎ A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 A级 ‎1．在△ABC中，若b＝5，B＝，sin A＝，则a为(　　)‎ A．2 B. C. D．5 ‎2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为(　　)‎ A. B. C.或 D.或 ‎3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 ‎4．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于(　　)‎ A．6∶5∶4 B．7∶5∶3‎ C．3∶5∶7 D．4∶5∶6‎ ‎5．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC等于(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.‎ ‎7．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.‎ B级 ‎8．在△ABC中，若sin 2A＋sin 2Bb，∴B＝.∴C＝π－A－B＝.‎ 例2　120°‎ 解析　∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，‎ ‎∴a2＋b2－c2＝－ab，即＝－，‎ ‎∴cos C＝－，∴C＝120°.‎ 变式2　4‎ 解析　将b＋c＝7变形为c＝7－b后，利用余弦定理求解．‎ 在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accos B及b＋c＝7知，‎ b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b－60＝0.∴b＝4.‎ 例3　B　[由正弦定理知：＝＝，‎ ‎∴tan A＝tan B＝tan C，‎ ‎∴A＝B＝C，故三角形为等边三角形．]‎ 变式3　C　[∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，∴sin Acos B－cos Asin B＝0，‎ 即sin(A－B)＝0，∴A＝B.]‎ 强化提高 ‎1．A　[由正弦定理得＝，a＝2.]‎ ‎2．A　[∵a2＋c2－b2＝ac，‎ ‎∴cos B＝＝＝，‎ ‎∴B＝.]‎ ‎3．B　[由bcos C＋ccos B＝asin A，得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，‎ 即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝1，由00)，‎ 则解得 ‎∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3.]‎ ‎5．A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.]‎ ‎6. 解析　由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝，∠ADB＝45°，从而∠BAD＝15°＝∠DAC，所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝2ABcos 30°＝.‎ ‎7．7‎ 解析　∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，‎ ‎∴＝＝＝2R＝2，‎ ‎∴＋＋＝2＋1＋4＝7.‎ ‎8．C　[由正弦定理可知a2＋b2